Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Dominio (análisis matemático)

En análisis matemático , un dominio o región es un conjunto no vacío , conexo y abierto en un espacio topológico . En particular, es cualquier subconjunto abierto, conexo y no v...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En análisis matemático , un dominio o región es un conjunto no vacío , conexo y abierto en un espacio topológico . En particular, es cualquier subconjunto abierto, conexo y no vacío del espacio de coordenadas reales R n o del espacio de coordenadas complejas C n . Un subconjunto abierto y conexo de un espacio de coordenadas se utiliza frecuentemente para el dominio de una función . [ 1 ]

La idea básica de un subconjunto conexo de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de generación en generación, de autor en autor y de edición en edición, a medida que los conceptos se desarrollaron y los términos se tradujeron entre obras alemanas, francesas e inglesas. En inglés, algunos autores usan el término dominio , [ 2 ] algunos usan el término región , [ 3 ] algunos usan ambos términos indistintamente, [ 4 ] y algunos definen los dos términos de manera ligeramente diferente; [ 5 ] algunos evitan la ambigüedad ateniéndose a una frase como subconjunto abierto conexo no vacío . [ 6 ]

Convenciones

Una convención común es definir un dominio como un conjunto abierto conexo, pero una región como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos límite . [ 7 ] Una región cerrada o dominio cerrado es la unión de un dominio y todos sus puntos límite.

Se requieren distintos grados de suavidad en la frontera del dominio para que se cumplan diversas propiedades de las funciones definidas en él, como teoremas integrales ( teorema de Green , teorema de Stokes ), propiedades de los espacios de Sobolev y para definir medidas en la frontera y espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en la frontera). Los tipos de dominios comúnmente considerados son dominios con frontera continua , frontera de Lipschitz , frontera C1 , etc.

Un dominio acotado es un dominio que está delimitado , es decir, contenido en alguna bola. Una región acotada se define de forma similar. Un dominio exterior o dominio externo es un dominio cuyo complemento está acotado; a veces se imponen condiciones de suavidad en su frontera.

En análisis complejo , un dominio complejo (o simplemente dominio ) es cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo C. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unitario abierto , el semiplano superior abierto , etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición para una función holomorfa . En el estudio de varias variables complejas , la definición de dominio se extiende para incluir cualquier subconjunto abierto conexo de C n .

En los espacios euclidianos , las regiones unidimensionales , bidimensionales y tridimensionales son curvas , superficies y sólidos , cuya extensión se denomina, respectivamente, longitud , área y volumen .

Notas históricas

Definición . Un conjunto abierto es conexo si no puede expresarse como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto abierto conexo se denomina dominio.

Alemán : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

Según Hans Hahn , [ 8 ] el concepto de dominio como conjunto abierto conexo fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro ( Carathéodory 1918 ) . En esta definición, Carathéodory considera conjuntos disjuntos obviamente no vacíos . Hahn también señala que la palabra " Gebiet " (" Dominio ") se usaba ocasionalmente con anterioridad como sinónimo de conjunto abierto . [ 9 ] El concepto general es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos dominio y región se usaban a menudo de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita. [ 10 ]

Sin embargo, el término «dominio» se usó ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en sus influyentes monografías sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Carlo Miranda usa el término «región» para identificar un conjunto abierto conexo, [ 11 ] [ 12 ] y reserva el término «dominio» para identificar un conjunto internamente conexo, [ 13 ] perfecto , cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores, [ 11 ] siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone : [ 14 ] según esta convención, si un conjunto A es una región, entonces su clausura A es un dominio. [ 11 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Cabe señalar que, no obstante, las funciones pueden definirse en conjuntos que no son espacios topológicos: para más detalles, consulte la entrada correspondiente de Wikipedia .
  2. ↑ Por ejemplo ( Sveshnikov y Tikhonov 1978 , §1.3 págs. 21-22 ) .
  3. ↑ Por ejemplo ( Churchill 1948 , §1.9 pp. 16–17 ) ; ( Ahlfors 1953 , §2.2 p. 58 ) ; ( Rudin 1974 , §10.1 p. 213 ) reserva el término dominio para el dominio de una función; ( Carathéodory 1964 , p. 97 ) utiliza el término región para un conjunto abierto conexo y el término continuo para un conjunto cerrado conexo.
  4. ↑ Por ejemplo ( Townsend 1915 , §10, p. 20 ) ; ( Carrier, Krook y Pearson 1966 , §2.2, p. 32 ) .
  5. ↑ Por ejemplo ( Churchill 1960 , §1.9 p. 17 ) , quien no requiere que una región esté conectada o abierta.
  6. ↑ Por ejemplo ( Dieudonné 1960 , §3.19 pp. 64–67 ) generalmente usa la frase conjunto abierto conexo , pero luego define simplemente dominio conexo ( §9.7 p. 215 ); Tao, Terence (2016). "246A, Notas 2: integración compleja" .Además, ( Bremermann 1956 ) llamó a la región un conjunto abierto y al dominio un conjunto abierto concatenado.
  7. ↑ Por ejemplo ( Fuchs y Shabat 1964 , §6 pp. 22–23 ) ; ( Kreyszig 1972 , §11.1 p. 469 ) ; ( Kwok 2002 , §1.4, p. 23.)
  8. ↑ Véase ( Hahn 1921 , pág. 85, nota al pie 1 ) .
  9. ↑ Hahn (1921 , p. 61, nota al pie 3 ) , comentando la definición recién dada de conjunto abierto ("offene Menge"), afirma precisamente:-" Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden " . utilizado ocasionalmente para tales conjuntos de puntos, y lo usaremos en (§ 5, p. 85) con un significado diferente "
  10. ↑ Por ejemplo , ( Forsyth 1893 ) utiliza el término región de manera informal a lo largo del texto (por ejemplo, §16, p. 21 ) junto con la expresión informal parte del plano z , y define el dominio de un punto a para una función f como el mayor r- vecindario de a en el que f es holomorfa ( §32, p. 52 ). La primera edición del influyente libro de texto ( Whittaker 1902 ) utiliza los términos dominio y región de manera informal y aparentemente intercambiable. En la segunda edición ( Whittaker & Watson 1915 , §3.21, p. 44 ) definen una región abierta como el interior de una curva cerrada simple , y una región cerrada o dominio como la región abierta junto con su curva límite. ( Goursat 1905 , §262, p. 10 ) define région [región] o aire [área] como una porción conectada del plano. ( Townsend 1915 , §10, p. 20 ) define una región o dominio como una porción conectada del plano complejo que consiste únicamente en puntos interiores.
  11. 1 2 3 Véase (Miranda 1955 , pág. 1, 1970 , pág. 2) . 
  12. ↑ Precisamente, en la primera edición de su monografía, Miranda (1955 , p. 1) utiliza el término italiano " campo ", que significa literalmente "campo" de una manera similar a su significado en agricultura : en la segunda edición del libro, Zane C. Motteler traduce apropiadamente este término como "región". 
  13. ↑ Un conjunto internamente conexo es un conjunto cuyo interior es conexo.
  14. ↑ Véase ( Picone 1923 , pág. 66) . 

