Categoría monoide cerrada

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías , una categoría monoidal cerrada (o una categoría monoidal cerrada ) es una categoría que es a la vez una categoría monoidal y una categoría cerrada de tal manera que las estructuras son compatibles.

Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , Set , donde el producto monoidal de conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$es el producto cartesiano habitual${\displaystyle A\times B}$y el Hom interno${\displaystyle B^{A}}$es el conjunto de funciones de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$Un ejemplo no cartesiano es la categoría de espacios vectoriales , K -Vect , sobre un campo${\displaystyle K}$Aquí, el producto monoidal es el producto tensorial usual de espacios vectoriales , y el Hom interno es el espacio vectorial de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a otro.

El lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas es la lógica lineal y el sistema de tipos es el sistema de tipos lineal . Muchos ejemplos de categorías monoidales cerradas son simétricas . Sin embargo, esto no siempre es así, ya que pueden encontrarse categorías monoidales no simétricas en formulaciones lingüísticas basadas en la teoría de categorías ; en términos generales, esto se debe a que el orden de las palabras en el lenguaje natural es importante.

Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que para cada objeto${\displaystyle B}$el functor dado por tensorización derecha con${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

tiene un adjunto derecho , escrito

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

Esto significa que existe una biyección, llamada ' currying ', entre los conjuntos Hom.

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

que es natural tanto en A como en C. En una notación diferente, pero común, se diría que el functor

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

tiene un adjunto derecho

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

De forma equivalente, una categoría monoidal cerrada${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría equipada, para cada par de objetos A y B , con

• un objeto${\displaystyle A\Rightarrow B}$,
• un morfismo${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$,

que satisface la siguiente propiedad universal: para cada morfismo

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

existe un morfismo único

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

de tal manera que

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Se puede demostrar que esta construcción define un functor.${\displaystyle \Rightarrow$ :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} . Este functor se llama functor Hom interno , y el objeto${\displaystyle A\Rightarrow B}$se llama el Hom interno de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. Muchas otras notaciones son de uso común para el Hom interno. Cuando el producto tensorial en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es el producto cartesiano, la notación usual es${\displaystyle B^{A}}$y este objeto se llama objeto exponencial .

Estrictamente hablando, hemos definido una categoría monoidal cerrada derecha , ya que requerimos que el tensor derecho con cualquier objeto${\displaystyle A}$tiene un adjunto derecho. En una categoría monoidal cerrada por la izquierda , en cambio exigimos que el functor de tensorización izquierda con cualquier objeto${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

tener un adjunto derecho

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

Una categoría monoidal bicerrada es una categoría monoidal que es cerrada tanto por la izquierda como por la derecha.

Una categoría monoidal simétrica es cerrada por la izquierda si y solo si es cerrada por la derecha. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad de una "categoría monoidal simétrica cerrada" sin especificar si es cerrada por la izquierda o por la derecha. De hecho, lo mismo es cierto de forma más general para las categorías monoidales trenzadas : dado que el trenzado hace que...${\displaystyle A\otimes B}$naturalmente isomorfo a${\displaystyle B\otimes A}$, la distinción entre tensorizar por la izquierda y tensorizar por la derecha se vuelve irrelevante, por lo que toda categoría monoidal trenzada cerrada por la derecha se convierte en cerrada por la izquierda de forma canónica, y viceversa.

Hemos descrito las categorías monoidales cerradas como categorías monoidales con una propiedad adicional. De forma equivalente, se puede definir una categoría monoidal cerrada como una categoría cerrada con una propiedad adicional. Es decir, podemos exigir la existencia de un producto tensorial que sea adjunto izquierdo al functor Hom interno . En este enfoque, las categorías monoidales cerradas también se denominan categorías monoidales cerradas .

• Toda categoría cartesiana cerrada es una categoría monoidal cerrada simétrica, cuando la estructura monoidal es la estructura del producto cartesiano. El functor Hom interno viene dado por el objeto exponencial.${\displaystyle B^{A}}$.
  • En particular, la categoría de conjuntos , Set , es una categoría monoidal cerrada y simétrica. Aquí el Hom interno${\displaystyle A\Rightarrow B}$es simplemente el conjunto de funciones de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$.
• La categoría de módulos , R -Mod sobre un anillo conmutativo R, es una categoría cerrada monoidal, simétrica y no cartesiana. El producto monoidal viene dado por el producto tensorial de módulos y el Hom interno.${\displaystyle M\Rightarrow N}$viene dado por el espacio de mapas R -lineales${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$con su estructura de módulo R natural .
  • En particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo${\displaystyle K}$es una categoría monoidal cerrada y simétrica.
  • Los grupos abelianos pueden considerarse como Z -módulos, por lo que la categoría de grupos abelianos es también una categoría monoidal cerrada y simétrica.
• Una categoría cerrada compacta simétrica es una categoría cerrada monoidal simétrica en la que el functor interno Hom${\displaystyle A\Rightarrow B}$es dado por${\displaystyle A^{*}\otimes B}$. El ejemplo canónico es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, FdVect .

• conjugación de Isbell

• Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas (PDF) . Serie de notas de clase de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9OCLC 1015056596 .​ 
• Melliès, Paul-André (2009). "Semántica categórica de la lógica lineal" (PDF) . Panoramas y síntesis . 27 : 1– 197. CiteSeerX 10.1.1.62.5117 . 
• Categoría monoide cerrada en el laboratorio n