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Articulo de referencia

Tesis de Church-Turing

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En la teoría de la computabilidad , la tesis de Church-Turing [ a ] es una tesis sobre la naturaleza de las funciones computables . Afirma que una función sobre los números naturales puede calcularse mediante un método efectivo si y solo si es computable por una máquina de Turing . La tesis lleva el nombre del matemático estadounidense Alonzo Church y del matemático británico Alan Turing . Antes de la definición precisa de función computable, los matemáticos solían usar el término informal «efectivamente calculable» para describir las funciones que se pueden calcular mediante métodos de lápiz y papel. En la década de 1930, se hicieron varios intentos independientes para formalizar la noción de computabilidad :

  • En 1933, Kurt Gödel , junto con Jacques Herbrand , formalizó la definición de la clase de funciones recursivas generales : la clase más pequeña de funciones (con un número arbitrario de argumentos) que es cerrada bajo composición , recursión y minimización , e incluye cero , sucesor y todas las proyecciones .
  • En 1932–33, [ 3 ] Alonzo Church creó un método para definir funciones llamado cálculo λ . Dentro del cálculo λ, definió una codificación de los números naturales llamada numerales de Church . Una función sobre los números naturales se denomina λ-computable si la función correspondiente sobre los numerales de Church puede representarse mediante un término del cálculo λ.
  • En 1935–36, [ 7 ] Alonzo Church formalizó el concepto de funciones efectivamente calculables al proponer que son funciones recursivas generales o, equivalentemente, funciones λ-definibles.
  • En 1936, antes de conocer el trabajo de Church, [ 12 ] Alan Turing creó un modelo teórico para máquinas, ahora llamadas máquinas de Turing, que podían realizar cálculos a partir de entradas manipulando símbolos en una cinta. Dada una codificación adecuada de los números naturales como secuencias de símbolos, una función sobre los números naturales se denomina computable por Turing si alguna máquina de Turing calcula la función correspondiente sobre los números naturales codificados. Turing propuso que las funciones efectivamente calculables se definieran como aquellas que son computables por Turing.

Church, [ 13 ] Kleene , [ 14 ] y Turing [ 15 ] [ 17 ] demostraron que estas tres clases de funciones computables definidas formalmente coinciden: una función es λ-computable si y solo si es Turing computable, y si y solo si es recursiva general . Esto ha llevado a matemáticos e informáticos a creer que el concepto de computabilidad se caracteriza con precisión mediante estos tres procesos equivalentes. Otros intentos formales de caracterizar la computabilidad han reforzado posteriormente esta creencia (véase más adelante ).

Por otro lado, la tesis de Church-Turing afirma que las tres clases de funciones computables definidas formalmente coinciden con la noción informal de función efectivamente calculable. Si bien la tesis goza de una aceptación casi universal, no puede demostrarse formalmente, ya que el concepto de calculabilidad efectiva solo se define de manera informal.

Desde su concepción, han surgido variaciones de la tesis original, incluyendo afirmaciones sobre lo que una computadora puede realizar físicamente en nuestro universo ( tesis física de Church-Turing ) y lo que se puede computar eficientemente ( tesis de Church-Turing (teoría de la complejidad) ). Estas variaciones no se deben a Church ni a Turing, sino que surgen de trabajos posteriores en teoría de la complejidad y física digital . La tesis también tiene implicaciones para la filosofía de la mente (véase más adelante ).

