Mapas abiertos y cerrados

En matemáticas , más específicamente en topología , una aplicación abierta es una función entre dos espacios topológicos que mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Es decir, una función $f:X\to Y$ está abierto si para cualquier conjunto abierto $U$ en $X,$ la imagen $f(U)$ está abierto en $Y.$ Asimismo, una aplicación cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Una aplicación puede ser abierta, cerrada, ambas o ninguna; ^{[ 5 ]} en particular, una aplicación abierta no tiene por qué ser cerrada y viceversa. ^{[ 6 ]}

Los mapas abiertos ^{[ 7 ]} y cerrados ^{[ 8 ]} no son necesariamente continuos . ^{[ 4 ]} Además, la continuidad es independiente de la apertura y el cierre en el caso general, y una función continua puede tener una, ambas o ninguna de las propiedades; ^{[ 3 ]} este hecho sigue siendo cierto incluso si uno se restringe a espacios métricos . ^{[ 9 ]} Aunque sus definiciones parecen más naturales, los mapas abiertos y cerrados son mucho menos importantes que los mapas continuos. Recordemos que, por definición, una función $f:X\to Y$ es continua si y solo si la preimagen de cada conjunto abierto de $Y$ está abierto en $X.$ ^{[ 2 ]} (equivalentemente, si y solo si la preimagen de cada conjunto cerrado de $Y$ está cerrado en $X$ ).

Los primeros estudios sobre mapas abiertos fueron iniciados por Simion Stoilow y Gordon Thomas Whyburn . ^{[ 10 ]}

Definiciones y caracterizaciones

Si $S$ es un subconjunto de un espacio topológico entonces sea ${\overline {S}}$ y $\operatorname {Cl} S$ (resp. $\operatorname {Int} S$ ) denotan el cierre (resp. interior ) de $S$ en ese espacio. Deja $f:X\to Y$ sea una función entre espacios topológicos . Si $S$ ¿Hay algún conjunto entonces? $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {dominio} f\right\}$ se llama la imagen de $S$ bajo $f.$

Definiciones contrapuestas

Existen dos definiciones distintas, aunque estrechamente relacionadas, de " mapa abierto " que se utilizan ampliamente y que pueden resumirse como: "es un mapa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos". A veces se utiliza la siguiente terminología para distinguir entre ambas definiciones.

Un mapa $f:X\to Y$ se llama un

" Mapa fuertemente abierto " si siempre $U$ es un subconjunto abierto del dominio $X$ entonces $f(U)$ es un subconjunto abierto de $f$ codominio de $Y.$
"Mapa relativamente abierto "si siempre" $U$ es un subconjunto abierto del dominio $X$ entonces $f(U)$ es un subconjunto abierto de $f$ imagen de $\operatorname {Im} f:=f(X),$ donde, como es habitual, este conjunto está dotado de la topología de subespacio inducida en él por $f$ codominio de $Y.$ ^{[ 11 ]}

Todo mapa fuertemente abierto es un mapa relativamente abierto. Sin embargo, estas definiciones no son equivalentes en general.

Advertencia : Muchos autores definen "mapa abierto" como " mapa relativamente abierto" (por ejemplo, la Enciclopedia de Matemáticas ), mientras que otros lo definen como " mapa fuertemente abierto". En general, estas definiciones no son equivalentes, por lo que es recomendable verificar siempre qué definición de "mapa abierto" utiliza el autor.

Una aplicación sobreyectiva es relativamente abierta si y solo si es fuertemente abierta; por lo tanto, para este importante caso especial, las definiciones son equivalentes. De manera más general, una aplicación $f:X\to Y$ es relativamente abierto si y solo si la sobreyección $f:X\to f(X)$ es un mapa muy abierto.

