transformación alfa-beta

En ingeniería eléctrica , el alfa-beta ( $\alpha \beta \gamma$ La transformación ) (también conocida como transformación de Clarke ) es una transformación matemática empleada para simplificar el análisis de circuitos trifásicos . Conceptualmente es similar a la transformación dq0 . Una aplicación muy útil de la $\alpha \beta \gamma$ La transformación es la generación de la señal de referencia utilizada para el control de modulación vectorial espacial de inversores trifásicos .

Historia

En 1937 y 1938, Edith Clarke publicó artículos con métodos de cálculo modificados sobre problemas trifásicos desequilibrados, que resultaron ser particularmente útiles. ^{[ 1 ]}

Definición

El $\alpha \beta \gamma$ La transformación aplicada a corrientes trifásicas, tal como la utiliza Edith Clarke, es ^{[ 2 ].}

{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}=i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}

dónde $i_{abc}(t)$ es una secuencia de corriente trifásica genérica y $i_{\alpha \beta \gamma }(t)$ es la secuencia actual correspondiente dada por la transformación $T$ La transformada inversa es:

{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}=i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.

La transformación de Clarke anterior conserva la amplitud de las variables eléctricas a las que se aplica. De hecho, considérese una secuencia de corriente continua simétrica trifásica.

{\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}

dónde $I$ es el RMS de $i_{a}(t)$ , $i_{b}(t)$ , $i_{c}(t)$ y $\theta (t)$ es el ángulo genérico que varía con el tiempo y que también se puede configurar para $\omega t$ sin pérdida de generalidad . Luego, aplicando $T$ a la secuencia actual, resulta

{\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}

donde la última ecuación se cumple ya que hemos considerado corrientes equilibradas. Como se muestra arriba, las amplitudes de las corrientes en el $\alpha \beta \gamma$ Los sistemas de referencia son los mismos que en el sistema de referencia natural.

Transformación invariante de potencia

Las potencias activa y reactiva calculadas en el dominio de Clarke con la transformación mostrada anteriormente no son las mismas que las calculadas en el sistema de referencia estándar. Esto sucede porque $T$ no es unitario . Para preservar las potencias activas y reactivas, uno tiene que considerar, en cambio,

i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ui_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},

dónde $U$ es una matriz unitaria (real) y su inversa coincide con su transpuesta. ^{[ 3 ]} En este caso, las amplitudes de las corrientes transformadas no son las mismas que las del sistema de referencia estándar, es decir

{\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}

Finalmente, la transformación inversa en este caso es

i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.

Transformación simplificada

Dado que en un sistema equilibrado $i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0$ y por lo tanto $i_{\gamma }(t)=0$ También se puede considerar la transformación simplificada ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

{\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}

que es simplemente la transformación original de Clarke con la tercera ecuación excluida, y

i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}

que es la transformación inversa correspondiente.

Interpretación geométrica

El $\alpha \beta \gamma$ La transformación puede considerarse como la proyección de las tres magnitudes de fase (voltajes o corrientes) sobre dos ejes estacionarios, el eje alfa y el eje beta. Sin embargo, no se pierde información si el sistema está equilibrado, ya que la ecuación $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ es equivalente a la ecuación para $I_{\gamma }$ en la transformación. Si el sistema no está equilibrado, entonces el $I_{\gamma }$ El término contendrá el componente de error de la proyección. Por lo tanto, un $I_{\gamma }$ Un valor de cero indica que el sistema está equilibrado (y, por lo tanto, existe completamente en el espacio de coordenadas alfa-beta), y puede ignorarse para cálculos de dos coordenadas que operan bajo esta suposición de que el sistema está equilibrado. Esta es la elegancia de la transformada de Clarke, ya que reduce un sistema de tres componentes a uno de dos componentes gracias a esta suposición.

Otra forma de entender esto es que la ecuación $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ define un plano en un espacio euclidiano de tres coordenadas. El espacio de coordenadas alfa-beta puede entenderse como el espacio de dos coordenadas definido por este plano, es decir, los ejes alfa-beta se encuentran en el plano definido por $I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$ .

Esto también significa que, para utilizar la transformada de Clarke, es necesario asegurar que el sistema esté equilibrado; de lo contrario, los cálculos posteriores de dos coordenadas serán erróneos. Esta es una consideración práctica en aplicaciones donde se miden magnitudes trifásicas y pueden existir errores de medición.

