Función de camarilla

En matemáticas , la noción de función cliquish es similar a la de función continua y función cuasicontinua , pero más débil . Todas las funciones (cuasi)continuas son cliquish, pero lo contrario no es cierto en general.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico . Una función de valor real${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$En cierto punto, se forman camarillas.${\displaystyle x\in X}$si por alguna razón${\displaystyle \epsilon >0}$y cualquier vecindario abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$Hay un conjunto abierto no vacío${\displaystyle G\subset U}$de tal manera que

${\displaystyle |f(y)-f(z)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y,z\in G}$

Tenga en cuenta que en la definición anterior no es necesario que${\displaystyle x\in G}$.

• Si${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$es (cuasi)continuo entonces${\displaystyle f}$es un grupo cerrado.
• Si${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$y${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }$son cuasi-continuas, entonces${\displaystyle f+g}$es un grupo cerrado.
• Si${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$entonces es un grupo cerrado${\displaystyle f}$es la suma de dos funciones cuasicontinuas.

Consideremos la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x)=0}$cuando sea${\displaystyle x\leq 0}$y${\displaystyle f(x)=1}$cuando sea${\displaystyle x>0}$Claramente f es continua en todas partes excepto en x=0, por lo tanto, es cliquesh en todas partes excepto (como máximo) en x=0. En x=0, tomemos cualquier entorno abierto U de x. Entonces existe un conjunto abierto${\displaystyle G\subset U}$de tal manera que${\displaystyle y,z<0\;\forall y,z\in G}$. Claramente esto produce ${\displaystyle |f(y)-f(z)|=0\;\forall y\in G}$Por lo tanto, f es un grupo cerrado.

Por el contrario, la función ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle g(x)=0}$cuando sea${\displaystyle x}$es un número racional y${\displaystyle g(x)=1}$cuando sea${\displaystyle x}$es un número irracional no es en ningún lugar elitista, ya que todo conjunto abierto no vacío${\displaystyle G}$contiene algunos${\displaystyle y_{1},y_{2}}$con${\displaystyle |g(y_{1})-g(y_{2})|=1}$.

• Ján Borsík (2007–2008). "Puntos de continuidad, cuasicontinuidad, exclusividad y cuasicontinuidad superior e inferior" . Real Analysis Exchange . 33 (2): 339–350 .
• T. Neubrunn (1988). "Cuasi-continuidad". Real Analysis Exchange . 14 (2): 259– 308. doi : 10.2307/44151947 . JSTOR 44151947 .