Porque $X$ siempre es un subconjunto abierto de $X,$ la imagen $f(X)=\operatorname {Im} f$ de un mapa muy abierto $f:X\to Y$ debe ser un subconjunto abierto de su codominio $Y.$ De hecho, un mapa relativamente abierto es un mapa fuertemente abierto si y solo si su imagen es un subconjunto abierto de su codominio. En resumen,

Un mapa es fuertemente abierto si y solo si es relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio.

Al utilizar esta caracterización, a menudo resulta sencillo aplicar los resultados que implican una de estas dos definiciones de "mapa abierto" a una situación que implica la otra definición.

La discusión anterior también se aplicará a los mapas cerrados si cada instancia de la palabra "abierto" se reemplaza por la palabra "cerrado".

Abrir mapas

Un mapa $f:X\to Y$ se llama unmapa abierto o unMapa fuertemente abierto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

Definición: $f:X\to Y$ asigna subconjuntos abiertos de su dominio a subconjuntos abiertos de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto abierto $U$ de $X$ , $f(U)$ es un subconjunto abierto de $Y.$
$f:X\to Y$ es un mapa relativamente abierto y su imagen $\operatorname {Im} f:=f(X)$ es un subconjunto abierto de su codominio $Y.$
Por cada $x\in X$ $x\in X$ y cada vecindario $N$ $N$ de $x$ $x$ (por pequeño que sea), $f(N)$ $f(N)$ es un barrio de $f(x)$ $f(x)$ Podemos reemplazar la primera o ambas instancias de la palabra "vecindario" por "vecindario abierto" en esta condición y el resultado seguirá siendo una condición equivalente:
- Por cada $x\in X$ y cada vecindario abierto $N$ de $x$ , $f(N)$ es un barrio de $f(x)$ .
- Por cada $x\in X$ y cada vecindario abierto $N$ de $x$ , $f(N)$ es un vecindario abierto de $f(x)$ .
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ para todos los subconjuntos $A$ de $X,$ dónde $\operatorname {Int}$ denota el interior topológico del conjunto.
Cuando sea $C$ $C$ es un subconjunto cerrado de $X$ $X$ luego el conjunto $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ es un subconjunto cerrado de $Y.$ $Y.$
- Esto es una consecuencia de la identidad $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ lo cual es válido para todos los subconjuntos $R\subseteq X.$

Si ${\mathcal {B}}$ es una base para $X$ Entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:

$f$ asigna conjuntos abiertos básicos a conjuntos abiertos en su codominio (es decir, para cualquier conjunto abierto básico $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ es un subconjunto abierto de $Y$ ).

Mapas cerrados

Un mapa $f:X\to Y$ se llama unmapa relativamente cerrado si siempre $C$ es un subconjunto cerrado del dominio $X$ entonces $f(C)$ es un subconjunto cerrado de $f$ imagen de $\operatorname {Im} f:=f(X),$ donde, como es habitual, este conjunto está dotado de la topología de subespacio inducida en él por $f$ codominio de $Y.$

Un mapa $f:X\to Y$ se llama unmapa cerrado o unMapa fuertemente cerrado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

Definición: $f:X\to Y$ asigna subconjuntos cerrados de su dominio a subconjuntos cerrados de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto cerrado $C$ de $X,$ $f(C)$ es un subconjunto cerrado de $Y.$
$f:X\to Y$ es un mapa relativamente cerrado y su imagen $\operatorname {Im} f:=f(X)$ es un subconjunto cerrado de su codominio $Y.$
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ para cada subconjunto $A\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ para cada subconjunto cerrado $C\subseteq X.$
Cuando sea $U$ es un subconjunto abierto de $X$ luego el conjunto $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ es un subconjunto abierto de $Y.$
Si $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ es una red en $X$ $X$ y $y\in Y$ $y\in Y$ es un punto tal que $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ en $Y,$ $Y,$ entonces $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ converge en $X$ $X$ al conjunto $f^{-1}(y).$ $f^{-1}(y).$
- La convergencia $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ significa que cada subconjunto abierto de $X$ que contiene $f^{-1}(y)$ contendrá $x_{j}$ para todos los índices suficientemente grandes $j.$

Una aplicación sobreyectiva es fuertemente cerrada si y solo si es relativamente cerrada. Por lo tanto, para este importante caso especial, las dos definiciones son equivalentes. Por definición, la aplicación $f:X\to Y$ es un mapa relativamente cerrado si y solo si la sobreyección $f:X\to \operatorname {Im} f$ es un mapa fuertemente cerrado.