Arriba se muestra el $\alpha \beta \gamma$ transformada aplicada a tres corrientes simétricas que fluyen a través de tres bobinados separados por 120 grados físicos. Las tres corrientes de fase están retrasadas con respecto a sus voltajes de fase correspondientes en $\delta$ . El $\alpha$ - $\beta$ El eje se muestra con el $\alpha$ eje alineado con la fase 'A'. El vector actual $I_{\alpha \beta \gamma }$ gira con velocidad angular $\omega$ No hay $\gamma$ componente ya que las corrientes están equilibradas.

{\displaystyle \alpha \beta \gamma } — Arriba se muestra el $\alpha \beta \gamma$ transformada aplicada a tres corrientes simétricas que fluyen a través de tres bobinados separados por 120 grados físicos. Las tres corrientes de fase están retrasadas con respecto a sus voltajes de fase correspondientes en $\delta$ . El $\alpha$ - $\beta$ El eje se muestra con el $\alpha$ eje alineado con la fase 'A'. El vector actual $I_{\alpha \beta \gamma }$ gira con velocidad angular $\omega$ No hay $\gamma$ componente ya que las corrientes están equilibradas.

dq 0 transformar

El $dq0$ transformar es conceptualmente similar a la $\alpha \beta \gamma$ transformar. Mientras que el $\alpha \beta \gamma$ La transformación es la proyección de las cantidades de fase sobre un marco de referencia estacionario de dos ejes, el $dq0$ La transformación puede considerarse como la proyección de las cantidades de fase sobre un sistema de referencia giratorio de dos ejes.

Véase también

Referencias

↑ O'Rourke, Colm J. (diciembre de 2019). "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park" . IEEE Transactions on Energy Conversion . 34, 4 (4): 2070– 2083. Bibcode : 2019ITEnC..34.2070O . doi : 10.1109/TEC.2019.2941175 . hdl : 1721.1/123557 . S2CID 203113468 – vía MIT Open Access Articles.
↑ WC Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (julio de 1951). "Determinación de corrientes y voltajes instantáneos mediante componentes alfa, beta y cero". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers . 70 (2): 1248– 1255. doi : 10.1109/T-AIEE.1951.5060554 . ISSN 0096-3860 . S2CID 51636360 .
↑ S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). "Enfoque basado en áreas para la evaluación de la calidad de la energía trifásica en Clarke Plane" . Journal of Electrical Systems . 04 (1): 62. Recuperado el 26 de noviembre de 2020 .
↑ F. Tahri, A. Tahri, Eid A. AlRadadi y A. Draou Senior, "Análisis y control de un compensador VAR estático avanzado basado en la teoría de la potencia reactiva instantánea", presentado en ACEMP, Bodrum, Turquía, 2007.
↑ "Transformación de Clarke" . www.mathworks.com .

Referencias generales

CJ O'Rourke et al. "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park", en IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, n.º 4, págs. 2070-2083, diciembre de 2019.

[1] O'Rourke, Colm J. (diciembre de 2019). "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park" . IEEE Transactions on Energy Conversion . 34, 4 (4): 2070– 2083. Bibcode : 2019ITEnC..34.2070O . doi : 10.1109/TEC.2019.2941175 . hdl : 1721.1/123557 . S2CID 203113468 – vía MIT Open Access Articles.

[2] WC Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (julio de 1951). "Determinación de corrientes y voltajes instantáneos mediante componentes alfa, beta y cero". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers . 70 (2): 1248– 1255. doi : 10.1109/T-AIEE.1951.5060554 . ISSN 0096-3860 . S2CID 51636360 .

[3] S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). "Enfoque basado en áreas para la evaluación de la calidad de la energía trifásica en Clarke Plane" . Journal of Electrical Systems . 04 (1): 62. Recuperado el 26 de noviembre de 2020 .

[Tahri-4] F. Tahri, A. Tahri, Eid A. AlRadadi y A. Draou Senior, "Análisis y control de un compensador VAR estático avanzado basado en la teoría de la potencia reactiva instantánea", presentado en ACEMP, Bodrum, Turquía, 2007.

[5] "Transformación de Clarke" . www.mathworks.com .

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