coeficiente de correlación de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson, cuando se aplica a una población , se representa comúnmente con la letra griega ρ (rho) y puede denominarse coeficiente de correlación poblacional o coeficiente de correlación de Pearson poblacional . Dado un par de variables aleatorias${\displaystyle (X,Y)}$(por ejemplo, altura y peso), la fórmula para ρ ^{[ 12 ]} es ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \operatorname {cov} }$es la covarianza
• ${\displaystyle \sigma _{X}}$es la desviación estándar de ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$es la desviación estándar de ${\displaystyle Y}$.

La fórmula para${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$puede expresarse en términos de media y esperanza . Dado que ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})],}$

la fórmula para${\displaystyle \rho }$también se puede escribir como

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$y${\displaystyle \sigma _{X}}$se definen como se indica arriba
• ${\displaystyle \mu _{X}}$es la media de${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu _{Y}}$es la media de${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } }$es la expectativa.

La fórmula para${\displaystyle \rho }$puede expresarse en términos de momentos descentrados. Dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [X]\\\mu _{Y}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\\\sigma _{X}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\\\sigma _{Y}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\\\operatorname {cov} (X,Y)={}&\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\mu _{X}\right)\left(Y-\mu _{Y}\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y],\end{aligned}}}$

la fórmula para${\displaystyle \rho }$también se puede escribir como $${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y]}{{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}}}~{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}}}}}.}$$

El coeficiente de correlación de Pearson, cuando se aplica a una muestra , se representa comúnmente por${\displaystyle r_{xy}}$y puede denominarse coeficiente de correlación muestral o coeficiente de correlación de Pearson muestral . Podemos obtener una fórmula para${\displaystyle r_{xy}}$sustituyendo las estimaciones de las covarianzas y varianzas basadas en una muestra en la fórmula anterior. Dados datos pareados${\displaystyle \left\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\right\}}$compuesto de${\displaystyle n}$pares,${\displaystyle r_{xy}}$se define como

$${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle n}$es el tamaño de la muestra
• ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$son los puntos de muestra individuales indexados con i
• ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$(la media de la muestra); y análogamente para${\displaystyle {\bar {y}}}$.

Reordenando obtenemos esta ^{[ 12 ]} fórmula para${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{{\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}-n{\bar {x}}^{2}}}~{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}-n{\bar {y}}^{2}}}}},}$

dónde${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$se definen como se indicó anteriormente.

Reordenando de nuevo obtenemos esta fórmula para${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-\left(\sum y_{i}\right)^{2}}}}},}$

dónde${\displaystyle n,x_{i},y_{i}}$se definen como se indicó anteriormente.

Esta fórmula sugiere un algoritmo conveniente de una sola pasada para calcular correlaciones de muestras, aunque dependiendo de los números involucrados, a veces puede ser numéricamente inestable .

Una expresión equivalente da la fórmula para${\displaystyle r_{xy}}$como la media de los productos de las puntuaciones estándar de la siguiente manera:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)\left({\frac {y_{i}-{\bar {y}}}{s_{y}}}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$se definen como arriba, y${\displaystyle s_{x},s_{y}}$se definen a continuación
• ${\textstyle \left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)}$es la puntuación estándar (y análogamente para la puntuación estándar de${\displaystyle y}$).

Fórmulas alternativas para${\displaystyle r_{xy}}$También están disponibles. Por ejemplo, se puede utilizar la siguiente fórmula para${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{(n-1)s_{x}s_{y}}}}$

dónde

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$se definen como se indicó anteriormente y:
• ${\textstyle s_{x}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$(la desviación estándar de la muestra ); y de forma análoga para${\displaystyle s_{y}}$.

Si${\displaystyle (X,Y)}$es conjuntamente gaussiana , con media cero y varianza${\displaystyle \Sigma }$, entonces${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\\\end{bmatrix}}}$.

En condiciones de ruido intenso , extraer el coeficiente de correlación entre dos conjuntos de variables estocásticas no es trivial. Este problema se conoce como dilución de regresión . Según la teoría clásica de pruebas , la corrección es${\textstyle \rho _{x'y'}={\frac {\rho _{xy}}{\sqrt {\rho _{xx^{\prime }}\rho _{yy^{\prime }}}}}}$, aunque la estimación de la fiabilidad (o equivalentemente los niveles de ruido)${\textstyle \sigma _{\epsilon _{x}},\sigma _{\epsilon _{y}}}$) es necesario. El análisis de correlación canónica tiene un problema análogo. Una generalización del enfoque para CCA, y con un método para estimar el nivel de ruido, se presenta en otro lugar. ^{[ 14 ]}

En caso de datos faltantes, Garren derivó el estimador de máxima verosimilitud . ^{[ 15 ]}

Algunas distribuciones (por ejemplo, distribuciones estables distintas de la distribución normal ) no tienen una varianza definida.