Si en la definición de conjunto abierto de " mapa continua " (que es la afirmación: "toda preimagen de un conjunto abierto es abierta"), ambas instancias de la palabra "abierto" se reemplazan por "cerrado", entonces la afirmación resultante ("toda preimagen de un conjunto cerrado es cerrado") es equivalente a la continuidad. Esto no sucede con la definición de "mapa abierta" (que es: "toda imagen de un conjunto abierto es abierta") ya que la afirmación resultante ("toda imagen de un conjunto cerrado es cerrado") es la definición de "mapa cerrada", que en general no es equivalente a la apertura. Existen mapas abiertos que no son cerrados y también existen mapas cerrados que no son abiertos. Esta diferencia entre mapas abiertos/cerrados y mapas continuos se debe en última instancia al hecho de que para cualquier conjunto $S,$ solo $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ está garantizada en general, mientras que para las preimágenes, la igualdad $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ siempre se mantiene.

Ejemplos

La función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definido por $f(x)=x^{2}$ es continuo, cerrado y relativamente abierto, pero no (fuertemente) abierto. Esto se debe a que si $U=(a,b)$ ¿Hay algún intervalo abierto en? $f$ dominio $\mathbb {R}$ que no contiene $0$ entonces $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ donde este intervalo abierto es un subconjunto abierto de ambos $\mathbb {R}$ y $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ Sin embargo, si $U=(a,b)$ ¿Hay algún intervalo abierto en? $\mathbb {R}$ que contiene $0$ entonces $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ que no es un subconjunto abierto de $f$ codominio de $\mathbb {R}$ pero es un subconjunto abierto de $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ Porque el conjunto de todos los intervalos abiertos en $\mathbb {R}$ es una base para la topología euclidiana en $\mathbb {R} ,$ Esto demuestra que $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ es relativamente abierto, pero no (fuertemente) abierto.

Si $Y$ tiene la topología discreta (es decir, todos los subconjuntos son abiertos y cerrados) entonces cada función $f:X\to Y$ es tanto abierto como cerrado (pero no necesariamente continuo). Por ejemplo, la función piso de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {Z}$ Es abierto y cerrado, pero no continuo. Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conectado bajo un mapa abierto o cerrado no tiene por qué estar conectada.

Siempre que tengamos un producto de espacios topológicos ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ las proyecciones naturales $p_{i}:X\to X_{i}$ son abiertas ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} (así como continuas). Dado que las proyecciones de haces de fibras y mapas de recubrimiento son proyecciones naturales locales de productos, también son mapas abiertos. Sin embargo, las proyecciones no tienen por qué ser cerradas. Consideremos, por ejemplo, la proyección $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ en el primer componente; luego el conjunto $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ está cerrado en $\mathbb {R} ^{2},$ pero $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ no está cerrado en $\mathbb {R} .$ Sin embargo, para un espacio compacto $Y,$ la proyección $X\times Y\to X$ está cerrado. Este es esencialmente el lema del tubo .

A cada punto del círculo unitario podemos asociarle el ángulo positivo. $x$ Eje x con el rayo que conecta el punto con el origen. Esta función del círculo unitario al intervalo semiabierto [0, 2π ) es biyectiva, abierta y cerrada, pero no continua. Demuestra que la imagen de un espacio compacto bajo una aplicación abierta o cerrada no tiene por qué ser compacta. Cabe destacar que, si la consideramos como una función del círculo unitario a los números reales, no es ni abierta ni cerrada. Especificar el codominio es fundamental.

