Cierre (topología)

En topología , la clausura de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consiste en todos los puntos de S junto con todos los puntos límite de S. La clausura de S puede definirse equivalentemente como la unión de S y su frontera , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a S. Intuitivamente, la clausura puede pensarse como todos los puntos que están en S o "muy cerca" de S. Un punto que está en la clausura de S es un punto de clausura de S. La noción de clausura es, en muchos sentidos, dual a la noción de interior .

Consideremos una esfera en un espacio tridimensional. Implícitamente, existen dos regiones de interés creadas por esta esfera: la esfera misma y su interior (que se denomina bola tridimensional abierta ). Es útil distinguir entre el interior y la superficie de la esfera, por lo que distinguimos entre la bola tridimensional abierta (el interior de la esfera) y la bola tridimensional cerrada, que es el cierre de la bola tridimensional abierta, es decir, la bola tridimensional abierta más la superficie (la superficie como la propia esfera).

En el espacio topológico :

• En cualquier espacio,${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$En otras palabras, el cierre del conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$es${\displaystyle \varnothing }$sí mismo.
• En cualquier espacio${\displaystyle X,}$${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

Donación${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$La topología estándar (métrica) :

• Si${\displaystyle X}$es el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales , entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$En otras palabras, el cierre del conjunto${\displaystyle (0,1)}$como un subconjunto de${\displaystyle X}$es${\displaystyle [0,1]}$.
• Si${\displaystyle X}$es el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} }$, luego el cierre del conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales es todo el espacio${\displaystyle \mathbb {R} .}$Decimos que${\displaystyle \mathbb {Q} }$es denso en${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Si${\displaystyle X}$es el plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C}$ :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C}  :|z|\geq 1\}.}
• Si${\displaystyle S}$es un subconjunto finito de un espacio euclidiano${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$(Para un espacio topológico general, esta propiedad es equivalente al axioma T ₁ .)

En el conjunto de los números reales se pueden colocar otras topologías además de la estándar.

• Si${\displaystyle X=\mathbb {R} }$está dotado de la topología de límite inferior , entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• Si uno considera${\displaystyle X=\mathbb {R} }$la topología discreta en la que cada conjunto es cerrado (abierto), entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• Si uno considera${\displaystyle X=\mathbb {R} }$la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y${\displaystyle \mathbb {R} }$sí mismo, entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , puesto que todo conjunto es cerrado (y también abierto), todo conjunto es igual a su clausura.
• En cualquier espacio indiscreto${\displaystyle X,}$ya que los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y${\displaystyle X}$En sí mismo, tenemos que el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para cada subconjunto no vacío${\displaystyle A}$de${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$En otras palabras, todo subconjunto no vacío de un espacio indiscreto es denso .

El cierre de un conjunto también depende del espacio en el que estemos tomando el cierre. Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es el conjunto de los números racionales, con la topología relativa usual inducida por el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ,}$y si${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$entonces${\displaystyle S}$está cerrado y abierto a la vez${\displaystyle \mathbb {Q} }$porque ninguno${\displaystyle S}$ni su complemento puede contener${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, que sería el límite inferior de${\displaystyle S}$, pero no puede estar en${\displaystyle S}$porque${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es irracional. Entonces,${\displaystyle S}$no tiene un cierre bien definido debido a que los elementos de contorno no están en${\displaystyle \mathbb {Q} }$Sin embargo, si en cambio definimos${\displaystyle X}$ser el conjunto de los números reales y definir el intervalo de la misma manera entonces la clausura de ese intervalo está bien definida y sería el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Un operador de cierre en un conjunto${\displaystyle X}$es un mapeo del conjunto potencia de${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, en sí mismo que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Dado un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$, el cierre topológico induce una función${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$que se define enviando un subconjunto${\displaystyle S\subsetequ X}$a${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$donde la notación${\displaystyle {\overline {S}}}$o${\displaystyle S^{-}}$puede utilizarse en su lugar. Por el contrario, si${\displaystyle \mathbb {c} }$es un operador de cierre en un conjunto${\displaystyle X,}$entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como aquellos subconjuntos${\displaystyle S\subsetequ X}$que satisfacen${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$(por lo tanto, los complementos en${\displaystyle X}$de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología). ^{[ 6 ]}

El operador de cierre${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$es dual al operador interior , que se denota por${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$en el sentido de que

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

y también

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores reemplazando los conjuntos con sus complementos en${\displaystyle X.}$

En general, el operador de cierre no conmuta con las intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

Un subconjunto${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$En particular:

• El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío;
• El cierre de${\displaystyle X}$en sí mismo es${\displaystyle X.}$
• El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no necesariamente igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
• En la unión de un número finito de conjuntos, la clausura de la unión y la unión de las clausuras son iguales; la unión de conjuntos nulos es el conjunto vacío, por lo que esta afirmación contiene la afirmación anterior sobre la clausura del conjunto vacío como un caso especial.
• El cierre de la unión de infinitos conjuntos no tiene por qué ser igual a la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.
  • Así, al igual que la unión de dos conjuntos cerrados es cerrada, también la clausura se distribuye sobre las uniones binarias: es decir,${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$Pero así como una unión de infinitos conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada, tampoco la clausura se distribuye necesariamente sobre infinitas uniones: es decir,${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$es posible cuando${\displaystyle I}$es infinito.

