Clifford paralelo

En geometría elíptica , dos líneas son paralelas de Clifford o paratácticas si la distancia perpendicular entre ellas es constante de un punto a otro. Este concepto fue estudiado por primera vez por William Kingdon Clifford en el espacio elíptico y aparece únicamente en espacios de al menos tres dimensiones . Dado que las líneas paralelas poseen la propiedad de equidistancia, el término "paralelo" se tomó prestado de la geometría euclidiana , si bien las "líneas" de la geometría elíptica son curvas geodésicas y, a diferencia de las líneas de la geometría euclidiana , tienen una longitud finita.

El álgebra de cuaterniones proporciona una geometría descriptiva del espacio elíptico en la que se explicita el paralelismo de Clifford. Un fibrado de Clifford es una construcción topológica basada en el paralelismo de Clifford que fue señalada por Heinz Hopf en 1931 ^{[ 1 ].}

Las líneas en 1 en el espacio elíptico se describen mediante versores con un eje fijo r : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

Para un punto arbitrario u en el espacio elíptico, dos paralelas de Clifford a esta línea pasan por u . La paralela de Clifford derecha es

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

y el paralelo de Clifford izquierdo es

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

La definición original de Clifford se refería a líneas paralelas curvas, pero el concepto se generaliza a objetos paralelos de Clifford de más de una dimensión. ^{[ 3 ]} En el espacio euclidiano de 4 dimensiones, los objetos paralelos de Clifford de 1, 2, 3 o 4 dimensiones están relacionados por rotaciones isoclínicas . El paralelismo de Clifford y las rotaciones isoclínicas son aspectos estrechamente relacionados de las simetrías SO(4) que caracterizan los 4-politopos regulares .

Al girar una línea alrededor de otra, a la que es paralela según la regla de Clifford, se crea una superficie de Clifford.

Las paralelas de Clifford que pasan por los puntos de la superficie están todas dentro de ella. Por lo tanto, una superficie de Clifford es una superficie reglada, ya que cada punto se encuentra sobre dos líneas, cada una contenida en la superficie.

Dadas dos raíces cuadradas de menos uno en los cuaterniones , escritas r y s , la superficie de Clifford que pasa por ellos viene dada por ^{[ 2 ] [ 4 ].}

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

Los paralelos de Clifford fueron descritos por primera vez en 1873 por el matemático inglés William Kingdon Clifford . ^{[ 5 ]}

En 1900, Guido Fubini escribió su tesis doctoral sobre el paralelismo de Clifford en espacios elípticos . ^{[ 6 ]}

En 1931, Heinz Hopf utilizó paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf . ^{[ 1 ]}

En 2016, Hans Havlicek demostró que existe una correspondencia biunívoca entre los paralelismos de Clifford y los planos externos a la cuádrica de Klein . ^{[ 7 ]}

• toroide de Clifford
•  Politopos paralelos de Clifford de 24 celdas
• 4-politopos regulares