Para datos no centrados, existe una relación entre el coeficiente de correlación y el ángulo φ entre las dos líneas de regresión, y = g _X ( x ) y x = g _Y ( y ) , obtenidas al regresar y sobre x y x sobre y respectivamente. (Aquí, φ se mide en sentido antihorario dentro del primer cuadrante formado alrededor del punto de intersección de las líneas si r > 0 , o en sentido antihorario desde el cuarto al segundo cuadrante si r < 0 .) Se puede demostrar ^{[ 19 ]} que si las desviaciones estándar son iguales, entonces r = sec φ − tan φ , donde sec y tan son funciones trigonométricas .

Para datos centrados (es decir, datos que han sido desplazados por las medias muestrales de sus respectivas variables de modo que tengan un promedio de cero para cada variable), el coeficiente de correlación también puede verse como el coseno del ángulo θ entre los dos vectores observados en un espacio N -dimensional (para N observaciones de cada variable). ^{[ 20 ]}

Se pueden determinar tanto los coeficientes de correlación no centrados (que no cumplen con la correlación de Pearson) como los centrados para un conjunto de datos. Por ejemplo, supongamos que se encuentra que cinco países tienen productos nacionales brutos de 1, 2, 3, 5 y 8 mil millones de dólares, respectivamente. Supongamos que estos mismos cinco países (en el mismo orden) tienen 11%, 12%, 13%, 15% y 18% de pobreza. Entonces, sean x e y vectores ordenados de 5 elementos que contienen los datos anteriores: x = (1, 2, 3, 5, 8) e y = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18) .

Mediante el procedimiento habitual para hallar el ángulo θ entre dos vectores (véase producto escalar ), el coeficiente de correlación no centrado es

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {2.93}{{\sqrt {103}}{\sqrt {0.0983}}}}=0.920814711.}$

Este coeficiente de correlación no centrado es idéntico a la similitud del coseno . Los datos anteriores fueron elegidos deliberadamente para estar perfectamente correlacionados: y = 0,10 + 0,01 x . Por lo tanto, el coeficiente de correlación de Pearson debe ser exactamente uno. Centrando los datos (desplazando x por ℰ( x ) = 3,8 e y por ℰ( y ) = 0,138 ) se obtiene x = (−2,8, −1,8, −0,8, 1,2, 4,2) e y = (−0,028, −0,018, −0,008, 0,012, 0,042) , de donde

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {0.308}{{\sqrt {30.8}}{\sqrt {0.00308}}}}=1=\rho _{xy},}$

Como era de esperar.

Varios autores han ofrecido directrices para la interpretación de un coeficiente de correlación. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Sin embargo, todos estos criterios son, en cierto modo, arbitrarios. ^{[ 22 ]} La interpretación de un coeficiente de correlación depende del contexto y los objetivos. Una correlación de 0,8 puede ser muy baja si se verifica una ley física con instrumentos de alta calidad, pero puede considerarse muy alta en las ciencias sociales, donde puede haber una mayor influencia de factores que complican el análisis.

Las pruebas de permutación proporcionan un método directo para realizar pruebas de hipótesis y construir intervalos de confianza. Una prueba de permutación para el coeficiente de correlación de Pearson consta de los siguientes dos pasos:

1. Utilizando los datos emparejados originales ( x _i , y _i ), redefina aleatoriamente los pares para crear un nuevo conjunto de datos ( x _i , y _{i ′} ), donde los i ′ son una permutación del conjunto {1,..., n }. La permutación i ′ se selecciona aleatoriamente, con probabilidades iguales colocadas en todas las n ! permutaciones posibles. Esto es equivalente a extraer los i ′ aleatoriamente sin reemplazo del conjunto {1, ..., n }. En el bootstrapping , un enfoque estrechamente relacionado, los i y los i ′ son iguales y se extraen con reemplazo de {1, ..., n };  
2. Construya un coeficiente de correlación r a partir de los datos aleatorios.

