Clase de grupos

Una clase de grupos es una colección teórica de grupos que satisface la propiedad de que si G está en la colección, entonces todo grupo isomorfo a G también está en la colección. Este concepto surgió de la necesidad de trabajar con un conjunto de grupos que satisficieran cierta propiedad especial (por ejemplo, finitud o conmutatividad ). Dado que la teoría de conjuntos no admite el "conjunto de todos los grupos", es necesario trabajar con el concepto más general de clase .

Una clase de grupos es una colección de grupos tales que si y entonces . Los grupos de la clase se denominan - grupos . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G\cong H}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Para un conjunto de grupos , denotamos por la clase más pequeña de grupos que contienen . En particular, para un grupo , denota su clase de isomorfismo . ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {I}})}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (G)}$

Los ejemplos más comunes de clases de grupos son:

• ${\displaystyle \emptyset }$:la clase vacía de grupos
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}~}$:la clase de grupos cíclicos
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}~}$:la clase de grupos abelianos
• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}~}$:la clase de grupos finitos supersolubles
• ${\displaystyle {\mathfrak {N}}~}$:la clase de grupos nilpotentes
• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}~}$:la clase de grupos finitos resolubles
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$:la clase de grupos finitos simples
• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}~}$:la clase de grupos finitos
• ${\displaystyle {\mathfrak {G}}~}$:la clase de todos los grupos

Dadas dos clases de grupos y se define el producto de clases${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}=(G\mid G{\text{ has a normal subgroup }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ with }}G/N\in {\mathfrak {Y}}).}$

Esta construcción nos permite definir recursivamente la potencia de una clase estableciendo

${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}=(1)}$y${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}.}$

Cabe señalar que esta operación binaria sobre la clase de clases de grupos no es asociativa ni conmutativa . Por ejemplo, considérese el grupo alterno de grado 4 (y orden 12); este grupo pertenece a la clase porque tiene como subgrupo al grupo , que pertenece a , y además , que está en . Sin embargo no tiene ningún subgrupo cíclico normal no trivial , por lo que . Entonces . ${\displaystyle ({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$${\displaystyle V_{4}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}/V_{4}\cong C_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$

Sin embargo, de la definición se desprende claramente que para cualesquiera tres clases de grupos , , y , ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Z}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}}$

Un mapa de clase c es un mapa que asigna una clase de grupos a otra clase de grupos . Se dice que un mapa de clase es una operación de cierre si satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}}$

1. c es expansivo:${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}}$
2. c es idempotente :${\displaystyle c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})}$
3. c es monótona: Si entonces${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}}$

Algunos de los ejemplos más comunes de operaciones de cierre son:

• ${\displaystyle S{\mathfrak {X}}=(G\mid G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})}$
• ${\displaystyle Q{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{exists }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ and an epimorphism from }}H{\text{ to }}G)}$
• ${\displaystyle N_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal in }}G{\text{ with }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )}$
• ${\displaystyle R_{0}{\mathfrak {X}}=(G\mid {\text{ exists }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal in }}G{\text{ with }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)}$
• ${\displaystyle S_{n}{\mathfrak {X}}=(G\mid G{\text{ is subnormal in }}H{\text{ for some }}H\in {\mathfrak {X}})}$

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Clases de grupos finitos, Matemáticas y sus aplicaciones (Springer), vol. 584, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3, Sr.  2241927
• Dörk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992), Grupos solubles finitos, Exposiciones de Gruyter en Matemáticas, vol. 4, Berlín: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-012892-5, Sr.  1169099

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