Declaración en palabras de Church y Turing

JB Rosser ( 1939 ) aborda la noción de "computabilidad efectiva" de la siguiente manera: "Claramente, la existencia de CC y RC [es decir, las pruebas de Church y Rosser de la afirmación de que no existe un método efectivo para decidir la verdad] presupone una definición precisa de 'efectivo'. 'Método efectivo' se usa aquí en el sentido bastante especial de un método cuyos pasos están predeterminados con precisión y que tiene la certeza de producir la respuesta en un número finito de pasos". [ 18 ] Así, el adverbio-adjetivo "efectivo" se usa en el sentido de "1a: que produce un efecto decidido, decisivo o deseado", y "capaz de producir un resultado". [ 19 ] [ 20 ] 

In the following, the words "effectively calculable" will mean "produced by any intuitively 'effective' means whatsoever" and "effectively computable" will mean "produced by a Turing-machine or equivalent mechanical device". Turing's "definitions" given in a footnote in his 1938 Ph.D. thesis Systems of Logic Based on Ordinals, supervised by Church, are virtually the same:

† We shall use the expression "computable function" to mean a function calculable by a machine, and let "effectively calculable" refer to the intuitive idea without particular identification with any one of these definitions.[21]

The thesis can be stated as: Every effectively calculable function is a computable function.[22] Church also stated that "No computational procedure will be considered as an algorithm unless it can be represented as a Turing Machine".[23]

Turing stated it this way:

It was stated ... that "a function is effectively calculable if its values can be found by some purely mechanical process". We may take this literally, understanding that by a purely mechanical process one which could be carried out by a machine. The development ... leads to ... an identification of computability† with effective calculability. [† is the footnote quoted above.][21]

History

One of the important problems for logicians in the 1930s was the Entscheidungsproblem of David Hilbert and Wilhelm Ackermann,[24] which asked whether there was a mechanical procedure for separating mathematical truths from mathematical falsehoods. This quest required that the notion of "algorithm" or "effective calculability" be pinned down, at least well enough for the quest to begin.[25] But from the very outset Alonzo Church's attempts began with a debate that continues to this day.[26]Was the notion of "effective calculability" to be (i) an "axiom or axioms" in an axiomatic system, (ii) merely a definition that "identified" two or more propositions, (iii) an empirical hypothesis to be verified by observation of natural events, or (iv) just a proposal for the sake of argument (i.e. a "thesis")?

Circa 1930–1952

En el curso del estudio del problema, Church y su estudiante Stephen Kleene introdujeron la noción de funciones λ-definibles y pudieron demostrar que varias clases amplias de funciones que se encuentran frecuentemente en la teoría de números eran λ-definibles. [ 27 ] El debate comenzó cuando Church propuso a Gödel que se definieran las funciones "efectivamente computables" como funciones λ-definibles. Sin embargo, Gödel no estaba convencido y calificó la propuesta de "completamente insatisfactoria". [ 28 ] En cambio, en correspondencia con Church (c. 1934–1935), Gödel propuso axiomatizar la noción de "calculabilidad efectiva"; de hecho, en una carta de 1935 a Kleene, Church informó que:

Su [la de Gödel] única idea en ese momento era que podría ser posible, en términos de calculabilidad efectiva como una noción indefinida, enunciar un conjunto de axiomas que incorporaran las propiedades generalmente aceptadas de esta noción, y hacer algo sobre esa base. [ 29 ]

Pero Gödel no ofreció más indicaciones. Finalmente, sugeriría su recursión, modificada por la sugerencia de Herbrand, que Gödel había detallado en sus conferencias de 1934 en Princeton, Nueva Jersey (Kleene y Rosser transcribieron las notas). Pero no creía que las dos ideas pudieran identificarse satisfactoriamente "excepto heurísticamente". [ 30 ]

A continuación, fue necesario identificar y demostrar la equivalencia de dos nociones de calculabilidad efectiva. Equipado con el cálculo λ y la recursión "general", Kleene, con la ayuda de Church y J. Barkley Rosser, elaboró ​​demostraciones (1933, 1935) para mostrar que ambos cálculos son equivalentes. Posteriormente, Church modificó sus métodos para incluir el uso de la recursión de Herbrand-Gödel y luego demostró (1936) que el problema de decisión es irresoluble: no existe ningún algoritmo que pueda determinar si una fórmula bien formada tiene una forma normal beta . [ 31 ]