Condiciones suficientes

Todo homeomorfismo es abierto, cerrado y continuo. De hecho, una biyección continua es un homeomorfismo si y solo si es abierta, o equivalentemente, si y solo si es cerrada.

La composición de dos mapas (fuertemente) abiertos es un mapa abierto y la composición de dos mapas (fuertemente) cerrados es un mapa cerrado. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Sin embargo, la composición de dos mapas relativamente abiertos no tiene por qué ser relativamente abierta y la composición de dos mapas relativamente cerrados no tiene por qué ser relativamente cerrada. Si $f:X\to Y$ está fuertemente abierto (respectivamente, fuertemente cerrado) y $g:Y\to Z$ es relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado), entonces $g\circ f:X\to Z$ es relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado).

Dejar $f:X\to Y$ sea un mapa. Dado cualquier subconjunto $T\subseteq Y$ , si $f$ Si es relativamente abierta (respectivamente, relativamente cerrada, fuertemente abierta, fuertemente cerrada, continua, sobreyectiva ), entonces lo mismo es cierto para su restricción. $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ hacia $f$ subconjunto saturado $f^{-1}(T)$ .

La suma categórica de dos mapas abiertos es abierta, y la de dos mapas cerrados es cerrada. ^{[ 15 ]} El producto categórico de dos mapas abiertos también es abierto. Sin embargo, el producto categórico de dos mapas cerrados no necesariamente es cerrado. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}

Una aplicación biyectiva es abierta si y solo si es cerrada. La inversa de una biyección continua es una biyección abierta y cerrada (y viceversa). Una sobreyección abierta no es necesariamente cerrada, y una sobreyección cerrada no es necesariamente abierta. Todos los homeomorfismos locales , incluyendo todas las cartas de coordenadas en variedades y todas las aplicaciones de recubrimiento , son aplicaciones abiertas.

Lema del mapa cerrado : toda función continua $f:X\to Y$ desde un espacio compacto $X$ a un espacio Hausdorff $Y$ es cerrado y propio (lo que significa que las preimágenes de conjuntos compactos son compactas).

Una variante del lema del mapa cerrado establece que si una función continua entre espacios de Hausdorff localmente compactos es propia, entonces también es cerrada.

En análisis complejo , el teorema de la aplicación abierta, que lleva el mismo nombre, establece que toda función holomorfa no constante definida en un subconjunto abierto conexo del plano complejo es una aplicación abierta.

El teorema de invariancia del dominio establece que una función continua y localmente inyectiva entre dos dominios es invariante. $n$ Las variedades topológicas de dimensión deben ser abiertas.

Invariancia del dominio — Si $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb {R} ^{n}$ y $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ es una aplicación continua inyectiva , entonces $V:=f(U)$ está abierto en $\mathbb {R} ^{n}$ y $f$ es un homeomorfismo entre $U$ y $V$ .

En análisis funcional , el teorema de la aplicación abierta establece que toda sobreyección lineal continua entre espacios de Banach es una aplicación abierta. Este teorema se ha generalizado a espacios vectoriales topológicos, más allá de los espacios de Banach.

Un mapa sobreyectivo $f:X\to Y$ Se le llama un mapa casi abiertosi, por cada $y\in Y$ , existe algo $x\in f^{-1}(y)$ de tal manera que $x$ es unpunto de apertura para $f$ lo que por definición significa que, para cada vecindario abierto $U$ de $x$ , $f(U)$ es un barrio de $f(x)$ en $Y$ (tenga en cuenta que el vecindario $f(U)$ no es necesario que sea un vecindario abierto ). Toda sobreyección abierta es un mapa casi abierto, pero lo contrario es falso. Si una sobreyección $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ es un mapa casi abierto, entonces es un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera de $Y$ topología de $\sigma$ ): cuando sea $m$ y $n\in X$ pertenecen a la misma fibra de $f$ (eso es, $f(m)=f(n)$ ), entonces, para cada vecindario $U\in \tau$ de $m$ , existe algún vecindario $V\in \tau$ de $n$ de tal manera que $F(V)\subseteq F(U)$ . Si el mapa es continuo, entonces la condición anterior también es necesaria para que el mapa sea abierto. Es decir, si $f:X\to Y$ Si es una sobreyección continua, entonces es abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.

