Superficie (topología)

En topología , una superficie es una variedad bidimensional . Algunas superficies surgen como límites de figuras sólidas tridimensionales ; por ejemplo, la esfera es el límite de la bola sólida . Otras superficies surgen como gráficas de funciones de dos variables; véase la figura de la derecha. Sin embargo, las superficies también pueden definirse de forma abstracta, sin referencia a ningún espacio ambiente . Por ejemplo, la botella de Klein es una superficie que no puede incrustarse en el espacio euclidiano tridimensional .

En ocasiones, las superficies topológicas incorporan información adicional, como una métrica riemanniana o una estructura compleja, que las conecta con otras disciplinas matemáticas, como la geometría diferencial y el análisis complejo . Las diversas nociones matemáticas de superficie pueden utilizarse para modelar superficies en el mundo físico.

En matemáticas , una superficie es una figura geométrica que se asemeja a un plano deformado ^. Los ejemplos más conocidos son los límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R³ , como las esferas . La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Típicamente, en geometría algebraica , una superficie puede intersecarse a sí misma (y puede tener otras singularidades ), mientras que, en topología y geometría diferencial , no necesariamente.

Una superficie es un espacio bidimensional ; esto significa que un punto en movimiento sobre una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad ). En otras palabras, alrededor de casi cualquier punto, existe una región de coordenadas sobre la cual se define un sistema de coordenadas bidimensional . Por ejemplo, la superficie de la Tierra se asemeja (idealmente) a una esfera bidimensional , y la latitud y la longitud proporcionan coordenadas bidimensionales sobre ella (excepto en los polos y a lo largo del meridiano 180 ).

El concepto de superficie se utiliza ampliamente en física , ingeniería , gráficos por computadora y muchas otras disciplinas, principalmente para representar las superficies de objetos físicos. Por ejemplo, al analizar las propiedades aerodinámicas de un avión , la consideración central es el flujo de aire a lo largo de su superficie.

Una superficie (topológica) es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a algún subconjunto abierto del plano euclidiano E² . Dicho entorno, junto con el homeomorfismo correspondiente, se conoce como carta (de coordenadas) . Es a través de esta carta que el entorno hereda las coordenadas estándar en el plano euclidiano. Estas coordenadas se conocen como ^coordenadas locales y estos homeomorfismos nos llevan a describir las superficies como localmente euclidianas .

En la mayoría de los escritos sobre el tema, se suele asumir, explícita o implícitamente, que, como espacio topológico, una superficie también es no vacía, segundo numerable y de Hausdorff . Asimismo, se suele asumir que las superficies en cuestión son conexas.

El resto de este artículo asumirá, a menos que se especifique lo contrario, que una superficie no es vacía, es de Hausdorff, tiene una base numerable de segundo orden y es conexa.

De forma más general, una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico ^de Hausdorff en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a algún subconjunto abierto de la clausura del semiplano superior H₂ en C. Estos homeomorfismos también se conocen como cartas (de coordenadas) . La frontera del semiplano superior es el eje x . Un punto de la superficie mapeado mediante una carta al eje x se denomina punto frontera . El conjunto de dichos puntos se conoce como la frontera de la superficie, que necesariamente es una variedad de un solo elemento, es decir, la unión de curvas cerradas. Por otro lado, un punto mapeado por encima del eje x es un punto interior . El conjunto de puntos interiores es el interior de la superficie, que siempre es no vacío . El disco cerrado es un ejemplo sencillo de una superficie con frontera. La frontera del disco es un círculo.

El término «superficie», usado sin ninguna especificación, se refiere a superficies sin frontera. En particular, una superficie con frontera vacía es una superficie en el sentido habitual. Una superficie con frontera vacía que es compacta se conoce como superficie «cerrada». La esfera bidimensional, el toro bidimensional y el plano proyectivo real son ejemplos de superficies cerradas.