Muchos años después, en una carta a Davis (c. 1965), Gödel dijo que «en el momento de esas conferencias [de 1934], no estaba en absoluto convencido de que su concepto de recursión comprendiera todas las recursiones posibles». [ 32 ] Hacia 1963-1964, Gödel repudiaría la recursión de Herbrand-Gödel y el cálculo lambda en favor de la máquina de Turing como definición de «algoritmo», «procedimiento mecánico» o «sistema formal». [ 33 ]

¿Una hipótesis que conduce a una ley natural?: A finales de 1936, el artículo de Alan Turing (que también demostraba que el problema de decisión es irresoluble) se presentó oralmente, pero aún no se había publicado. [ 34 ] Por otro lado, el artículo de Emil Post de 1936 ya se había publicado y se había certificado como independiente del trabajo de Turing. [ 35 ] Post discrepó profundamente de la "identificación" que hizo Church de la computabilidad efectiva con el cálculo lambda y la recursión, afirmando:

En realidad, el trabajo ya realizado por Church y otros lleva esta identificación considerablemente más allá de la etapa de hipótesis de trabajo. Pero enmascarar esta identificación bajo una definición  ... nos ciega ante la necesidad de su verificación continua. [ 36 ]

Más bien, consideraba la noción de "calculabilidad efectiva" como una mera "hipótesis de trabajo" que podría conducir, mediante razonamiento inductivo, a una " ley natural " en lugar de a "una definición o un axioma". [ 37 ] Esta idea fue duramente criticada por Church. [ 38 ]

Así, Post, en su artículo de 1936, también descartaba la sugerencia de Gödel a Church en 1934-1935 de que la tesis podría expresarse como un axioma o un conjunto de axiomas. [ 29 ]

Turing añade otra definición, Rosser equipara las tres : En poco tiempo, apareció el artículo de Turing de 1936-1937 «Sobre los números computables, con una aplicación al problema de decisión » [ 34 ] . En él, enunció otra noción de «computabilidad efectiva» con la introducción de sus máquinas a (ahora conocidas como el modelo computacional abstracto de la máquina de Turing ). En un esbozo de demostración añadido como apéndice a su artículo de 1936-1937, Turing demostró que las clases de funciones definidas por el cálculo λ y las máquinas de Turing coincidían. [ 39 ] Church reconoció rápidamente lo convincente que era el análisis de Turing. En su reseña del artículo de Turing, dejó claro que la noción de Turing hacía «evidente de inmediato la identificación con la efectividad en el sentido ordinario (no definido explícitamente)». [ 40 ]

En unos pocos años (1939), Turing propondría, al igual que Church y Kleene antes que él, que su definición formal de agente de computación mecánica era la correcta. [ 41 ] Así, para 1939, tanto Church (1934) como Turing (1939) habían propuesto individualmente que sus "sistemas formales" debían ser definiciones de "calculabilidad efectiva"; [ 42 ] ninguno formuló sus afirmaciones como tesis .

Rosser (1939) identificó formalmente las tres nociones como definiciones:

Las tres definiciones son equivalentes, por lo que no importa cuál se utilice. [ 43 ]

Kleene propone la Tesis I : Esto dejó la expresión explícita de una "tesis" a Kleene. En 1943, Kleene propuso su "Tesis I": [ 44 ]

Este hecho heurístico [las funciones recursivas generales son efectivamente calculables]  ... llevó a Church a formular la siguiente tesis. Esta misma tesis está implícita en la descripción que Turing hace de las máquinas de computación.

Tesis I. Toda función efectivamente calculable (predicado efectivamente decidible) es recursiva general [cursiva de Kleene].

Dado que hasta ahora no se disponía de una definición matemática precisa del término efectivamente calculable (efectivamente decidible), podemos tomar esta tesis  ... como una definición del mismo  .

...  la tesis tiene el carácter de una hipótesis, un punto que Post y Church enfatizan. Si consideramos la tesis y su recíproca como definición, entonces la hipótesis es una hipótesis sobre la aplicación de la teoría matemática desarrollada a partir de la definición. Para aceptar la hipótesis, existen, como hemos sugerido, razones bastante convincentes.

