Dimensión de escala

En física teórica , la dimensión de escala , o simplemente dimensión , de un operador local en una teoría cuántica de campos caracteriza las propiedades de reescalamiento del operador bajo dilataciones del espaciotiempo.${\displaystyle x\to \lambda x}$Si la teoría cuántica de campos es invariante de escala , las dimensiones de escala de los operadores son números fijos; de lo contrario, son funciones de la escala de distancia.

En una teoría cuántica de campos invariante de escala , por definición cada operador${\displaystyle O}$adquiere bajo una dilatación${\displaystyle x\to \lambda x}$un factor${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }}$, dónde${\displaystyle \Delta }$es un número llamado dimensión de escala de${\displaystyle O}$Esto implica, en particular, que la función de correlación de dos puntos${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle }$depende de la distancia como${\displaystyle (x^{2})^{-\Delta }}$. De manera más general, las funciones de correlación de varios operadores locales deben depender de las distancias de tal forma que ${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

La mayoría de las teorías invariantes de escala también son invariantes conformes , lo que impone restricciones adicionales a las funciones de correlación de los operadores locales. ^{[ 1 ]}

Existen muchas teorías cuánticas de campos que, si bien no son exactamente invariantes de escala, permanecen aproximadamente invariantes de escala en un amplio rango de distancias. Dichas teorías cuánticas de campos se pueden obtener añadiendo a las teorías de campos libres términos de interacción con pequeños acoplamientos adimensionales . Por ejemplo, en cuatro dimensiones espaciotemporales se pueden añadir acoplamientos escalares cuárticos, acoplamientos de Yukawa o acoplamientos de gauge. Las dimensiones de escala de los operadores en dichas teorías se pueden expresar esquemáticamente como${\displaystyle \Delta =\Delta _ {0}+\gamma (g)}$, dónde${\displaystyle \Delta _{0}}$es la dimensión cuando todos los acoplamientos se establecen en cero (es decir, la dimensión clásica), mientras que${\displaystyle \gamma (g)}$se denomina dimensión anómala y se expresa como una serie de potencias en los acoplamientos denotados colectivamente como${\displaystyle g}$. ^{[ 3 ]} Tal separación de las dimensiones de escala en la parte clásica y anómala solo tiene sentido cuando los acoplamientos son pequeños, de modo que${\displaystyle \gamma (g)}$Es una pequeña corrección.

Generalmente, debido a efectos mecánicos cuánticos, los acoplamientos${\displaystyle g}$no permanecen constantes, sino que varían (en la jerga de la teoría cuántica de campos , corren ) con la escala de distancia según su función beta . Por lo tanto, la dimensión anómala${\displaystyle \gamma (g)}$También depende de la escala de distancia en dichas teorías. En particular, las funciones de correlación de los operadores locales ya no son simples potencias, sino que presentan una dependencia más compleja de las distancias, generalmente con correcciones logarítmicas.

Puede suceder que la evolución de los acoplamientos conduzca a un valor${\displaystyle g=g_{*}}$donde la función beta se anula. Entonces, a grandes distancias, la teoría se vuelve invariante de escala y las dimensiones anómalas dejan de funcionar. Este comportamiento se denomina punto fijo infrarrojo .

En casos muy especiales, puede ocurrir que los acoplamientos y las dimensiones anómalas no se produzcan en absoluto, de modo que la teoría sea invariante de escala a todas las distancias y para cualquier valor del acoplamiento. Por ejemplo, esto ocurre en la teoría supersimétrica de Yang-Mills N=4 .