Referencias

  • Ahlfors, Lars (1953). Análisis complejo . McGraw-Hill.
  • Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja" . Transactions of the American Mathematical Society . 82 (1): 17– 51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 . 
  • Carathéodory, Constantin (1918). Vorlesungen über reelle Funktionen [ Conferencias sobre funciones reales ] (en alemán). BG Teubner. JFM 46.0376.12 . SEÑOR 0225940 .  Reimpreso en 1968 (Chelsea).
  • Carathéodory, Constantin (1964) [1954]. Teoría de las funciones de una variable compleja, vol. I (2.ª  ed.). Chelsea.Traducción al inglés de Carathéodory, Constantin (1950). Functionentheorie I (en alemán). Birkhäuser.
  • Carrier, George ; Krook, Max ; Pearson, Carl (1966). Funciones de una variable compleja: teoría y técnica . McGraw-Hill.
  • Churchill, Ruel (1948). Introducción a las variables complejas y sus aplicaciones (1.ª  ed.). McGraw-Hill.Churchill, Ruel (1960). Variables complejas y aplicaciones (2.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780070108530.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica.
  • Eves, Howard (1966). Funciones de una variable compleja . Prindle, Weber & Schmidt. pág.  105.
  • Forsyth, Andrew (1893). Teoría de las funciones de una variable compleja . Cambridge. JFM 25.0652.01 . 
  • Fuchs, Boris; Shabat, Boris (1964). Funciones de una variable compleja y algunas de sus aplicaciones, vol. 1. Pergamon.Traducción al inglés de Фукс, Борис; Shabat, Boris (1949). Функции комплексного переменного и некоторые их приложения (PDF) (en ruso). Физматгиз.
  • Goursat, Édouard (1905). Cours d'analyse mathématique, tomo 2 [ Un curso de análisis matemático, vol. 2 ] (en francés). Gauthier-Villars.
  • Hahn, Hans (1921). Theorie der reelen Funktionen. Erster Band [ Teoría de las funciones reales, vol. Yo ] (en alemán). Saltador. JFM 48.0261.09 . 
  • Krantz, Steven ; Parks, Harold (1999). La geometría de los dominios en el espacio . Birkhäuser.
  • Kreyszig, Erwin (1972) [1962]. Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª  ed.). Wiley. ISBN 9780471507284.
  • Kwok, Yue-Kuen (2002). Variables complejas aplicadas para científicos e ingenieros . Cambridge.
  • Miranda, Carlo (1955). Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico (en italiano). Saltador. SEÑOR 0087853 . Zbl 0065.08503 .  Traducido como Miranda , Carlo (1970). Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico . Traducido por Motteler, Zane C. (2.ª ed.). Springer. MR 0284700. Zbl 0198.14101 .   
  • Picone, Mauro (1923). "Parte Prima - La Derivazione" (PDF) . Lezioni di analisi infinitesimale, vol. I [ Lecciones de análisis infinitesimal ] (en italiano). Círculo matemático de Catania. JFM 49.0172.07 . 
  • Rudin, Walter (1974) [1966]. Análisis real y complejo (2.ª  ed.). McGraw-Hill. ISBN 9780070542334.
  • Solomentsev, Evgeny (2001) [1994], "Dominio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  • Sveshnikov, Aleksei ; Tikhonov, Andrey (1978). La teoría de las funciones de una variable compleja . Mir.Traducción al inglés de Свешников, Алексей; Ти́хонов, Андре́й (1967). Теория функций комплексной переменной (en ruso). Наука.
  • Townsend, Edgar (1915). Funciones de una variable compleja . Holt.
  • Whittaker, Edmund (1902). Un curso de análisis moderno (1.ª  ed.). Cambridge. JFM 33.0390.01 . Whittaker, Edmund; Watson, George (1915). Un curso de análisis moderno (2.ª  ed.). Cambridge.