Propiedades

Mapas abiertos o cerrados que son continuos

Si $f:X\to Y$ Si se trata de un mapa continuo que también puede ser abierto o cerrado, entonces:

si $f$ $f$ es una sobreyección, entonces es un mapa cociente e incluso un mapa cociente hereditario ,
- Un mapa sobreyectivo $f:X\to Y$ se denomina cociente hereditario si para cada subconjunto $T\subseteq Y$ la restricción $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ es un mapa cociente.
si $f$ es una inyección , entonces es una incrustación topológica .
si $f$ Si es una biyección , entonces es un homeomorfismo .

En los dos primeros casos, estar abierto o cerrado es simplemente una condición suficiente para la conclusión que se deduce. En el tercer caso, también es necesaria .

Mapas abiertos continuos

Si $f:X\to Y$ es un mapa continuo (fuertemente) abierto, $A\subseteq X,$ y $S\subseteq Y,$ entonces:

$f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)$ dónde $\operatorname {Bd}$ denota el límite de un conjunto.
$f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}$ dónde ${\overline {S}}$ denota el cierre de un conjunto.
Si ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ dónde $\operatorname {Int}$ denota el interior de un conjunto, entonces ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$ donde este conjunto ${\overline {f(A)}}$ es también necesariamente un conjunto cerrado regular (en $Y$ ). ^{[ nota 1 ]} En particular, si $A$ es un conjunto cerrado regular, entonces también lo es ${\overline {f(A)}}$ . Si $A$ es un conjunto abierto regular , entonces también lo es $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
Si el mapa abierto continuo $f:X\to Y$ también es sobreyectiva, entonces $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ y, además, $S$ es un subconjunto abierto regular (respectivamente, cerrado regular) ^{[ nota 1 ] de} $Y$ si y solo si $f^{-1}(S)$ es un subconjunto abierto regular (respectivamente, un subconjunto cerrado regular) de $X$ .
Si una red $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ converge en $Y$ hasta cierto punto $y\in Y$ y si el mapa abierto continuo $f:X\to Y$ es sobreyectiva, entonces, para cualquier $x\in f^{-1}(y)$ , existe una red $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ en $X$ (indexado por algún conjunto dirigido $A$ ) tal que $x_{\bullet }\to x$ en $X$ y $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ es una subred de $y_{\bullet }$ Además, el conjunto de indexación $A$ puede tomarse como $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ con el pedido del producto , donde ${\mathcal {N}}_{x}$ es cualquier base vecinal de $x$ dirigido por $\,\supseteq .\,$ ^{[ nota 2 ]}

Véase también

Mapa casi abierto : mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.
Grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento.
Operador lineal cerrado : operador lineal cuya gráfica es cerrada.
Homeomorfismo local : función matemática reversible cerca de cada punto.
Mapa cuasi-abierto : generalización del mapa abierto en topología.
Mapa cociente (topología) – Construcción de espacio topológico Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección
Mapa perfecto : mapa continuo cerrado sobreyectivo, cuyas fibras son también conjuntos compactos.
Mapa propio – Mapa matemático entre espacios topológicos
Mapa de cobertura de secuencias