La tesis de Church-Turing : Stephen Kleene, en Introducción a la metamatemática , procede a nombrar formalmente la "tesis de Church" y la "tesis de Turing", utilizando su teoría de la realizabilidad recursiva, tras haber pasado de presentar su trabajo en la terminología de la definibilidad lambda de Church-Kleene a la de la recursividad de Gödel-Kleene (funciones recursivas parciales). En esta transición, Kleene modificó las funciones recursivas generales de Gödel para permitir demostraciones de la irresolubilidad de problemas en el intuicionismo de E.J. Brouwer. En su libro de texto de posgrado sobre lógica, se introduce la "tesis de Church" y se demuestra que los resultados matemáticos básicos son irrealizables. A continuación, Kleene presenta la "tesis de Turing", donde se demuestra que los resultados son incomputables, utilizando su derivación simplificada de una máquina de Turing basada en el trabajo de Emil Post. Ambas tesis se demuestran equivalentes mediante el "Teorema XXX".

Tesis I. Toda función efectivamente calculable (predicado efectivamente decidible) es recursiva general . [ 45 ]

Teorema XXX: Las siguientes clases de funciones parciales son coextensivas, es decir, tienen los mismos miembros: (a) las funciones recursivas parciales, (b) las funciones computables  ... [ 46 ]

Tesis de Turing: La tesis de Turing de que toda función que se consideraría naturalmente computable es computable bajo su definición, es decir, por una de sus máquinas, es equivalente a la tesis de Church por el Teorema XXX. [ 46 ]

Finalmente, Kleene utiliza por primera vez el término «tesis Church-Turing» en una sección en la que ayuda a aclarar conceptos del artículo de Alan Turing «El problema de la palabra en semigrupos con cancelación», tal como lo exigió William Boone en una crítica. [ 47 ]

Desarrollos posteriores

Un intento por comprender mejor la noción de "computabilidad efectiva" llevó a Robin Gandy (alumno y amigo de Turing) en 1980 a analizar la computación de las máquinas (a diferencia de la computación humana realizada por una máquina de Turing). La curiosidad de Gandy por los autómatas celulares (incluido el juego de la vida de Conway ), el paralelismo y los autómatas cristalinos, y su análisis de estos, lo llevaron a proponer cuatro "principios (o restricciones)  ... que, según se argumenta, toda máquina debe satisfacer". [ 48 ] Su cuarto principio, el más importante, "el principio de causalidad", se basa en la "velocidad finita de propagación de efectos y señales; la física contemporánea rechaza la posibilidad de una acción instantánea a distancia". [ 49 ] A partir de estos principios y algunas restricciones adicionales —(1a) un límite inferior en las dimensiones lineales de cualquiera de las partes, (1b) un límite superior en la velocidad de propagación (la velocidad de la luz), (2) progreso discreto de la máquina y (3) comportamiento determinista— produce un teorema que dice: «Lo que puede ser calculado por un dispositivo que satisface los principios I-IV es computable». [ 50 ]

A finales de la década de 1990, Wilfried Sieg analizó las nociones de "calculabilidad efectiva" de Turing y Gandy con la intención de "precisar la noción informal, formular sus características generales axiomáticamente e investigar el marco axiomático". [ 51 ] En sus trabajos de 1997 y 2002, Sieg presenta una serie de restricciones sobre el comportamiento de una computadora —"un agente de computación humana que procede mecánicamente". Estas restricciones se reducen a:

  • "(B.1) (Acotación) Existe un límite fijo en el número de configuraciones simbólicas que una computadora puede reconocer inmediatamente.
  • "(B.2) (Acotación) Existe un límite fijo en el número de estados internos en los que puede estar una computadora.
  • "(L.1) (Localidad) Un ordenador solo puede cambiar elementos de una configuración simbólica observada.
  • "(L.2) (Localidad) Un ordenador puede cambiar la atención de una configuración simbólica a otra, pero las nuevas configuraciones observadas deben estar dentro de una distancia limitada de la configuración observada inmediatamente antes.
  • "(D) (Determinación) La (sub)configuración inmediatamente reconocible determina de forma única el siguiente paso de cálculo (y la id [descripción instantánea])"; expresado de otra manera: "El estado interno de un computador junto con la configuración observada fija de forma única el siguiente paso de cálculo y el siguiente estado interno." [ 52 ]

El asunto sigue siendo objeto de debate activo dentro de la comunidad académica. [ 53 ] [ 54 ]

La tesis como definición

La tesis puede considerarse simplemente una definición matemática ordinaria. Los comentarios de Gödel sobre el tema sugieren esta visión, por ejemplo: «la definición correcta de computabilidad mecánica fue establecida sin lugar a dudas por Turing». [ 55 ] Robert I. Soare argumenta explícitamente que la tesis no es más que una definición , [ 11 ] donde también sostiene que la definición de computabilidad de Turing tiene la misma probabilidad de ser correcta que la definición épsilon-delta de una función continua .

Éxito de la tesis

Se han propuesto otros formalismos (además de la recursión, el cálculo λ y la máquina de Turing) para describir la calculabilidad/computabilidad efectiva. Kleene (1952) añade a la lista las funciones " calculables en el sistema S 1 " de Kurt Gödel 1936, y los " sistemas canónicos [también llamados normales ] " de Emil Post (1943, 1946) . [ 56 ] En la década de 1950, Hao Wang y Martin Davis simplificaron enormemente el modelo de máquina de Turing de una cinta (véase máquina de Post-Turing ). Marvin Minsky amplió el modelo a dos o más cintas y simplificó enormemente las cintas en "contadores ascendentes y descendentes", que Melzak y Lambek desarrollaron aún más en lo que ahora se conoce como el modelo de máquina de contadores . A finales de la década de 1960 y principios de la de 1970, los investigadores ampliaron el modelo de máquina de contadores en la máquina de registros , un pariente cercano de la noción moderna de computadora . Otros modelos incluyen la lógica combinatoria y los algoritmos de Markov . Gurevich añade el modelo de máquina de punteros de Kolmogorov y Uspensky (1953, 1958): "... simplemente querían ... convencerse de que no hay manera de extender la noción de función computable." [ 57 ]  

Todas estas contribuciones implican pruebas de que los modelos son computacionalmente equivalentes a la máquina de Turing; se dice que tales modelos son Turing completos . Debido a que todos estos diferentes intentos de formalizar el concepto de "calculabilidad/computabilidad efectiva" han producido resultados equivalentes, ahora se asume generalmente que la tesis de Church-Turing es correcta. De hecho, Gödel (1936) propuso algo más fuerte que esto; observó que había algo "absoluto" en el concepto de "calculable en S 1 ":

También se puede demostrar que una función que es computable ['calculable'] en uno de los sistemas S i , o incluso en un sistema de tipo transfinito, ya es computable [calculable] en S 1 . Por lo tanto, el concepto 'computable' ['calculable'] es en cierto sentido definido 'absoluto', mientras que prácticamente todos los demás conceptos metamatemáticos familiares (por ejemplo, demostrable, definible, etc.) dependen esencialmente del sistema al que se definen  ... [ 58 ]

Uso informal en pruebas

Las demostraciones en la teoría de la computabilidad a menudo recurren a la tesis de Church-Turing de manera informal para establecer la computabilidad de las funciones, evitando los detalles (a menudo muy extensos) que implicaría una demostración formal y rigurosa. [ 59 ] Para establecer que una función es computable por una máquina de Turing, generalmente se considera suficiente dar una descripción informal en inglés de cómo se puede computar la función de manera efectiva, y luego concluir "por la tesis de Church-Turing" que la función es computable por una máquina de Turing (o, equivalentemente, parcialmente recursiva).