Si${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$y si${\displaystyle T}$es un subespacio de${\displaystyle X}$(lo que significa que${\displaystyle T}$está dotado de la topología de subespacio que${\displaystyle X}$induce en él), entonces${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$y el cierre de${\displaystyle S}$calculado en${\displaystyle T}$es igual a la intersección de${\displaystyle T}$y el cierre de${\displaystyle S}$calculado en${\displaystyle X}$: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

Resulta que${\displaystyle S\subseteq T}$es un subconjunto denso de${\displaystyle T}$si y solo si${\displaystyle T}$es un subconjunto de${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ Es posible que${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ser un subconjunto apropiado de${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$Por ejemplo, tomemos${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle S=(0,1),}$y${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

Si${\displaystyle S,T\subseteq X}$pero${\displaystyle S}$no es necesariamente un subconjunto de${\displaystyle T}$entonces solo $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$ Siempre está garantizado, donde esta contención podría ser estricta (considere, por ejemplo,${\displaystyle X=\mathbb {R} }$con la topología habitual,${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$y${\displaystyle S=(0,\infty )}$^{[ prueba 1 ]} ), aunque si${\displaystyle T}$sucede en un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$entonces la igualdad${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$se mantendrá (sin importar la relación entre${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$).

En consecuencia, si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es cualquier cubierta abierta de${\displaystyle X}$y si${\displaystyle S\subseteq X}$es cualquier subconjunto entonces: $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$ porque${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$por cada${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$(donde cada${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$está dotado de la topología de subespacio inducida en él por${\displaystyle X}$). Esta igualdad es particularmente útil cuando${\displaystyle X}$es un colector y los conjuntos en la tapa abierta${\displaystyle {\mathcal {U}}}$son dominios de cartas de coordenadas . En otras palabras, este resultado muestra que el cierre en${\displaystyle X}$de cualquier subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$se puede calcular "localmente" en los conjuntos de cualquier cubierta abierta de${\displaystyle X}$y luego se unieron. De esta manera, este resultado puede verse como el análogo del hecho bien conocido de que un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$está cerrado en${\displaystyle X}$si y solo si está " cerrado localmente en${\displaystyle X}$", lo que significa que si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es cualquier cubierta abierta de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle S\cap U}$está cerrado en${\displaystyle U}$por cada${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

El operador de cierre se puede definir en términos de flechas universales, como sigue.

El conjunto potencia de un conjunto${\displaystyle X}$puede realizarse como una categoría de orden parcial${\displaystyle P}$en el que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión${\displaystyle A\to B}$cuando sea${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle B.}$Además, una topología${\displaystyle T}$en${\displaystyle X}$es una subcategoría de${\displaystyle P}$functor de inclusión${\displaystyle I:T\to P.}$El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un subconjunto fijo${\displaystyle A\subseteq X}$puede identificarse con la categoría coma${\displaystyle (A\downarrow I).}$Esta categoría —también un orden parcial— tiene entonces un objeto inicial${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$Por lo tanto, existe una flecha universal desde${\displaystyle A}$a${\displaystyle I,}$dado por la inclusión${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

De manera similar, dado que todo conjunto cerrado contiene${\displaystyle X\setminus A}$corresponde con un conjunto abierto contenido en${\displaystyle A}$podemos interpretar la categoría${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$como el conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en${\displaystyle A,}$con objeto terminal${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$el interior de${\displaystyle A.}$

Todas las propiedades del cierre se derivan de esta definición y de algunas propiedades de las categorías anteriores. Además, esta definición precisa la analogía entre el cierre topológico y otros tipos de cierres (por ejemplo, el cierre algebraico ), ya que todos son ejemplos de flechas universales .

• Punto adherente : punto que pertenece a la clausura de algún subconjunto dado de un espacio topológico. 
• Álgebra de cierre – Estructura algebraica Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Conjunto regular cerrado , un conjunto igual al cierre de su interior.
• Conjunto derivado (matemáticas) – Conjunto de todos los puntos límite de un conjunto 
• Interior (topología) – El subconjunto abierto más grande de un conjunto dado 
• Punto límite de un conjunto – Punto de agrupación en un espacio topológico Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Editorial Wm. C. Brown, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principios de topología , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2.ª  ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topología , vol.  I, Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Fundamentos de topología general , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topología , Allyn and Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556 . OCLC 285163112 – vía Internet Archive .  

• "Cierre de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]