La ecuación de Clairaut

En análisis matemático , la ecuación de Clairaut (o ecuación de Clairaut ) es una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

dónde${\displaystyle f}$es continuamente diferenciable . Es un caso particular de la ecuación diferencial de Lagrange. Recibe su nombre del matemático francés Alexis Clairaut , quien la introdujo en 1734. ^{[ 1 ]}

Para resolver la ecuación de Clairaut, se deriva con respecto a${\displaystyle x}$, produciendo

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

entonces

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\cdot \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

Por lo tanto, o

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$, o${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0.}$

En el primer caso,${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=C}$por alguna constante${\displaystyle C}$Sustituyendo esto en la ecuación de Clairaut, se obtiene la familia de funciones de línea recta dada por

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

la denominada solución general de la ecuación de Clairaut.

Este último caso,

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

define solo una solución${\displaystyle y(x)}$, la llamada solución singular , cuyo gráfico es la envolvente de los gráficos de las soluciones generales. La solución singular se suele representar utilizando notación paramétrica, como${\displaystyle (x(p),y(p))}$, dónde${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}}$.

La descripción paramétrica de la solución singular tiene la forma

${\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),\,}$

dónde${\displaystyle t}$es un parámetro.

Las siguientes curvas representan las soluciones a dos ecuaciones de Clairaut:

• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

En cada caso, las soluciones generales se representan en negro, mientras que la solución singular se muestra en violeta.

Por extensión, una ecuación diferencial parcial de primer orden de la forma

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

También se conoce como la ecuación de Clairaut. ^{[ 2 ]}

• La ecuación de D'Alembert
• La ecuación de Crystal
• Transformación de Legendre

• Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans una cierta relación entre leurs Branches, exprimée par une Équation donnée". , Historia de la Academia Real de Ciencias : 196-215.

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (en alemán), vol.  2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Clairaut" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.