Dirk van Dalen da el siguiente ejemplo para ilustrar este uso informal de la tesis Church-Turing: [ 60 ]

Ejemplo: Cada conjunto recursivamente enumerable (RE) infinito contiene un conjunto recursivo infinito .

Demostración: Sea A una RE infinita. Enumeramos los elementos de A de la siguiente manera: n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , ...

De esta lista extraemos una sublista creciente: ponemos m 0  = n 0 , después de un número finito de pasos encontramos un n k tal que n k > m 0 , ponemos m 1  = n k . Repetimos este procedimiento para encontrar m 2 > m 1 , etc. Esto produce una lista efectiva del subconjunto B={m 0 , m 1 , m 2 ,...} de A, con la propiedad m i < m i+1 .

Afirmación : B es decidible. Para comprobar si k pertenece a B, debemos verificar si k  = m i para algún i. Dado que la secuencia de m i es creciente, debemos generar como máximo k+1 elementos de la lista y compararlos con k. Si ninguno de ellos es igual a k, entonces k no pertenece a B. Como esta prueba es efectiva, B es decidible y, según la tesis de Church , recursivo.

Para que el ejemplo anterior fuera completamente riguroso, habría que construir cuidadosamente una máquina de Turing, o una función λ, o invocar con precisión los axiomas de recursión, o, en el mejor de los casos, recurrir ingeniosamente a diversos teoremas de la teoría de la computabilidad. Pero como el teórico de la computabilidad cree que la computabilidad de Turing describe correctamente lo que se puede computar de forma efectiva, y dado que se describe un procedimiento efectivo en inglés para determinar el conjunto B, el teórico de la computabilidad acepta esto como prueba de que el conjunto es, en efecto, recursivo.

Variaciones

El éxito de la tesis de Church-Turing impulsó la propuesta de variaciones de la misma. Por ejemplo, la tesis física de Church-Turing afirma: "Todas las funciones físicamente computables son Turing-computables". [ 61 ] : 101

La tesis de Church-Turing no dice nada sobre la eficiencia con la que un modelo de computación puede simular otro. Se ha demostrado, por ejemplo, que una máquina de Turing universal (de múltiples cintas) solo sufre un factor de ralentización logarítmico al simular cualquier máquina de Turing. [ 62 ]

Una variación de la tesis de Church-Turing aborda si un modelo de computación arbitrario pero "razonable" puede simularse eficientemente. Esto se denomina tesis de factibilidad , [ 63 ] también conocida como tesis de Church-Turing ( clásica ) de la teoría de la complejidad o tesis de Church-Turing extendida , que no se debe a Church ni a Turing, sino que se desarrolló gradualmente en el marco de la teoría de la complejidad . Esta tesis afirma: [ 64 ] "Una máquina de Turing probabilística puede simular eficientemente cualquier modelo de computación realista". La palabra "eficientemente" aquí significa hasta reducciones en tiempo polinomial . Esta tesis fue originalmente denominada tesis de Church-Turing de la teoría de la complejidad computacional por Ethan Bernstein y Umesh Vazirani (1997). La tesis de Church-Turing de la teoría de la complejidad postula, entonces, que todos los modelos de computación "razonables" generan la misma clase de problemas que pueden calcularse en tiempo polinomial. Suponiendo la conjetura de que el tiempo polinomial probabilístico ( BPP ) es igual al tiempo polinomial determinista ( P ), la palabra «probabilístico» es opcional en la tesis de Church-Turing de la teoría de la complejidad. Una tesis similar, llamada tesis de la invariancia , fue introducida por Cees F. Slot y Peter van Emde Boas. Esta afirma: « Las máquinas “ razonables” pueden simularse entre sí con una sobrecarga de tiempo acotada polinomialmente y una sobrecarga de espacio de factor constante». [ 65 ] La tesis apareció originalmente en un artículo en STOC '84, que fue el primer artículo en demostrar que se podía lograr simultáneamente una sobrecarga de tiempo polinomial y una sobrecarga de espacio constante para una simulación de una máquina de acceso aleatorio en una máquina de Turing. [ 66 ]

