Superficie de Clebsch

En matemáticas, la superficie cúbica diagonal de Clebsch , o superficie cúbica icosaédrica de Klein , es una superficie cúbica no singular , estudiada por Clebsch (1871) y Klein (1873) , cuyas 27 líneas excepcionales pueden definirse sobre los números reales. El término superficie icosaédrica de Klein puede referirse tanto a esta superficie como a su explosión en los 10 puntos de Eckardt .

La superficie de Clebsch es el conjunto de puntos ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ : x ₄ ) de P ⁴ que satisfacen las ecuaciones

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,}$

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Al eliminar x ₀ se demuestra que también es isomorfo a la superficie.

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}}$

en P ³ . En ℝ ³ , se puede representar por ^{[ 1 ]}

El grupo de simetría de la superficie de Clebsch es el grupo simétrico S ₅ de orden 120, que actúa mediante permutaciones de las coordenadas (en P ⁴ ). Salvo isomorfismo, la superficie de Clebsch es la única superficie cúbica con este grupo de automorfismos.

Las 27 líneas excepcionales son:

• Las 15 imágenes (bajo S ₅ ) de la línea de puntos de la forma ( a  : − a  : b  : − b  : 0).
• Las 12 imágenes de la línea que pasa por el punto (1:ζ: ζ ² : ζ ³ : ζ ⁴ ) y su conjugado complejo, donde ζ es una raíz quinta primitiva de la unidad .

La superficie tiene 10 puntos de Eckardt donde se cruzan 3 líneas, dados por el punto (1: − 1: 0: 0: 0) y sus conjugados bajo permutaciones. Hirzebruch (1976) demostró que la superficie obtenida al expandir la superficie de Clebsch en sus 10 puntos de Eckardt es la superficie modular de Hilbert del subgrupo de congruencia principal de nivel 2 del grupo modular de Hilbert del cuerpo Q ( √ 5 ). El cociente del grupo modular de Hilbert por su subgrupo de congruencia de nivel 2 es isomorfo al grupo alternante de orden 60 en 5 puntos.

Como todas las superficies cúbicas no singulares, la cúbica de Clebsch se puede obtener mediante la explosión del plano proyectivo en 6 puntos. Klein (1873) describió estos puntos de la siguiente manera: si el plano proyectivo se identifica con el conjunto de rectas que pasan por el origen en un espacio vectorial tridimensional que contiene un icosaedro centrado en el origen, entonces los 6 puntos corresponden a las 6 rectas que pasan por los 12 vértices del icosaedro. Los puntos de Eckardt corresponden a las 10 rectas que pasan por los centros de las 20 caras.

• Clebsch, A. (1871), "Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits", Mathematische Annalen , 4 (2): 284– 345, doi : 10.1007/BF01442599
• Hirzebruch, Friedrich (1976), "El grupo modular de Hilbert para el cuerpo Q(√5) y la superficie diagonal cúbica de Clebsch y Klein", Russian Math. Surveys , 31 (5): 96–110 , doi : 10.1070/RM1976v031n05ABEH004190 , ISSN 0042-1316 , MR 0498397  
• Hunt, Bruce (1996), La geometría de algunos cocientes aritméticos especiales , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1637, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0094399 , ISBN 978-3-540-61795-2, MR 1438547 
• Klein, Felix (1873), "Ueber Flächen dritter Ordnung" , Mathematische Annalen , 6 (4), Springer Berlin / Heidelberg: 551– 581, doi : 10.1007/BF01443196

• Weisstein, Eric W. "Cúbica diagonal de Clebsch" . MundoMatemático .