Notas

1 2 Un subconjunto $S\subseteq X$ se llama unconjunto cerrado regular si ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ o equivalentemente, si $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ dónde $\operatorname {Bd} S$ (resp. $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denota el límite topológico (respectivamente, interior , cierre ) de $S$ en $X.$ El conjunto $S$ se llama unconjunto abierto regular si $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ o equivalentemente, si $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ El interior (tomado en $X$ ) de un subconjunto cerrado de $X$ es siempre un subconjunto abierto regular de $X.$ El cierre (tomado en $X$ ) de un subconjunto abierto de $X$ es siempre un subconjunto cerrado regular de $X.$
↑ Explícitamente, para cualquier $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ elige cualquiera $h_{a}\in I$ de tal manera que $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ y luego dejar $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ ser arbitrario. La asignación $a\mapsto h_{a}$ define un morfismo de orden $h:A\to I$ de tal manera que $h(A)$ es un subconjunto cofinal de $I$ . De este modo, $f\left(x_{\bullet }\right)$ es una subred de Willard de $y_{\bullet }.$

Citas

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1 2 Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3Es importante recordar que el Teorema 5.3 dice que una función $f$ Una función es continua si y solo si la imagen inversa de cada conjunto abierto es un conjunto abierto. Esta caracterización de la continuidad no debe confundirse con otra propiedad que una función puede o no poseer: la propiedad de que la imagen de cada conjunto abierto sea un conjunto abierto (dichas funciones se denominan aplicaciones abiertas ).
1 2 3 Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218. Springer Science & Business Media. pág. 550. ISBN 9780387954486Un mapa $F:X\to Y$ Se dice que un mapa (continuo o no) es un mapa abierto si para cada subconjunto cerrado $U\subseteq X,$ $F(U)$ está abierto en $Y,$ y un mapa cerrado si para cada subconjunto cerrado $K\subseteq U,$ $F(K)$ está cerrado en $Y.$ Los mapas continuos pueden ser abiertos, cerrados, ambos o ninguno, como se puede observar al examinar ejemplos sencillos que involucran subconjuntos del plano.
1 2 Ludu, Andrei (15 de enero de 2012). Ondas no lineales y solitones en contornos y superficies cerradas . Springer Series in Synergetics. pág. 15. ISBN 9783642228940Una aplicación abierta es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. De igual modo, una aplicación cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Las aplicaciones abiertas o cerradas no son necesariamente continuas.
↑ Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis real básico . Springer Science & Business Media. pág. 203. ISBN 9780817642112Ahora estamos listos para nuestros ejemplos que muestran que una función puede ser abierta sin ser cerrada o cerrada sin ser abierta. Además, una función puede ser simultáneamente abierta y cerrada o no ser ni abierta ni cerrada.(La afirmación citada se da en el contexto de los espacios métricos, pero como los espacios topológicos surgen como generalizaciones de los espacios métricos, la afirmación también es válida en ese contexto).
↑ Naber, Gregory L. (2012). Métodos topológicos en espacios euclidianos . Dover Books on Mathematics (edición reimpresa ). Courier Corporation. pág. 18. ISBN 9780486153445Ejercicio 1-19. Demuestre que el mapa de proyección $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i es una aplicación abierta, pero no necesariamente cerrada. Sugerencia: La proyección de R ² sobre $\mathbb {R}$ no es cerrado. De manera similar, un mapa cerrado no tiene por qué ser abierto, ya que cualquier mapa constante es cerrado. Sin embargo, para mapas biyectivos, los conceptos de «abierto» y «cerrado» son equivalentes.
↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3. Hay muchas situaciones en las que una función $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ tiene la propiedad de que para cada subconjunto abierto $A$ de $X,$ el conjunto $f(A)$ es un subconjunto abierto de $Y,$ y sin embargo $f$ no es continuo.
↑ Boos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos en sumabilidad . Oxford University Press. pág. 332. ISBN 0-19-850165-XAhora bien , surge la pregunta de si la última afirmación es cierta en general, es decir, si las aplicaciones cerradas son continuas. Esto no se cumple en general, como demuestra el siguiente ejemplo.
↑ Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría de operadores . Springer Science & Business Media. pág . 115. ISBN 9780817649982En general, un mapa $F:X\to Y$ de un espacio métrico $X$ en un espacio métrico $Y$ puede poseer cualquier combinación de los atributos 'continuo', 'abierto' y 'cerrado' (es decir, estos son conceptos independientes).
^ Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE, eds. (2004). Enciclopedia de Topología General . Elsevier. pag. 86 . ISBN 0-444-50355-2Parece que el estudio de los mapas abiertos (interiores) comenzó con los artículos [13,14] de S. Stoïlow . Claramente, la apertura de los mapas fue estudiada extensamente por primera vez por GT Whyburn [19,20].
↑ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.
↑ Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
↑ Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (Segunda edición). pág. 606. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5. Archivado del original el 13-10-2022 . Recuperado el 12-09-2021 . Ejercicio A.32. Supongamos $X_{1},\ldots ,X_{k}$ son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ es un mapa abierto.
1 2 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Teoría de la homotopía infinita . K -Monografías en Matemáticas. vol. 6. pág. 53.ISBN 9780792369820La composición de mapas abiertos es abierta y la composición de mapas cerrados es cerrada. Asimismo , el producto de mapas abiertos es abierto. En cambio, el producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado...
1 2 3 James, IM (1984). Topología general y teoría de la homotopía . Springer-Verlag. pág . 49. ISBN 9781461382836Recordemos que la composición de mapas abiertos es abierta y la composición de mapas cerrados es cerrada. Asimismo, la suma de mapas abiertos es abierta y la suma de mapas cerrados es cerrada. Sin embargo, el producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado, aunque el producto de mapas abiertos sí lo sea .