Si se demuestra que BQP es un superconjunto estricto de BPP , se invalidaría la tesis de Church-Turing en la teoría de la complejidad. En otras palabras, existirían algoritmos cuánticos eficientes que realizarían tareas para las que no existen algoritmos probabilísticos eficientes . Sin embargo, esto no invalidaría la tesis original de Church-Turing, ya que una computadora cuántica siempre puede ser simulada por una máquina de Turing, pero sí invalidaría la tesis clásica de Church-Turing en la teoría de la complejidad por razones de eficiencia. En consecuencia, la tesis de Church-Turing en la teoría de la complejidad cuántica afirma: [ 64 ] "Una máquina de Turing cuántica puede simular eficientemente cualquier modelo de computación realista".

Eugene Eberbach y Peter Wegner afirman que la tesis de Church-Turing a veces se interpreta de forma demasiado amplia, declarando: «Aunque [...] las máquinas de Turing expresan el comportamiento de los algoritmos, la afirmación más amplia de que los algoritmos capturan con precisión lo que se puede computar es inválida». [ 67 ] Afirman que las formas de computación no capturadas por la tesis son relevantes hoy en día, términos que denominan computación super-Turing .

Implicaciones filosóficas

Los filósofos han interpretado la tesis de Church-Turing como algo con implicaciones para la filosofía de la mente . [ 68 ] [ 69 ] [ 70 ] B. Jack Copeland afirma que es una cuestión empírica abierta si existen procesos físicos deterministas reales que, a largo plazo, escapan a la simulación por una máquina de Turing; además, afirma que es una cuestión empírica abierta si alguno de estos procesos está involucrado en el funcionamiento del cerebro humano. [ 71 ] También hay algunas cuestiones abiertas importantes que abarcan la relación entre la tesis de Church-Turing y la física, y la posibilidad de la hipercomputación . Cuando se aplica a la física, la tesis tiene varios significados posibles:

  1. El universo es equivalente a una máquina de Turing; por lo tanto, calcular funciones no recursivas es físicamente imposible. Esto se conoce como la tesis fuerte de Church-Turing o principio de Church-Turing-Deutsch , y constituye un fundamento de la física digital .
  2. El universo no es equivalente a una máquina de Turing (es decir, las leyes de la física no son computables por una máquina de Turing), pero los eventos físicos incomputables no son aprovechables para la construcción de una hipercomputadora . Por ejemplo, un universo en el que la física involucra números reales aleatorios , en contraposición a los números reales computables , entraría en esta categoría.
  3. El universo es una hipercomputadora , y es posible construir dispositivos físicos para aprovechar esta propiedad y calcular funciones no recursivas. Por ejemplo, es una cuestión abierta si todos los eventos de la mecánica cuántica son computables por una máquina de Turing, aunque se sabe que los modelos rigurosos, como las máquinas de Turing cuánticas, son equivalentes a las máquinas de Turing deterministas. (No son necesariamente equivalentes en eficiencia; véase más arriba). John Lucas y Roger Penrose han sugerido que la mente humana podría ser el resultado de algún tipo de computación "no algorítmica" mejorada mediante la mecánica cuántica. [ 72 ] [ 73 ]

Existen muchas otras posibilidades técnicas que quedan fuera o entre estas tres categorías, pero estas sirven para ilustrar el alcance del concepto.

Los aspectos filosóficos de la tesis, tanto en lo que respecta a las computadoras físicas como biológicas, también se discuten en el libro de texto de Odifreddi de 1989 sobre la teoría de la recursión. [ 74 ] : 101–123

Funciones no computables

Es posible definir formalmente funciones que no son computables. Un ejemplo conocido es la función Busy Beaver . Esta función recibe una entrada n y devuelve el mayor número de símbolos que una máquina de Turing con n estados puede imprimir antes de detenerse, cuando se ejecuta sin entrada. Encontrar una cota superior para la función Busy Beaver equivale a resolver el problema de la parada , un problema que se sabe que las máquinas de Turing no pueden resolver. Dado que la función Busy Beaver no puede ser computada por máquinas de Turing, la tesis de Church-Turing afirma que esta función no puede ser computada eficazmente por ningún método.

