Función convexa cerrada

En matemáticas , se dice que una función es cerrada si para cada , el conjunto de subniveles es un conjunto cerrado . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R}}$ ${\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}$

Equivalentemente, si el epígrafe definido por es cerrado, entonces la función es cerrada. ${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}}$${\estilo de visualización f}$

Esta definición es válida para cualquier función, pero se utiliza más para funciones convexas . Una función convexa propiamente dicha es cerrada si y solo si es semicontinua inferior . ^[1]

• Si es una función continua y está cerrada, entonces es cerrada.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$${\estilo de visualización f}$
• Si es una función continua y está abierta, entonces es cerrada si y sólo si converge a lo largo de cada secuencia que converge a un punto límite de . ^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización\infty}$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$
• Una función convexa propia cerrada f es el supremo puntual de la colección de todas las funciones afines h tales que h ≤ f (llamadas minorantes afines de f ).

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6.