Referencias

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[DefOfRegularOpenClosed-16] 1 2 Un subconjunto $S\subseteq X$ se llama unconjunto cerrado regular si ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ o equivalentemente, si $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ dónde $\operatorname {Bd} S$ (resp. $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) denota el límite topológico (respectivamente, interior , cierre ) de $S$ en $X.$ El conjunto $S$ se llama unconjunto abierto regular si $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ o equivalentemente, si $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ El interior (tomado en $X$ ) de un subconjunto cerrado de $X$ es siempre un subconjunto abierto regular de $X.$ El cierre (tomado en $X$ ) de un subconjunto abierto de $X$ es siempre un subconjunto cerrado regular de $X.$

[17] Explícitamente, para cualquier $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ elige cualquiera $h_{a}\in I$ de tal manera que $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ y luego dejar $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ ser arbitrario. La asignación $a\mapsto h_{a}$ define un morfismo de orden $h:A\to I$ de tal manera que $h(A)$ es un subconjunto cofinal de $I$ . De este modo, $f\left(x_{\bullet }\right)$ es una subred de Willard de $y_{\bullet }.$

[1] Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[mendelson-2] 1 2 Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3Es importante recordar que el Teorema 5.3 dice que una función $f$ Una función es continua si y solo si la imagen inversa de cada conjunto abierto es un conjunto abierto. Esta caracterización de la continuidad no debe confundirse con otra propiedad que una función puede o no poseer: la propiedad de que la imagen de cada conjunto abierto sea un conjunto abierto (dichas funciones se denominan aplicaciones abiertas ).

[lee550-3] 1 2 3 Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218. Springer Science & Business Media. pág. 550. ISBN 9780387954486Un mapa $F:X\to Y$ Se dice que un mapa (continuo o no) es un mapa abierto si para cada subconjunto cerrado $U\subseteq X,$ $F(U)$ está abierto en $Y,$ y un mapa cerrado si para cada subconjunto cerrado $K\subseteq U,$ $F(K)$ está cerrado en $Y.$ Los mapas continuos pueden ser abiertos, cerrados, ambos o ninguno, como se puede observar al examinar ejemplos sencillos que involucran subconjuntos del plano.

