Definición clásica de probabilidad

La definición clásica de probabilidad o la interpretación clásica de la probabilidad se identifica ^{[ 1 ]} con los trabajos de Jacob Bernoulli y Pierre-Simon Laplace :

La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables al mismo y el número de todos los casos posibles, cuando nada nos lleva a esperar que alguno de estos casos ocurra con mayor frecuencia que cualquier otro, lo que los hace, para nosotros, igualmente posibles.

Esta definición es esencialmente una consecuencia del principio de indiferencia . Si a los eventos elementales se les asignan probabilidades iguales, entonces la probabilidad de una disyunción de eventos elementales es simplemente el número de eventos en la disyunción dividido por el número total de eventos elementales.

La definición clásica de probabilidad fue cuestionada por varios autores del siglo XIX, entre ellos John Venn y George Boole . ^{[ 2 ]} La definición frecuentista de probabilidad se generalizó como resultado de sus críticas, especialmente gracias a las obras de R. A. Fisher . La definición clásica experimentó un resurgimiento debido al interés general en la probabilidad bayesiana , ya que los métodos bayesianos requieren una distribución de probabilidad previa y el principio de indiferencia ofrece una fuente de dicha distribución. La probabilidad clásica puede ofrecer probabilidades previas que reflejan la ignorancia, lo cual suele parecer apropiado antes de realizar un experimento.

Como disciplina matemática, la teoría de la probabilidad surgió muy tarde —en comparación con la geometría , por ejemplo— a pesar de que contamos con evidencia prehistórica de que el hombre jugaba con dados en culturas de todo el mundo. ^{[ 3 ]} Uno de los primeros autores sobre probabilidad fue Gerolamo Cardano . Probablemente él proporcionó la primera definición conocida de probabilidad clásica. ^{[ 4 ]}

El desarrollo sostenido de la probabilidad comenzó en 1654, cuando Blaise Pascal mantuvo correspondencia con Pierre de Fermat, amigo de su padre , sobre dos problemas relacionados con juegos de azar que había escuchado del Caballero de Méré a principios de ese mismo año, a quien Pascal acompañó en un viaje. Uno de los problemas era el llamado problema de los puntos , un problema clásico ya entonces (tratado por Luca Pacioli en 1494 ^{[ 5 ]} e incluso antes en un manuscrito anónimo de 1400 ^{[ 5 ]} ), que trataba sobre cómo repartir el dinero en juego de forma justa cuando el juego se interrumpe a la mitad. El otro problema era sobre una regla empírica matemática que parecía no cumplirse al extender un juego de dados de uno a dos dados. Este último problema, o paradoja, fue descubierto por el propio Méré y demostró, según él, lo peligroso que era aplicar las matemáticas a la realidad. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Durante el viaje también discutieron otros temas y paradojas matemático-filosóficas que Méré pensó que estaban fortaleciendo su visión filosófica general.

Pascal, en desacuerdo con la visión de Méré sobre las matemáticas como algo bello e impecable pero poco conectado con la realidad, decidió demostrar que Méré estaba equivocado resolviendo estos dos problemas dentro del ámbito de las matemáticas puras. Cuando supo que Fermat, ya reconocido como un matemático distinguido, había llegado a las mismas conclusiones, se convenció de que habían resuelto los problemas de forma concluyente. Esta correspondencia circuló entre otros eruditos de la época, en particular con Huygens , Roberval e indirectamente con Caramuel , ^{[ 5 ]} y marca el punto de partida a partir del cual los matemáticos en general comenzaron a estudiar problemas derivados de juegos de azar. La correspondencia no mencionaba la "probabilidad"; se centraba en precios justos. ^{[ 7 ]}

Medio siglo después, Jacob Bernoulli demostró un dominio sofisticado de la probabilidad. Mostró facilidad con las permutaciones y combinaciones, analizó el concepto de probabilidad con ejemplos que iban más allá de la definición clásica (como decisiones personales, judiciales y financieras) y demostró que las probabilidades podían estimarse mediante ensayos repetidos, disminuyendo la incertidumbre a medida que aumentaba el número de ensayos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El volumen de 1765 de la clásica Encyclopédie de Diderot y d'Alembert contiene una extensa discusión sobre la probabilidad y un resumen del conocimiento existente hasta ese momento. Se establece una distinción entre probabilidades «derivadas de la consideración de la naturaleza misma» (físicas) y probabilidades «fundamentadas únicamente en la experiencia pasada que nos permite extraer conclusiones con seguridad para el futuro» (evidenciales). ^{[ 9 ]}

La fuente de una definición clara y duradera de probabilidad fue Laplace . Incluso en 1814 afirmó:

La teoría de la probabilidad consiste en reducir todos los eventos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre cuya existencia podemos estar igualmente indecisos, y en determinar el número de casos favorables al evento cuya probabilidad se busca. La razón entre este número y el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por lo tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Esta descripción es la que, en última instancia, proporcionaría la definición clásica de probabilidad. Laplace publicó varias ediciones de múltiples documentos (técnicos y de divulgación) sobre probabilidad a lo largo de medio siglo. Muchos de sus predecesores (Cardano, Bernoulli, Bayes) publicaron un único documento póstumamente.

La definición clásica de probabilidad asigna probabilidades iguales a los eventos basándose en la simetría física, lo cual es natural para monedas, cartas y dados.

• Algunos matemáticos objetan que la definición es circular. ^{[ 11 ]} La probabilidad de una moneda "justa" es... Una moneda "justa" se define por una probabilidad de...
• La definición es muy limitada. No menciona los casos en los que no existe simetría física. Las primas de seguros, por ejemplo, solo pueden fijarse racionalmente mediante tasas de pérdida medidas.
• No es trivial justificar el principio de indiferencia salvo en los casos más simples e idealizados (una extensión de la definición limitada del problema). Las monedas no son verdaderamente simétricas. ¿Podemos asignar probabilidades iguales a cada lado? ¿Podemos asignar probabilidades iguales a cualquier experiencia del mundo real?

Aunque limitante, la definición viene acompañada de una confianza considerable. Un casino que observa una desviación marcada de la probabilidad clásica confía en que sus supuestos se han infringido (alguien está haciendo trampa). Gran parte de las matemáticas de la probabilidad se desarrollaron sobre la base de esta definición simplista. Las interpretaciones alternativas de la probabilidad (por ejemplo, la frecuentista y la subjetiva ) también presentan problemas.

La teoría matemática de la probabilidad se ocupa de abstracciones, evitando las limitaciones y las complicaciones filosóficas de cualquier interpretación de la probabilidad.

• Pierre-Simon de Laplace. Teoría analítica de las probabilidades . París: Courcier Imprimeur, 1812.
• Pierre-Simon de Laplace. Essai philosophique sur les probabilités , 3.ª edición. París: Courcier Imprimeur, 1816.
• Pierre-Simon de Laplace. Ensayo filosófico sobre probabilidades . Nueva York: Springer-Verlag, 1995. (Traducido por A.I. Dale de la quinta edición francesa, 1825. Notas extensas).

• El problema de los puntos