Densidad de probabilidad clásica

La densidad de probabilidad clásica es la función de densidad de probabilidad que representa la probabilidad de encontrar una partícula en las proximidades de una ubicación determinada sujeta a una energía potencial en un sistema mecánico clásico . Estas densidades de probabilidad son útiles para comprender el principio de correspondencia y establecer conexiones entre el sistema cuántico en estudio y el límite clásico . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Formación matemática

Consideremos el ejemplo de un oscilador armónico simple inicialmente en reposo con amplitud $A.$ Supongamos que este sistema se coloca dentro de un recipiente opaco, de modo que solo se puede observar mediante una cámara que solo puede tomar una instantánea de lo que ocurre en su interior. Cada instantánea tiene cierta probabilidad de mostrar el oscilador en cualquier posición posible $x$ a lo largo de su trayectoria. La densidad de probabilidad clásica encapsula qué posiciones son más probables, cuáles son menos probables, la posición promedio del sistema, etc. Para derivar esta función, consideremos el hecho de que las posiciones donde es más probable encontrar el oscilador son aquellas en las que pasa la mayor parte del tiempo. De hecho, la probabilidad de estar en un valor $x$ dado es proporcional al tiempo que se pasa en las proximidades de ese valor $x$ . Si el oscilador pasa una cantidad infinitesimal de tiempo $dt$ en las proximidades $dx$ de un valor $x$ dado , entonces la probabilidad $P (x) dx$ de estar en esas proximidades será

P(x)\,dx\propto dt.

Dado que la fuerza que actúa sobre el oscilador es conservativa y el movimiento ocurre sobre un dominio finito, el movimiento será cíclico con algún período que se denotará por $T.$ Dado que la probabilidad de que el oscilador esté en cualquier posición posible entre el valor mínimo posible de $x$ y el valor máximo posible $de x$ debe sumar 1, la normalización

\int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt

se utiliza, donde $N$ es la constante de normalización. Dado que la masa oscilante cubre este rango de posiciones en la mitad de su período (un período completo va de $- A$ a $+ A$ y luego de vuelta a $- A$ ), la integral sobre $t$ es igual a $T /2$ , lo que establece $N$ como $2/ T$ .

Utilizando la regla de la cadena , $dt$ se puede expresar en términos de la altura a la que la masa permanece, observando que $dt = dx / (dx / dt)$ , por lo que nuestra densidad de probabilidad se convierte en

P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},

donde $v (x)$ es la velocidad del oscilador en función de su posición. (Nótese que, dado que la velocidad es un escalar, $v (x)$ es la misma para ambos semiperíodos). En este punto, todo lo que se necesita es proporcionar una función $v (x)$ para obtener $P (x)$ . Para sistemas sujetos a fuerzas conservativas, esto se hace relacionando la velocidad con la energía. Dado que la energía cinética $K$ $es$ $1/2$ mv² $y la$ energía total $E = K +$ $U$ , donde $U$ $($ $x$ $)$ es la energía potencial del sistema, la velocidad se puede escribir $como$

v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[EU(x)]}}.

Sustituyendo esto en nuestra expresión para $P (x)$ obtenemos

P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{EU(x)}}}.

Aunque nuestro ejemplo inicial fue el oscilador armónico, todas las matemáticas hasta este punto han sido completamente generales para una partícula sujeta a una fuerza conservativa. Esta fórmula se puede generalizar para cualquier sistema físico unidimensional sustituyendo la función de energía potencial correspondiente. Una vez hecho esto, $P (x)$ se obtiene fácilmente para cualquier energía permitida $E.$

Ejemplos

oscilador armónico simple

Función de densidad de probabilidad del estado $n = 30$ del oscilador armónico cuántico. La línea continua representa la densidad de probabilidad cuántica, mientras que la línea punteada representa la densidad de probabilidad clásica. Las líneas verticales discontinuas indican los puntos de inflexión clásicos del sistema.