Para realizar la prueba de permutación, repita los pasos  (1) y (2) un gran número de veces. El valor p de la prueba de permutación es la proporción de los valores r generados en el paso  (2) que son mayores que el coeficiente de correlación de Pearson calculado a partir de los datos originales. Aquí, "mayor" puede significar que el valor es mayor en magnitud o mayor en signo, según se desee una prueba bilateral o unilateral .

El método bootstrap se puede utilizar para construir intervalos de confianza para el coeficiente de correlación de Pearson. En el bootstrap "no paramétrico", se remuestrean n pares ( xᵢ _, yᵢ ₎ con reemplazo del conjunto observado de n pares, y el coeficiente de correlación r se calcula a partir de los datos remuestreados. Este proceso se repite muchas veces, y la distribución empírica de los valores de r remuestreados se utiliza para aproximar la distribución muestral del estadístico. Un intervalo de confianza del 95% para ρ se define como el intervalo que abarca desde el percentil 2,5 hasta el percentil 97,5 de los valores de r remuestreados . 

Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son variables aleatorias, con una relación lineal simple entre ellas con un ruido normal aditivo (es decir, y = a + bx + e), entonces un error estándar asociado a la correlación es

${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {1-r^{2}}{\sqrt {n}}}}$

dónde${\displaystyle r}$es la correlación y${\displaystyle n}$el tamaño de la muestra. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Para pares de una distribución normal bivariada no correlacionada , la distribución muestral del coeficiente de correlación de Pearson estudentizado sigue una distribución t de Student con grados de libertad n  −  2. Específicamente, si las variables subyacentes tienen una distribución normal bivariada, la variable

${\displaystyle t={\frac {r}{\sigma _{r}}}=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

tiene una distribución t de Student en el caso nulo (correlación cero). ^{[ 25 ]} Esto se cumple aproximadamente en caso de valores observados no normales si los tamaños de muestra son suficientemente grandes. ^{[ 26 ]} Para determinar los valores críticos de r se necesita la función inversa:

${\displaystyle r={\frac {t}{\sqrt {n-2+t^{2}}}}.}$

Como alternativa, se pueden utilizar enfoques asintóticos con muestras grandes.

Otro artículo anterior ^{[ 27 ]} proporciona gráficos y tablas para valores generales de ρ , para tamaños de muestra pequeños, y analiza enfoques computacionales.

En el caso de que las variables subyacentes no sean normales, la distribución muestral del coeficiente de correlación de Pearson sigue una distribución t de Student , pero los grados de libertad se reducen. ^{[ 28 ]}

Para datos que siguen una distribución normal bivariada , la función de densidad exacta f ( r ) para el coeficiente de correlación muestral r de una distribución normal bivariada es ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle f(r)={\frac {(n-2)\,\mathrm {\Gamma } (n-1)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\operatorname {\Gamma } {\mathord {\left(n-{\tfrac {1}{2}}\right)}}(1-\rho r)^{n-{\frac {3}{2}}}}}{}_{2}\mathrm {F} _{1}{\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(2n-1);{\tfrac {1}{2}}(\rho r+1)\right)}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma y${\displaystyle {}_{2}\mathrm {F} _{1}(a,b;c;z)}$es la función hipergeométrica gaussiana .

En el caso especial cuando${\displaystyle \rho =0}$(correlación poblacional cero), la función de densidad exacta f ( r ) se puede escribir como

${\displaystyle f(r)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } {\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n-2}{2}}\right)}}}},}$

dónde${\displaystyle \mathrm {B} }$es la función beta , que es una forma de escribir la densidad de una distribución t de Student para un coeficiente de correlación de muestra estudentizado , como se indicó anteriormente.

En la práctica, los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis relacionadas con ρ se suelen llevar a cabo utilizando la transformación estabilizadora de la varianza , la transformación de Fisher ,${\displaystyle F}$:

${\displaystyle F(r)\equiv {\tfrac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} (r)}$

F ( r ) sigue aproximadamente una distribución normal con

${\displaystyle {\text{mean}}=F(\rho )=\operatorname {artanh} (\rho )}$    y error estándar${\displaystyle ={\text{SE}}={\frac {1}{\sqrt {n-3}}},}$

donde n es el tamaño de la muestra. El error de aproximación es mínimo para un tamaño de muestra grande.${\displaystyle n}$y pequeños${\displaystyle r}$y${\displaystyle \rho _{0}}$y aumenta en caso contrario.

