Relación de Clairaut (geometría diferencial)

En geometría diferencial clásica , la relación de Clairaut , que recibe su nombre de Alexis Claude de Clairaut , es una fórmula que caracteriza las trayectorias de círculo máximo en la esfera unitaria . La fórmula establece que si${\displaystyle \gamma }$es una parametrización de un círculo máximo entonces

${\displaystyle \rho (\gamma (t))\sin \psi (\gamma (t))={\text{constante}},\,}$

dónde${\displaystyle \rho (P)}$es la distancia desde un punto${\displaystyle P}$en el círculo máximo hacia el${\displaystyle z}$eje y${\displaystyle \psi (P)}$es el ángulo entre el círculo máximo y el meridiano que pasa por el punto${\displaystyle P}$.

La relación sigue siendo válida para una geodésica en una superficie de revolución arbitraria .

Una declaración de la versión general de la relación de Clairaut es: ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \gamma }$ser una geodésica en una superficie de revolución${\displaystyle S}$, dejar${\displaystyle \rho }$sea ​​la distancia de un punto de${\displaystyle S}$desde el eje de rotación y dejemos${\displaystyle \psi }$sea ​​el ángulo entre${\displaystyle \gamma }$y el meridiano de${\displaystyle S}$. Entonces${\displaystyle \rho \sin \psi }$es constante a lo largo de${\displaystyle \gamma }$. Por el contrario, si ${\displaystyle \rho \sin \psi }$es constante a lo largo de alguna curva${\displaystyle \gamma }$en la superficie, y si ninguna parte de${\displaystyle \gamma }$es parte de algún paralelo de${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle \gamma }$es una geodésica.

Pressley (p.  185) explica este teorema como una expresión de la conservación del momento angular alrededor del eje de revolución cuando una partícula se mueve a lo largo de una geodésica sin otras fuerzas que las que la mantienen en la superficie.

Ahora imaginemos una partícula obligada a moverse sobre una superficie de revolución, sin torsión externa alrededor del eje. Por conservación del momento angular:

${\displaystyle r\,v_{\theta }=L,}$

dónde

• ${\displaystyle r}$= distancia al eje,
• ${\displaystyle v_{\theta }}$= componente de la velocidad ortogonal al meridiano,
• ${\displaystyle L}$= momento angular conservado alrededor del eje.

Pero geométricamente,

${\displaystyle v_{\theta }=|v|\sin \psi ,}$

Si normalizamos la velocidad${\displaystyle |v|=1}$(geodésicas de velocidad unitaria), obtenemos:

${\displaystyle r\sin \psi ={\frac {L}{|v|}}={\text{constante}}.}$

• M. do Carmo , Geometría diferencial de curvas y superficies , página 257.