La cinta de Möbius es una superficie en la que la distinción entre sentido horario y antihorario se puede definir localmente, pero no globalmente. En general, se dice que una superficie es orientable si no contiene una copia homeomórfica de la cinta de Möbius; intuitivamente, tiene dos "lados" distintos. Por ejemplo, la esfera y el toro son orientables, mientras que el plano proyectivo real no lo es (porque el plano proyectivo real con un punto menos es homeomorfo a la cinta de Möbius abierta).

En geometría diferencial y algebraica , se añade una estructura adicional a la topología de la superficie. Esta estructura adicional puede ser una estructura de suavidad (que permite definir aplicaciones diferenciables hacia y desde la superficie), una métrica riemanniana (que permite definir longitudes y ángulos en la superficie), una estructura compleja (que permite definir aplicaciones holomorfas hacia y desde la superficie, en cuyo caso la superficie se denomina superficie de Riemann ) o una estructura algebraica (que permite detectar singularidades , como autointersecciones y cúspides, que no pueden describirse únicamente en términos de la topología subyacente).

Históricamente, las superficies se definieron inicialmente como subespacios de espacios euclidianos. A menudo, estas superficies eran el lugar geométrico de los ceros de ciertas funciones, generalmente funciones polinómicas. Dicha definición consideraba la superficie como parte de un espacio (euclidiano) más grande y, como tal, se la denominó extrínseca .

En la sección anterior, una superficie se define como un espacio topológico con ciertas propiedades, a saber, Hausdorff y localmente euclidiano. Este espacio topológico no se considera un subespacio de otro espacio. En este sentido, la definición dada anteriormente, que es la que utilizan actualmente los matemáticos, es intrínseca .

Una superficie definida como intrínseca no tiene por qué satisfacer la restricción adicional de ser un subespacio del espacio euclidiano. Puede parecer posible que algunas superficies definidas intrínsecamente no sean superficies en el sentido extrínseco. Sin embargo, el teorema de incrustación de Whitney afirma que toda superficie puede, de hecho ^, incrustarse homeomórficamente en el espacio euclidiano, concretamente en E⁴ : Los enfoques extrínseco e intrínseco resultan ser equivalentes.

De hecho, cualquier superficie compacta que sea orientable o tenga un límite puede incrustarse en E ³ ; por otro lado, el plano proyectivo real, que es compacto, no orientable y sin límite, no puede incrustarse en E ³ (véase Gramain). Las superficies de Steiner , incluyendo la superficie de Boy , la superficie romana y la superficie de la cruz , son modelos del plano proyectivo real en E ³ , pero solo la superficie de Boy es una superficie inmersa . Todos estos modelos son singulares en los puntos donde se intersecan.

La esfera cornuda de Alexander es una conocida incrustación patológica de la esfera doble dentro de la esfera triple.

^{La incrustación elegida (si la hay )} de una superficie en otro espacio se considera información extrínseca; no es esencial para la superficie en sí. Por ejemplo, un toroide puede incrustarse en E3 de la manera "estándar" (que se asemeja a un bagel ) o de forma anudada (véase la figura). Los dos toros incrustados son homeomorfos, pero no isotópicos : son topológicamente equivalentes, pero sus incrustaciones no lo son.

La imagen de una función continua e inyectiva de R² a ^{un dominio} Rⁿ ^de mayor dimensión se denomina superficie paramétrica . Esta imagen recibe este nombre porque las direcciones x e y del dominio R² son dos variables que la parametrizan. Una superficie paramétrica no tiene por qué ser una superficie topológica. Una superficie de revolución puede considerarse un tipo especial de superficie paramétrica.

If f is a smooth function from R³ to R whose gradient is nowhere zero, then the locus of zeros of f does define a surface, known as an implicit surface. If the condition of non-vanishing gradient is dropped, then the zero locus may develop singularities.

Each closed surface can be constructed from an oriented polygon with an even number of sides, called a fundamental polygon of the surface, by pairwise identification of its edges. For example, in each polygon below, attaching the sides with matching labels (A with A, B with B), so that the arrows point in the same direction, yields the indicated surface.