Utilizando la aproximación, se obtiene una puntuación z.

${\displaystyle z={\frac {x-{\text{mean}}}{\text{SE}}}=[F(r)-F(\rho _{0})]{\sqrt {n-3}}}$

bajo la hipótesis nula que${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$, dado el supuesto de que los pares de muestras son independientes e idénticamente distribuidos y siguen una distribución normal bivariada . Por lo tanto, se puede obtener un valor p aproximado a partir de una tabla de probabilidad normal. Por ejemplo, si se observa z  =  2.2 y se desea un valor p bilateral para probar la hipótesis nula que${\displaystyle \rho =0}$, el valor p es 2Φ(−2.2) = 0.028 , donde Φ es la función de distribución acumulativa normal estándar .

Para obtener un intervalo de confianza para ρ, primero calculamos un intervalo de confianza para F (${\displaystyle \rho }$):

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\operatorname {artanh} (\rho )\in [\operatorname {artanh} (r)\pm z_{\alpha /2}{\text{SE}}]}$

La transformación inversa de Fisher devuelve el intervalo a la escala de correlación.

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\rho \in [\tanh(\operatorname {artanh} (r)-z_{\alpha /2}{\text{SE}}),\tanh(\operatorname {artanh} (r)+z_{\alpha /2}{\text{SE}})]}$

Por ejemplo, supongamos que observamos r  =  0,7 con un tamaño de muestra de n = 50, y deseamos obtener un intervalo de confianza del 95% para ρ . El valor transformado es ${\textstyle \operatorname {arctanh} \left(r\right)=0.8673}$, por lo que el intervalo de confianza en la escala transformada es${\displaystyle 0.8673\pm {\frac {1.96}{\sqrt {47}}}}$o (0,5814,  1,1532). Al convertir de nuevo a la escala de correlación se obtiene (0,5237,  0,8188).

El coeficiente de correlación de Pearson poblacional se define en términos de momentos y, por lo tanto, existe para cualquier distribución de probabilidad bivariada para la cual la covarianza poblacional esté definida y las varianzas poblacionales marginales estén definidas y sean distintas de cero. Algunas distribuciones de probabilidad, como la distribución de Cauchy , tienen varianza indefinida y, por lo tanto, ρ no está definido si X o Y siguen dicha distribución. En algunas aplicaciones prácticas, como aquellas que involucran datos que se sospecha que siguen una distribución de cola pesada , esta es una consideración importante. Sin embargo, la existencia del coeficiente de correlación generalmente no es un problema; por ejemplo, si el rango de la distribución está acotado, ρ siempre está definido.

• Si el tamaño de la muestra es moderado o grande y la población es normal, entonces, en el caso de la distribución normal bivariada , el coeficiente de correlación muestral es la estimación de máxima verosimilitud del coeficiente de correlación poblacional, y es asintóticamente insesgado y eficiente , lo que significa aproximadamente que es imposible construir una estimación más precisa que el coeficiente de correlación muestral.
• Si el tamaño de la muestra es grande y la población no es normal, el coeficiente de correlación muestral permanece aproximadamente insesgado, pero puede que no sea eficiente.
• Si el tamaño de la muestra es grande, el coeficiente de correlación muestral es un estimador consistente del coeficiente de correlación poblacional siempre que las medias, varianzas y covarianzas muestrales sean consistentes (lo cual está garantizado cuando se puede aplicar la ley de los grandes números ).
• Si el tamaño de la muestra es pequeño, entonces el coeficiente de correlación muestral r no es una estimación insesgada de ρ . ^{[ 12 ]} En su lugar, debe utilizarse el coeficiente de correlación ajustado: consulte la definición en otra parte de este artículo.
• Las correlaciones pueden ser diferentes para datos dicotómicos desequilibrados cuando hay error de varianza en la muestra. ^{[ 32 ]}

Al igual que muchas estadísticas de uso común, la estadística muestral r no es robusta , ^{[ 33 ]} por lo que su valor puede ser engañoso si hay valores atípicos presentes. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Específicamente, el PMCC no es robusto en cuanto a la distribución, ^{[ 36 ]} ni resistente a valores atípicos ^{[ 33 ]} (véase Estadísticas robustas §  Definición ). La inspección del diagrama de dispersión entre X e Y generalmente revelará una situación en la que la falta de robustez podría ser un problema, y ​​en tales casos puede ser aconsejable utilizar una medida de asociación robusta. Sin embargo, tenga en cuenta que si bien la mayoría de los estimadores robustos de asociación miden la dependencia estadística de alguna manera, generalmente no son interpretables en la misma escala que el coeficiente de correlación de Pearson.