[ludu15-4] 1 2 Ludu, Andrei (15 de enero de 2012). Ondas no lineales y solitones en contornos y superficies cerradas . Springer Series in Synergetics. pág. 15. ISBN 9783642228940Una aplicación abierta es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. De igual modo, una aplicación cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Las aplicaciones abiertas o cerradas no son necesariamente continuas.

[5] Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis real básico . Springer Science & Business Media. pág. 203. ISBN 9780817642112Ahora estamos listos para nuestros ejemplos que muestran que una función puede ser abierta sin ser cerrada o cerrada sin ser abierta. Además, una función puede ser simultáneamente abierta y cerrada o no ser ni abierta ni cerrada.(La afirmación citada se da en el contexto de los espacios métricos, pero como los espacios topológicos surgen como generalizaciones de los espacios métricos, la afirmación también es válida en ese contexto).

[6] Naber, Gregory L. (2012). Métodos topológicos en espacios euclidianos . Dover Books on Mathematics (edición reimpresa ). Courier Corporation. pág. 18. ISBN 9780486153445Ejercicio 1-19. Demuestre que el mapa de proyección $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i es una aplicación abierta, pero no necesariamente cerrada. Sugerencia: La proyección de R ² sobre $\mathbb {R}$ no es cerrado. De manera similar, un mapa cerrado no tiene por qué ser abierto, ya que cualquier mapa constante es cerrado. Sin embargo, para mapas biyectivos, los conceptos de «abierto» y «cerrado» son equivalentes.

[mendelson2-7] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pág. 89. ISBN 0-486-66352-3. Hay muchas situaciones en las que una función $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ tiene la propiedad de que para cada subconjunto abierto $A$ de $X,$ el conjunto $f(A)$ es un subconjunto abierto de $Y,$ y sin embargo $f$ no es continuo.

[8] Boos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos en sumabilidad . Oxford University Press. pág. 332. ISBN 0-19-850165-XAhora bien , surge la pregunta de si la última afirmación es cierta en general, es decir, si las aplicaciones cerradas son continuas. Esto no se cumple en general, como demuestra el siguiente ejemplo.

[9] Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría de operadores . Springer Science & Business Media. pág . 115. ISBN 9780817649982En general, un mapa $F:X\to Y$ de un espacio métrico $X$ en un espacio métrico $Y$ puede poseer cualquier combinación de los atributos 'continuo', 'abierto' y 'cerrado' (es decir, estos son conceptos independientes).

[10] Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE, eds. (2004). Enciclopedia de Topología General . Elsevier. pag. 86 . ISBN 0-444-50355-2Parece que el estudio de los mapas abiertos (interiores) comenzó con los artículos [13,14] de S. Stoïlow . Claramente, la apertura de los mapas fue estudiada extensamente por primera vez por GT Whyburn [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-11] Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.

[12] Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0486131785.

[13] Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades diferenciables . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (Segunda edición). pág. 606. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5. Archivado del original el 13-10-2022 . Recuperado el 12-09-2021 . Ejercicio A.32. Supongamos $X_{1},\ldots ,X_{k}$ son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ es un mapa abierto.

[baues55-14] 1 2 Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Teoría de la homotopía infinita . K -Monografías en Matemáticas. vol. 6. pág. 53.ISBN 9780792369820La composición de mapas abiertos es abierta y la composición de mapas cerrados es cerrada. Asimismo , el producto de mapas abiertos es abierto. En cambio, el producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado...

[james49-15] 1 2 3 James, IM (1984). Topología general y teoría de la homotopía . Springer-Verlag. pág . 49. ISBN 9781461382836Recordemos que la composición de mapas abiertos es abierta y la composición de mapas cerrados es cerrada. Asimismo, la suma de mapas abiertos es abierta y la suma de mapas cerrados es cerrada. Sin embargo, el producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado, aunque el producto de mapas abiertos sí lo sea .

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