• 
  sphere
• 
  real projective plane
• 
  torus
• 
  Klein bottle

Any fundamental polygon can be written symbolically as follows. Begin at any vertex, and proceed around the perimeter of the polygon in either direction until returning to the starting vertex. During this traversal, record the label on each edge in order, with an exponent of -1 if the edge points opposite to the direction of traversal. The four models above, when traversed clockwise starting at the upper left, yield

• sphere: ${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}$
• real projective plane: ${\displaystyle ABAB}$
• torus: ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$
• Klein bottle: ${\displaystyle ABAB^{-1}}$.

Note that the sphere and the projective plane can both be realized as quotients of the 2-gon, while the torus and Klein bottle require a 4-gon (square).

The expression thus derived from a fundamental polygon of a surface turns out to be the sole relation in a presentation of the fundamental group of the surface with the polygon edge labels as generators. This is a consequence of the Seifert–van Kampen theorem.

Gluing edges of polygons is a special kind of quotient space process. The quotient concept can be applied in greater generality to produce new or alternative constructions of surfaces. For example, the real projective plane can be obtained as the quotient of the sphere by identifying all pairs of opposite points on the sphere. Another example of a quotient is the connected sum.

The connected sum of two surfaces M and N, denoted M # N, is obtained by removing a disk from each of them and gluing them along the boundary components that result. The boundary of a disk is a circle, so these boundary components are circles. The Euler characteristic${\displaystyle \chi }$ of M # N is the sum of the Euler characteristics of the summands, minus two:

${\displaystyle \chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,}$

La esfera S es un elemento neutro para la suma conexa, lo que significa que S # M = M. Esto se debe a que al eliminar un disco de la esfera queda un disco que simplemente reemplaza al disco eliminado de M al unirlos.

La suma conexa con el toro T también se describe como la adición de un "asa" al otro sumando M. Si M es orientable, entonces T # M también lo es . La suma conexa es asociativa, por lo que la suma conexa de una colección finita de superficies está bien definida.

La suma conexa de dos planos proyectivos reales, P # P , es la botella de Klein K . La suma conexa del plano proyectivo real y la botella de Klein es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro; en una fórmula, P # K = P # T . Por lo tanto, la suma conexa de tres planos proyectivos reales es homeomorfa a la suma conexa del plano proyectivo real con el toro. Cualquier suma conexa que involucre un plano proyectivo real no es orientable.

Una superficie cerrada es una superficie compacta y sin límites . Ejemplos de superficies cerradas son la esfera , el toroide y la botella de Klein . Ejemplos de superficies no cerradas son el disco abierto (que es una esfera con un orificio ), el cilindro abierto (que es una esfera con dos orificios) y la cinta de Möbius .

Una superficie incrustada en el espacio tridimensional es cerrada si y solo si es el límite de un sólido. Al igual que con cualquier variedad cerrada , una superficie incrustada en el espacio euclidiano que es cerrada con respecto a la topología euclidiana heredada no es necesariamente una superficie cerrada; por ejemplo, un disco incrustado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$que contiene su límite es una superficie que es topológicamente cerrada pero no una superficie cerrada.

Clasificación de superficies cerradas

El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conexa es homeomorfa a algún miembro de una de estas tres familias:

1. la esfera ,
2. la suma conectada de g toros para g ≥ 1,
3. la suma conexa de k planos proyectivos reales para k ≥ 1.

Las superficies de las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conexa de 0 toros. El número g de toros involucrados se llama género de la superficie. La esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conexa de g toros es 2 − 2 g .

Las superficies de la tercera familia no son orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conexa de k de ellas es 2 − k .

De ello se deduce que una superficie cerrada se determina, salvo homeomorfismo, por dos datos: su característica de Euler y si es orientable o no. En otras palabras, la característica de Euler y la orientabilidad clasifican completamente las superficies cerradas salvo homeomorfismo.

Las superficies cerradas con múltiples componentes conexas se clasifican según la clase de cada uno de sus componentes conexos, por lo que generalmente se asume que la superficie es conexa.