La inferencia estadística para el coeficiente de correlación de Pearson es sensible a la distribución de los datos. Se pueden aplicar pruebas exactas y pruebas asintóticas basadas en la transformación de Fisher si los datos se distribuyen aproximadamente de forma normal, pero pueden resultar engañosas en caso contrario. En algunos casos, se puede aplicar el método bootstrap para construir intervalos de confianza y pruebas de permutación para realizar pruebas de hipótesis. Estos enfoques no paramétricos pueden ofrecer resultados más significativos en situaciones donde no se cumple la normalidad bivariada. Sin embargo, las versiones estándar de estos enfoques se basan en la intercambiabilidad de los datos, lo que significa que no existe un ordenamiento o agrupamiento de los pares de datos analizados que pueda afectar el comportamiento de la estimación de la correlación.

Un análisis estratificado es una forma de abordar la falta de normalidad bivariada o de aislar la correlación resultante de un factor controlando otro. Si W representa la pertenencia a un clúster u otro factor que se desea controlar, podemos estratificar los datos según el valor de W y luego calcular un coeficiente de correlación dentro de cada estrato. Las estimaciones a nivel ^de estrato se pueden combinar para estimar la correlación general controlando W. ^{[ 37} ]

El coeficiente de correlación muestral r no es una estimación insesgada de ρ . Para datos que siguen una distribución normal bivariada , la esperanza E[ r ] para el coeficiente de correlación muestral r de una distribución normal bivariada es ^{[ 38 ].}

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[r\right]=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2n}}+\cdots ,\quad }$Por lo tanto, r es un estimador sesgado de${\displaystyle \rho .}$

El estimador insesgado de varianza mínima único r _adj viene dado por ^{[ 39 ].}

dónde:

• ${\displaystyle r,n}$se definen como se indicó anteriormente,
• ${\displaystyle \mathbf {_{2}F_{1}} (a,b;c;z)}$es la función hipergeométrica gaussiana .

Se puede obtener un estimador aproximadamente insesgado r _adj truncando E[ r ] y resolviendo esta ecuación truncada:

Una solución aproximada a la ecuación ( 2 ) es

donde en ( 3 )

• ${\displaystyle r,n}$se definen como se indicó anteriormente,
• r _adj es un estimador subóptimo,
• r _adj también se puede obtener maximizando log( f ( r )),
• r _adj tiene varianza mínima para valores grandes de n ,
• r _adj tiene un sesgo de orden 1 ⁄ ( n − 1) .

Otro coeficiente de correlación ajustado propuesto ^{[ 12 ] es}

${\displaystyle r_{\text{adj}}={\sqrt {1-{\frac {(1-r^{2})(n-1)}{(n-2)}}}}.}$

r _adj ≈ r para valores grandes de n . 

Supongamos que las observaciones que se correlacionan tienen diferentes grados de importancia que se pueden expresar con un vector de pesos w . Para calcular la correlación entre los vectores x e y con el vector de pesos w (todos de longitud n ), ^{[ 40 ] [ 41 ]} 

• Media ponderada:$${\displaystyle \operatorname {m} (x;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}x_{i}}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• Covarianza ponderada$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,y;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}\cdot (x_{i}-\operatorname {m} (x;w))(y_{i}-\operatorname {m} (y;w))}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• Correlación ponderada$${\displaystyle \operatorname {corr} (x,y;w)={\frac {\operatorname {cov} (x,y;w)}{\sqrt {\operatorname {cov} (x,x;w)\operatorname {cov} (y,y;w)}}}.}$$

La correlación reflectiva es una variante de la correlación de Pearson en la que los datos no están centrados alrededor de sus valores medios. La correlación reflectiva poblacional es

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X\,Y\,]}{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X^{2}\,]\cdot \operatorname {\mathbb {E} } [\,Y^{2}\,]}}}.}$

La correlación reflectiva es simétrica, pero no es invariante bajo traslación:

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)=\operatorname {corr} _{r}(Y,X)=\operatorname {corr} _{r}(X,bY)\neq \operatorname {corr} _{r}(X,a+bY),\quad a\neq 0,b>0.}$

La correlación reflectiva de la muestra es equivalente a la similitud del coseno :

${\displaystyle rr_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum x_{i}^{2})(\sum y_{i}^{2})}}}.}$

La versión ponderada de la correlación reflectiva de la muestra es

${\displaystyle rr_{xy,w}={\frac {\sum w_{i}x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum w_{i}x_{i}^{2})(\sum w_{i}y_{i}^{2})}}}.}$

La correlación escalada es una variante de la correlación de Pearson en la que el rango de los datos se restringe intencionalmente y de manera controlada para revelar correlaciones entre componentes rápidos en series temporales . ^{[ 42 ]} La correlación escalada se define como la correlación promedio en segmentos cortos de datos.

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​el número de segmentos que caben en la longitud total de la señal${\displaystyle T}$para una escala determinada${\displaystyle s}$:

${\displaystyle K=\operatorname {round} \left({\frac {T}{s}}\right).}$

La correlación escalada en todas las señales${\displaystyle {\bar {r}}_{s}}$se calcula entonces como

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {1}{K}}\sum \limits _{k=1}^{K}r_{k},}$

dónde${\displaystyle r_{k}}$es el coeficiente de correlación de Pearson para el segmento${\displaystyle k}$.

Al elegir el parámetro${\displaystyle s}$Se reduce el rango de valores y se filtran las correlaciones a largo plazo, revelándose únicamente las correlaciones a corto plazo. De este modo, se eliminan las contribuciones de los componentes lentos y se conservan las de los componentes rápidos.

Una métrica de distancia para dos variables X e Y conocida como distancia de Pearson se puede definir a partir de su coeficiente de correlación como ^{[ 43 ].}

${\displaystyle d_{X,Y}=1-\rho _{X,Y}.}$

Considerando que el coeficiente de correlación de Pearson se encuentra entre [−1, +1], la distancia de Pearson se sitúa en [0, 2]. La distancia de Pearson se ha utilizado en análisis de clústeres y detección de datos para comunicaciones y almacenamiento con ganancia y desplazamiento desconocidos. ^{[ 44 ]}

The Pearson "distance" defined this way assigns distance greater than 1 to negative correlations. In reality, both strong positive correlation and negative correlations are meaningful, so care must be taken when Pearson "distance" is used for nearest neighbor algorithm as such algorithm will only include neighbors with positive correlation and exclude neighbors with negative correlation. Alternatively, an absolute valued distance, ${\displaystyle d_{X,Y}=1-|\rho _{X,Y}|}$, can be applied, which will take both positive and negative correlations into consideration. The information on positive and negative association can be extracted separately, later.

For variables X = {x₁,...,x_n} and Y = {y₁,...,y_n} that are defined on the unit circle [0, 2π), it is possible to define a circular analog of Pearson's coefficient.^[45] This is done by transforming data points in X and Y with a sine function such that the correlation coefficient is given as:

${\displaystyle r_{\text{circular}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})\sin(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

where ${\displaystyle {\bar {x}}}$ and ${\displaystyle {\bar {y}}}$ are the circular means of X and Y. This measure can be useful in fields like meteorology where the angular direction of data is important.

If a population or data-set is characterized by more than two variables, a partial correlation coefficient measures the strength of dependence between a pair of variables that is not accounted for by the way in which they both change in response to variations in a selected subset of the other variables.

For two observables, ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$, in a bipartite quantum system Pearson correlation coefficient is defined as^[46][47]

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)={\frac {\mathbb {E} [X\otimes Y]-\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}{\sqrt {\mathbb {V} [X]\cdot \mathbb {V} [Y]}}}\,,}$

where

• ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ is the expectation value of the observable ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]}$ is the expectation value of the observable ${\displaystyle Y}$,
• ${\displaystyle \mathbb {E} [X\otimes Y]}$ is the expectation value of the observable ${\displaystyle X\otimes Y}$,
• ${\displaystyle \mathbb {V} [X]}$ is the variance of the observable ${\displaystyle X}$, and
• ${\displaystyle \mathbb {V} [Y]}$ is the variance of the observable ${\displaystyle Y}$.

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)}$ is symmetric, i.e., ${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)=\mathbb {Cor} (Y,X)}$, and its absolute value is invariant under affine transformations.