Construcción de agarre

En topología , una rama de las matemáticas, la construcción de agarre es una forma de construir haces de fibras, en particular haces vectoriales sobre esferas.

Consideremos la esfera${\displaystyle S^{n}}$como la unión de los hemisferios superior e inferior${\displaystyle D_{+}^{n}}$y${\displaystyle D_{-}^{n}}$a lo largo de su intersección, el ecuador, un${\displaystyle S^{n-1}}$.

Dados haces de fibras trivializados con fibra${\displaystyle F}$y grupo estructurado${\displaystyle G}$sobre los dos hemisferios, y luego se le da un mapa.${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to G}$(llamado mapa de agarre ), pega los dos haces triviales mediante f .

Formalmente, es el coecualizador de las inclusiones.${\displaystyle S^{n-1}\times F\to D_{+}^{n}\times F\coprod D_{-}^{n}\times F}$a través de${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v)\in D_{+}^{n}\times F}$y${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F}$: pega los dos paquetes juntos por el borde, con un giro.

Así pues tenemos un mapa${\displaystyle \pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})}$: al capturar información en el ecuador se obtiene un haz de fibras en el espacio total.

En el caso de los haces vectoriales, esto produce${\displaystyle \pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})}$y, de hecho, este mapa es un isomorfismo (bajo la suma de esferas conectadas a la derecha).

Lo anterior se puede generalizar reemplazando${\displaystyle D_{\pm }^{n}}$y${\displaystyle S^{n}}$con cualquier tríada cerrada${\displaystyle (X;A,B)}$, es decir, un espacio X , junto con dos subconjuntos cerrados A y B cuya unión es X . Entonces, un mapa de agarre en${\displaystyle A\cap B}$da un fibrado vectorial en X .

Dejar${\displaystyle p\colon M\to N}$ser un haz de fibras con fibra${\displaystyle F}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser una colección de pares${\displaystyle (U_{i},q_{i})}$de tal manera que${\displaystyle q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F}$es una trivialización local de${\displaystyle p}$encima${\displaystyle U_{i}\subset N}$. Además, exigimos que la unión de todos los conjuntos${\displaystyle U_{i}}$es${\displaystyle N}$(es decir, la colección es un atlas de trivializaciones)${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}=N}$).

Considere el espacio${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times F}$módulo la relación de equivalencia${\displaystyle (u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F}$es equivalente a${\displaystyle (u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F}$si y solo si${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing }$y${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})}$. Por diseño, las trivializaciones locales${\displaystyle q_{i}}$establecer una equivalencia fibra a fibra entre este espacio cociente y el haz de fibras${\displaystyle p}$.

Considere el espacio${\displaystyle \coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$módulo la relación de equivalencia${\displaystyle (u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)}$es equivalente a${\displaystyle (u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)}$si y solo si${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing }$y considere${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}}$ser un mapa${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)}$entonces exigimos que${\displaystyle q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}}$. Es decir, en nuestra reconstrucción de${\displaystyle p}$Estamos reemplazando la fibra${\displaystyle F}$por el grupo topológico de homeomorfismos de la fibra,${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$. Si se sabe que el grupo de estructura del paquete se reduce, podría reemplazar${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$con el grupo de estructura reducida. Este es un paquete sobre${\displaystyle N}$con fibra${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$y es un paquete principal . Denotemos por${\displaystyle p\colon M_{p}\to N}$La relación con el conjunto anterior se deduce del conjunto principal:${\displaystyle (M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M}$.

Entonces tenemos un conjunto principal${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N}$La teoría de clasificación de espacios nos proporciona una fibración de empuje hacia adelante inducida.${\displaystyle M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))}$dónde${\displaystyle B(\operatorname {Homeo} (F))}$es el espacio de clasificación de${\displaystyle \operatorname {Homeo} (F)}$Aquí hay un esquema:

Dado un${\displaystyle G}$-paquete principal${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$, considere el espacio${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG}$Este espacio es una fibración de dos maneras diferentes:

1) Proyectar sobre el primer factor:${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N}$La fibra en este caso es${\displaystyle EG}$, que es un espacio contraíble por definición de espacio clasificador.

2) Proyectar sobre el segundo factor:${\displaystyle M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG}$La fibra en este caso es${\displaystyle M_{p}}$.

Por lo tanto, tenemos una fibración${\displaystyle M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG}$Este mapa se denomina mapa de clasificación del haz de fibras .${\displaystyle p\colon M\to N}$ya que 1) el paquete principal${\displaystyle G\to M_{p}\to N}$es el retroceso del paquete${\displaystyle G\to EG\to BG}$a lo largo del mapa de clasificación y 2) El paquete${\displaystyle p}$se induce a partir del haz principal como se indicó anteriormente.

A veces se hace referencia a las esferas retorcidas como una construcción de "tipo embrague", pero esto es engañoso: la construcción de embrague se refiere propiamente a haces de fibras.

• En las esferas retorcidas, se pegan dos mitades a lo largo de su límite. Las mitades se identifican a priori (con la bola estándar ), y los puntos en la esfera límite generalmente no van a sus puntos correspondientes en la otra esfera límite. Esto es un mapa${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$: el pegado no es trivial en la base.
• En la construcción de agarre, se pegan dos haces por el límite de sus hemisferios base. Las esferas límite se pegan mediante la identificación estándar: cada punto va al correspondiente, pero cada fibra tiene una torsión. Esto es un mapa.${\displaystyle S^{n-1}\to G}$: el pegado es trivial en la base, pero no en las fibras.

La construcción de agarre se utiliza para formar la anomalía quiral , pegando un par de formas de curvatura autoduales. Dichas formas son localmente exactas en cada hemisferio, ya que son diferenciales de la 3-forma de Chern-Simons ; al pegarlas, la forma de curvatura deja de ser globalmente exacta (y por lo tanto tiene un grupo de homotopía no trivial).${\displaystyle \pi _{3}.}$)

Se pueden encontrar construcciones similares para varios instantones , incluido el modelo de Wess-Zumino-Witten . ^{[ 1 ]}

• Truco de Alexander

• Libro en preparación de Allen Hatcher , Vector Bundles & K-Theory, versión 2.0, pág.  22.

• Construcción de embrague en nLab