Las superficies compactas con frontera son superficies cerradas con un número finito de agujeros (discos abiertos que han sido eliminados). Una superficie compacta conexa con frontera se clasifica según la orientabilidad y la característica de Euler de la superficie cerrada correspondiente y el número de componentes de frontera. El género de una superficie compacta se define como el género de la superficie cerrada correspondiente. ^{[ 2 ]} Una clasificación alternativa de las superficies compactas conexas con frontera se basa en la orientabilidad, el género y el número de componentes de frontera.

Esta clasificación se deriva casi inmediatamente de la clasificación de superficies cerradas: al eliminar un disco abierto de una superficie cerrada se obtiene una superficie compacta con un círculo como componente de frontera, y al eliminar k discos abiertos se obtiene una superficie compacta con k círculos disjuntos como componentes de frontera. La ubicación precisa de los agujeros es irrelevante, ya que el grupo de homeomorfismos actúa de forma k -transitiva sobre cualquier variedad conexa de dimensión al menos 2.

Por el contrario, el límite de una superficie compacta es una 1-variedad cerrada y, por lo tanto, es la unión disjunta de un número finito de círculos; al llenar estos círculos con discos (formalmente, tomando el cono ) se obtiene una superficie cerrada.

La superficie compacta orientable única de género g y con k componentes de contorno se suele denotar${\displaystyle \Sigma _{g,k},}$por ejemplo en el estudio del grupo de clases de mapeo .

Las superficies no compactas son más difíciles de clasificar. Como ejemplo sencillo, una superficie no compacta se puede obtener perforando (eliminando un conjunto finito de puntos) una variedad cerrada. Por otro lado, cualquier subconjunto abierto de una superficie compacta es en sí mismo una superficie no compacta; considérese, por ejemplo, el complemento de un conjunto de Cantor en la esfera, también conocido como superficie de árbol de Cantor . Sin embargo, no toda superficie no compacta es un subconjunto de una superficie compacta; dos contraejemplos canónicos son la escalera de Jacob y el monstruo del lago Ness , que son superficies no compactas con género infinito.

Una superficie no compacta M tiene un espacio de extremos no vacío E ( M ), que informalmente describe las formas en que la superficie "se extiende hasta el infinito". El espacio E ( M ) es siempre topológicamente equivalente a un subespacio cerrado del conjunto de Cantor . M puede tener un número finito o infinitamente numerable N _h de asas, así como un número finito o infinitamente numerable N _p de planos proyectivos . Si tanto N _h como N _p son finitos, entonces estos dos números, y el tipo topológico del espacio de extremos, clasifican la superficie M salvo equivalencia topológica. Si N _h o N _p , o ambos , son infinitos, entonces el tipo topológico de M depende no solo de estos dos números, sino también de cómo los infinitos se aproximan al espacio de extremos. En general, el tipo topológico de M está determinado por los cuatro subespacios de E ( M ) que son puntos límite de un número infinito de asas y un número infinito de planos proyectivos, puntos límite de solo asas, puntos límite de solo planos proyectivos y puntos límite de ninguno de los dos. ^{[ 3 ]}

Si se elimina la suposición de que una superficie es numerable en segundo lugar, existen superficies topológicas (necesariamente no compactas) que no tienen una base numerable para su topología. Quizás el ejemplo más sencillo sea el producto cartesiano de la recta larga con el espacio de los números reales.

Otra superficie que no tiene una base numerable para su topología, pero que no requiere el Axioma de Elección para probar su existencia, es la variedad de Prüfer , que puede describirse mediante ecuaciones simples que muestran que es una superficie analítica real . La variedad de Prüfer puede pensarse como el semiplano superior junto con una "lengüeta" adicional T _x que cuelga de él directamente debajo del punto ( x ,0), para cada x real . 

En 1925, Tibor Radó demostró que todas las superficies de Riemann (es decir, las variedades complejas unidimensionales ) son necesariamente segundo-contables ( teorema de Radó ). Por el contrario, si se reemplazan los números reales en la construcción de la superficie de Prüfer por números complejos , se obtiene una variedad compleja bidimensional (que es necesariamente una variedad real de 4 dimensiones) sin base contable.

