Desigualdades de Clarkson

En matemáticas , las desigualdades de Clarkson , llamadas así en honor a James A. Clarkson , son resultados de la teoría de espacios L ^p . Proporcionan límites para las L ^p -normas de la suma y la diferencia de dos funciones medibles en L ^p en términos de las L ^p -normas de esas funciones individualmente.

Sea ( X , Σ,  μ ) un espacio de medida ; sean f ,  g  :  X  →  R funciones mensurables en L ^p . Entonces, para 2 ≤  p  < +∞,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

Para 1 <  p  < 2,

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

es decir, q  =  p  ⁄ ( p  − 1).

El caso p  ≥ 2 es algo más fácil de demostrar, siendo una simple aplicación de la desigualdad triangular y la convexidad de

${\displaystyle x\mapsto x^{p}.}$

• Clarkson, James A. (1936), "Espacios uniformemente convexos", Transactions of the American Mathematical Society , 40 (3): 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR  1989630, MR  1501880.
• Hanner, Olof (1956), "Sobre la convexidad uniforme de L ^p y ℓ ^p ", Arkiv för Matematik , 3 (3): 239–244, Bibcode :1956ArM.....3..239H, doi : 10.1007/ BF02589410 , señor  0077087.
• Friedrichs, KO (1970), "Sobre las desigualdades de Clarkson", Communications on Pure and Applied Mathematics , 23 (4): 603–607, doi :10.1002/cpa.3160230405, MR  0264372.

• Desigualdad de Clarkson en PlanetMath .