Varios modelos computacionales permiten el cálculo de funciones no computables (de Church-Turing). Estos se conocen como hipercomputadoras .

Mark Burgin argues that super-recursive algorithms such as inductive Turing machines disprove the Church–Turing thesis.[75] His argument relies on a definition of algorithm broader than the ordinary one, so that non-computable functions obtained from some inductive Turing machines are called computable. This interpretation of the Church–Turing thesis differs from the interpretation commonly accepted in computability theory, discussed above. The argument that super-recursive algorithms are indeed algorithms in the sense of the Church–Turing thesis has not found broad acceptance within the computability research community.

See also

Notes

  1. ↑Also known as computability thesis,[1] the Turing–Church thesis,[2] the Church–Turing conjecture, Church's thesis, Church's conjecture, and Turing's thesis.

References

  1. ↑Soare, Robert I. (2009-09-01). "Turing oracle machines, online computing, and three displacements in computability theory". Annals of Pure and Applied Logic. Computation and Logic in the Real World: CiE 2007. 160 (3): 368–399. doi:10.1016/j.apal.2009.01.008. ISSN 0168-0072.
  2. ↑Conrad, Michael (May 1985). "On design principles for a molecular computer". Communications of the ACM. 28 (5): 464–480. doi:10.1145/3532.3533.
  3. ↑Steinert-Threlkeld, Shane. "Lambda Calculi". Internet Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2026-02-24.
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  6. ↑ Church, Alonzo (abril de 1936). "Un problema irresoluble de la teoría elemental de números" . American Journal of Mathematics . 58 (2): 345–363 . doi : 10.2307/2371045 . Recuperado el 24 de febrero de 2026 .
  7. ↑ El resumen del artículo de Church fue recibido por el Boletín de la Sociedad Matemática Americana el 22 de marzo de 1935, [ 4 ] presentado a la Sociedad Matemática Americana el 19 de abril de 1935, [ 5 ] y publicado el 15 de abril de 1936. [ 6 ]
  8. ↑ Correspondencia entre Max Newman y Church en los documentos de Alonzo Church
  9. ↑ Turing, Alan (2004). The essential Turing : seminal writings in computing, logic, philosophy, artificial intelligence, and artificial life, plus the secrets of Enigma (PDF) . Oxford: Clarendon Press. p. 44. ISBN   9780198250791. Consultado el 06-12-2021 .
  10. ↑ Turing, AM (1937). "Sobre los números computables, con una aplicación al problema de decisión" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . s2-42 (1): 230– 265. doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 . Consultado el 24 de febrero de 2026 .
  11. 1 2 Soare, Robert I. (septiembre de 1996). "Computabilidad y recursión". Boletín de lógica simbólica . 2 (3): 284– 321. CiteSeerX 10.1.1.35.5803 . doi : 10.2307/420992 . JSTOR 420992. S2CID 5894394 .   
  12. ↑ Turing, quien había avanzado considerablemente en la redacción de sus propios resultados, se sintió decepcionado al enterarse del artículo de Church poco después de su publicación. [ 8 ] [ 9 ] Turing completó rápidamente su artículo y lo publicó apresuradamente; fue recibido por las Actas de la Sociedad Matemática de Londres el 28 de mayo de 1936, leído el 12 de noviembre de 1936 y publicado en la serie 2, volumen 42 (1936-1937) [ 10 ] ; apareció en dos secciones: en la Parte 3 (páginas 230-240), publicada el 30 de noviembre de 1936 y en la Parte 4 (páginas 241-265), publicada el 23 de diciembre de 1936; Turing añadió correcciones en el volumen 43 (1937), págs. 544-546. [ 11 ] : 45
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