Los poliedros , como el borde de un cubo , son algunas de las primeras superficies que se encuentran en geometría. También es posible definir superficies lisas , en las que cada punto tiene un entorno difeomorfo a algún conjunto abierto en E² ^. Esta elaboración permite aplicar el cálculo a las superficies para demostrar numerosos resultados.

Dos superficies lisas son difeomorfas si y solo si son homeomorfas. (El resultado análogo no se cumple para variedades de dimensiones superiores). Por lo tanto, las superficies cerradas se clasifican, salvo difeomorfismo, según su característica de Euler y su orientabilidad.

Las superficies lisas dotadas de métricas riemannianas son de vital importancia en la geometría diferencial . Una métrica riemanniana confiere a una superficie nociones de geodésica , distancia , ángulo y área. También da lugar a la curvatura gaussiana , que describe el grado de curvatura o deformación de la superficie en cada punto. La curvatura es una propiedad geométrica rígida, ya que no se conserva mediante difeomorfismos generales de la superficie. Sin embargo, el famoso teorema de Gauss-Bonnet para superficies cerradas establece que la integral de la curvatura gaussiana K sobre toda la superficie S está determinada por la característica de Euler:

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).}$

Este resultado ejemplifica la profunda relación entre la geometría y la topología de las superficies (y, en menor medida, de las variedades de dimensiones superiores).

Otra forma en que surgen las superficies en geometría es al pasar al dominio complejo. Una variedad compleja de orden uno es una superficie orientada suave, también llamada superficie de Riemann . Cualquier curva algebraica compleja no singular vista como una variedad compleja es una superficie de Riemann. De hecho, toda superficie orientable compacta es realizable como una superficie de Riemann. Así, las superficies de Riemann compactas se caracterizan topológicamente por su género: 0, 1, 2, .... Por otro lado, el género no caracteriza la estructura compleja. Por ejemplo, hay incontables superficies de Riemann compactas no isomorfas de género 1 (las curvas elípticas ).

Las estructuras complejas en una superficie cerrada y orientada corresponden a clases de equivalencia conforme de métricas riemannianas en dicha superficie. Una versión del teorema de uniformización (debido a Poincaré ) establece que cualquier métrica riemanniana en una superficie cerrada y orientada es conformemente equivalente a una métrica esencialmente única de curvatura constante . Esto constituye un punto de partida para uno de los enfoques de la teoría de Teichmüller , que proporciona una clasificación más precisa de las superficies riemannianas que la topológica basada únicamente en la característica de Euler.

Una superficie compleja es una variedad bidimensional compleja y, por lo tanto, una variedad cuatridimensional real; no es una superficie en el sentido de este artículo. Tampoco se definen curvas algebraicas sobre cuerpos distintos de los números complejos, ni superficies algebraicas sobre cuerpos distintos de los números reales.

• Límite (topología)
• Forma de volumen , para volúmenes de superficies ^en En
• Métrica de Poincaré , para propiedades métricas de superficies de Riemann.
• Superficie romana
• Superficie del niño
• Tetrahemihexaedro
• Superficie arrugada , una superficie no diferenciable obtenida al deformar (arrugar) una superficie diferenciable.

• Dyck, Walther (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Ana. , 32 (4): 459– 512, doi : 10.1007/bf01443580 , S2CID 118123073 

• Clasificación de superficies compactas en el proyecto Mathifold
• La clasificación de superficies y el teorema de la curva de Jordan en la página principal de Andrew Ranicki.
• Galería de superficies matemáticas, con 60 superficies y un applet de Java para visualización de rotación en tiempo real.
• Animación de superficies matemáticas, con JavaScript (Canvas HTML) para visualización de rotación de superficies de diez
• Apuntes de clase sobre la clasificación de superficies, por Z. Fiedorowicz.
• Historia y arte de las superficies y sus modelos matemáticos
• Variedades de dos componentes en el Atlas de Variedades