Grupo Clifford

El grupo de Clifford comprende un conjunto de operaciones cuánticas que mapean el conjunto de productos de grupos de Pauli n -ésimos en sí mismo. Es especialmente conocido por su uso en la corrección de errores cuánticos . ^{[ 1 ]}

Las matrices de Pauli ,

${\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \sigma _{1}=X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}=Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},{\text{ y }}\sigma _{3}=Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Proporcionar una base para los operadores de densidad de un solo cúbit , así como para los unitarios que se pueden aplicar a ellos. Para el${\displaystyle n}$En el caso de los cúbits, se puede construir un grupo, conocido como el grupo de Pauli , según

${\displaystyle \mathbf {P} _{n}=\left\{e^{i\theta \pi /2}\sigma _{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \sigma _{j_{n}}\mid \theta =0,1,2,3,j_{k}=0,1,2,3\right\}.}$

El grupo de Clifford se define como el grupo de unitarios que normalizan el grupo de Pauli:${\displaystyle \mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.}$Según esta definición,${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}}$es infinito, puesto que contiene todos los unitarios de la forma${\displaystyle e^{i\theta }I}$para un número real${\displaystyle \theta }$y la matriz identidad${\displaystyle I}$. ^{[ 2 ]} Cualquier unitario en${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}}$es equivalente (salvo un factor de fase global ) a un circuito generado usando compuertas Hadamard , S y CNOT , ^{[ 3 ]} por lo que el grupo de Clifford a veces se define como el grupo (finito) de unitarios generados usando compuertas Hadamard, S y CNOT. El grupo de Clifford de n cúbits${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}}$definido de esta manera contiene${\displaystyle 2^{n^{2}+2n+3}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)}$elementos. ^{[ 4 ]}

Algunos autores optan por definir el grupo de Clifford como el grupo cociente.${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}/U(1)}$, que cuenta elementos en${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}}$que difieren únicamente por un factor de fase global general como el mismo elemento. La fase global más pequeña es${\displaystyle {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}$, la octava raíz compleja del número 1, que surge de la identidad del circuito${\displaystyle HSHSHS={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}I}$, dónde${\displaystyle H}$es la puerta de Hadamard y${\displaystyle S}$es la puerta de fase. Para${\displaystyle n=}$1, 2 y 3, este grupo contiene 24, 11.520 y 92.897.280 elementos, respectivamente. ^{[ 5 ]} El número de elementos en${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}/U(1)}$es${\displaystyle 2^{n^{2}+2n}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)}$.

Otra posible definición del grupo de Clifford se puede obtener a partir de lo anterior factorizando aún más el grupo de Pauli.${\displaystyle \{I,X,Y,Z\}}$en cada cúbit. El grupo restante es isomorfo al grupo de${\displaystyle 2n\times 2n}$Matrices simplécticas Sp(2 n ,2) sobre el campo${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$de dos elementos. ^{[ 4 ]} Tiene${\displaystyle 2^{n^{2}}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)}$elementos.

El grupo de Clifford se genera mediante tres puertas: Hadamard , puerta de fase S y CNOT .

Se puede generar un elemento arbitrario del grupo de Clifford como un circuito con no más de${\displaystyle O(n^{2}/\log(n))}$puertas. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Aquí, la referencia ^{[ 6 ]} informa una descomposición de 11 etapas -HCPCPCHPCPC-, donde H, C y P representan etapas computacionales que utilizan puertas Hadamard, CNOT y Phase, respectivamente, y la referencia ^{[ 7 ]} muestra que la etapa CNOT se puede implementar utilizando${\displaystyle O(n^{2}/\log(n))}$Las compuertas (etapas -H- y -P- se basan en compuertas de un solo qubit y, por lo tanto, pueden implementarse utilizando un número lineal de compuertas, lo que no afecta al comportamiento asintótico).

El grupo de Clifford tiene una rica estructura de subgrupos que a menudo se expone mediante los circuitos cuánticos que generan diversos subgrupos. Los subgrupos del grupo de Clifford${\displaystyle \mathbf {C} _ {n}}$incluir:

• Grupo de productos de Pauli de n pliegues${\displaystyle \mathbf {P} _ {n}}$Tiene${\displaystyle 2^{2n+2}}$elementos (${\displaystyle 2^{2n}}$sin la fase global) y se genera mediante circuitos cuánticos con puertas Pauli-X y Pauli-Z.
• Grupo lineal general GL${\displaystyle (n,\mathbb {F} _{2})}$Tiene${\displaystyle \prod _{j=0}^{n-1}(2^{n}-2^{j})=2^{n^{2}+O(1)}}$elementos y es generado por los circuitos con las puertas CNOT.
• Grupo simétrico${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$Tiene ${\displaystyle n!}$elementos y es generado por los circuitos con las puertas SWAP.
• Subgrupo diagonal, que consta de unitarios de Clifford diagonales. Tiene${\displaystyle 2^{0,5n^{2}+O(n)}}$elementos y se genera mediante circuitos cuánticos con puertas Phase y CZ.
• El subgrupo libre de Hadamard se genera mediante los circuitos cuánticos sobre puertas Phase y CNOT. Tiene${\displaystyle 2^{1,5n^{2}+O(n)}}$elementos.
• Grupo de Weyl , que se genera mediante las compuertas SWAP y Hadamard. ^{[ 8 ]} Tiene${\displaystyle 2^{n\log(n)+O(n)}}$elementos.
• Grupo de Borel , un subgrupo resoluble maximal , que se genera por el producto de las matrices booleanas triangulares inferiores invertibles (circuitos CNOT con controles en los cúbits superiores y objetivos en los cúbits inferiores) con elementos diagonales del subgrupo (circuitos con puertas Phase y CZ). ^{[ 8 ]} Este grupo es un subgrupo del subgrupo libre de Hadamard; tiene${\displaystyle 2^{n^{2}+O(n)}}$elementos.

El orden de las compuertas de Clifford y de Pauli se puede intercambiar. Por ejemplo, esto se puede ilustrar considerando el siguiente operador en 2 cúbits.

${\displaystyle A=(X\otimes Z)CZ}$.

Sabemos que: ${\displaystyle CZ(X\otimes I)CZ^{\dagger }=X\otimes Z}$Si multiplicamos por CZ desde la derecha

${\displaystyle CZ(X\otimes I)=(X\otimes Z)CZ}$.

Entonces A es equivalente a

${\displaystyle A=(X\otimes Z)CZ=CZ(X\otimes I)}$.

• destilación del estado mágico
• álgebra de Clifford
• Puertas de Clifford