Partiendo del ejemplo utilizado en la derivación anterior, el oscilador armónico simple tiene la función de energía potencial

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},

donde $k$ es la constante elástica del oscilador y $ω = 2 π / T$ es la frecuencia angular natural del oscilador. La energía total del oscilador se obtiene evaluando $U$ $($ $x$ $)$ en los puntos de inflexión $x$ $=$ $\pm$ $A$ . Sustituyendo esto en la expresión para $P$ $($ $x$ $)$ se obtiene

P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.

Esta función presenta dos asíntotas verticales en los puntos de inflexión, lo cual tiene sentido físico, ya que dichos puntos corresponden al reposo del oscilador y, por lo tanto, se encuentran con mayor probabilidad en las proximidades de esos valores $de x$ . Cabe destacar que, si bien la función de densidad de probabilidad tiende al infinito, la probabilidad sigue siendo finita debido al área bajo la curva, y no a la curva en sí, que representa la probabilidad.

Pelota que rebota

Funciones de densidad de probabilidad de la bola que rebota cuántica (roja) y clásica (negra) para $n = 50.$ El punto de inflexión aquí está etiquetado como $z n$ (lo que en esta sección se denomina $h$ ).

Para la pelota que rebota sin pérdidas , la energía potencial y la energía total son:

U(z)=mgz,

E=mgh,

donde $h$ es la altura máxima alcanzada por la bola. Sustituyendo estos valores en $P (z)$ se obtiene

P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {hz}}},

donde la relación $T={\sqrt {8h/g}}$ se utilizó para simplificar los factores que aparecen al frente. El dominio de esta función es $z\in [0,h]$ (la bola no cae a través del suelo en $z = 0$ ), por lo que la distribución no es simétrica como en el caso del oscilador armónico simple. Nuevamente, hay una asíntota vertical en el punto de inflexión $z = h$ .

Distribución del espacio de momento

Además de observar las distribuciones de probabilidad en el espacio de posiciones , también es útil caracterizar un sistema en función de su momento. Siguiendo un argumento similar al anterior, el resultado es ^{[ 2 ].}

P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},

donde $F (x) = - dU / dx$ es la fuerza que actúa sobre la partícula en función de su posición. En la práctica, esta función debe expresarse en términos del momento $p$ mediante un cambio de variables.

oscilador armónico simple

Tomando como ejemplo el oscilador armónico simple anterior, la energía potencial y la fuerza se pueden escribir como

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},

|F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.

Al identificar $(2 mE) 1/2 = p 0$ como el momento máximo del sistema, esto se simplifica a

P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.

Cabe destacar que esta tiene la misma forma funcional que la distribución de probabilidad en el espacio de posiciones. Esto es específico del problema del oscilador armónico simple y surge debido a la simetría entre $x$ y $p$ en las ecuaciones de movimiento.

Pelota que rebota

El ejemplo de la pelota que rebota es más sencillo, ya que en este caso la fuerza es constante,

F(x)=mg,

lo que resulta en la función de densidad de probabilidad

P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ para }}|p|<p_{0},

donde $p 0 = m (2 gh) 1/2$ es el momento máximo de la bola. En este sistema, todos los momentos son igualmente probables.

Véase también

Referencias

↑ Griffiths, David J.; Schroeter, Darrel F. (2018). Introducción a la mecánica cuántica (3.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 12–13 , 20, 53. ISBN 978-0-13-191175-8.
1 2 Robinett, RW (1995). "Distribuciones de probabilidad cuánticas y clásicas para la posición y el momento" . American Journal of Physics . 63 (9): 823– 832. Bibcode : 1995AmJPh..63..823R . doi : 10.1119/1.17807 .
↑ Liboff, Richard L. (1980). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley Publishing Company, Inc. págs. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9.

[1] Griffiths, David J.; Schroeter, Darrel F. (2018). Introducción a la mecánica cuántica (3.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 12–13 , 20, 53. ISBN 978-0-13-191175-8.

[AJP-2] 1 2 Robinett, RW (1995). "Distribuciones de probabilidad cuánticas y clásicas para la posición y el momento" . American Journal of Physics . 63 (9): 823– 832. Bibcode : 1995AmJPh..63..823R . doi : 10.1119/1.17807 .

[3] Liboff, Richard L. (1980). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley Publishing Company, Inc. págs. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9.

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