Codimensión

En matemáticas , la codimensión es una idea geométrica básica que se aplica a subespacios en espacios vectoriales , a subvariedades en variedades y a subconjuntos adecuados de variedades algebraicas .

Para las variedades algebraicas afines y proyectivas , la codimensión es igual a la altura del ideal que las define . Por esta razón, a la altura de un ideal se le suele llamar su codimensión.

El concepto dual es la dimensión relativa .

La codimensión es un concepto relativo : solo se define para un objeto dentro de otro. No existe una "codimensión de un espacio vectorial (de forma aislada)", sino únicamente la codimensión de un subespacio vectorial .

Si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial V de dimensión finita , entonces la codimensión de W en V es la diferencia entre las dimensiones: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).}$

Es el complemento de la dimensión de W, ya que, junto con la dimensión de W, suma la dimensión del espacio ambiente V:

${\displaystyle \dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).}$

De manera similar, si N es una subvariedad o subvariedad en M , entonces la codimensión de N en M es

${\displaystyle \operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).}$

Así como la dimensión de una subvariedad es la dimensión del fibrado tangente (el número de dimensiones que se pueden recorrer en la subvariedad), la codimensión es la dimensión del fibrado normal (el número de dimensiones que se pueden recorrer fuera de la subvariedad).

En términos más generales, si W es un subespacio lineal de un espacio vectorial V (posiblemente de dimensión infinita), entonces la codimensión de W en V es la dimensión (posiblemente infinita) del espacio cociente V / W , que se conoce de forma más abstracta como el conúcleo de la inclusión. Para espacios vectoriales de dimensión finita, esto coincide con la definición anterior.

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

y es dual a la dimensión relativa como dimensión del núcleo .

Los subespacios de dimensión finita de espacios de dimensión infinita suelen ser útiles en el estudio de espacios vectoriales topológicos .

La propiedad fundamental de la codimensión radica en su relación con la intersección : si W ₁ tiene codimensión k ₁ y W ₂ tiene codimensión k ₂ , entonces si U es su intersección con codimensión j tenemos

max( k ₁ , k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

De hecho, j puede tomar cualquier valor entero en este rango. Esta afirmación es más clara que la traducción en términos de dimensiones, porque el lado derecho es simplemente la suma de las codimensiones. En otras palabras,

Las codimensiones (como máximo) suman .

Si los subespacios o subvariedades se intersecan transversalmente (lo que ocurre de forma genérica ), las codimensiones se suman exactamente.

Esta afirmación se denomina conteo de dimensiones , particularmente en la teoría de la intersección .

En términos del espacio dual , es bastante evidente por qué las dimensiones se suman. Los subespacios se pueden definir por la anulación de un cierto número de funcionales lineales , que, si los consideramos linealmente independientes , su número es la codimensión. Por lo tanto, vemos que U se define tomando la unión de los conjuntos de funcionales lineales que definen W _i . Esa unión puede introducir cierto grado de dependencia lineal : los posibles valores de j expresan esa dependencia, siendo la suma del lado derecho el caso en el que no hay dependencia. Esta definición de codimensión en términos del número de funciones necesarias para delimitar un subespacio se extiende a situaciones en las que tanto el espacio ambiente como el subespacio son de dimensión infinita.

En otras palabras, lo cual es fundamental para cualquier teoría de intersección , estamos tomando la unión de un cierto número de restricciones . Tenemos dos fenómenos a tener en cuenta:

1. Los dos conjuntos de restricciones pueden no ser independientes;
2. Los dos conjuntos de restricciones pueden no ser compatibles.

El primero de estos principios se suele expresar como el principio de conteo de restricciones : si tenemos N parámetros que ajustar (es decir, N grados de libertad ) y una restricción implica que debemos "consumir" un parámetro para satisfacerla, entonces la codimensión del conjunto de soluciones es, como máximo, igual al número de restricciones. No esperamos encontrar una solución si la codimensión prevista, es decir, el número de restricciones independientes , supera N (en el caso del álgebra lineal, siempre existe una solución trivial , un vector nulo , que por lo tanto se descarta).

El segundo es una cuestión de geometría, basada en el modelo de líneas paralelas ; es algo que se puede analizar para problemas lineales mediante métodos de álgebra lineal, y para problemas no lineales en el espacio proyectivo , sobre el campo de los números complejos .

La codimensión también tiene un significado claro en la topología geométrica : en una variedad, la codimensión 1 es la dimensión de la desconexión topológica por una subvariedad, mientras que la codimensión 2 es la dimensión de la teoría de ramificación y nudos . De hecho, la teoría de variedades de alta dimensión, que comienza en la dimensión 5 y superiores, puede considerarse que comienza en la codimensión 3, ya que las codimensiones superiores evitan el fenómeno de los nudos. Dado que la teoría de la cirugía requiere trabajar hasta la dimensión media, una vez que se está en la dimensión 5, la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2, y por lo tanto se evitan los nudos.

Esta observación no es vacía: el estudio de las incrustaciones en codimensión 2 es teoría de nudos, y es difícil, mientras que el estudio de las incrustaciones en codimensión 3 o más se presta a las herramientas de la topología geométrica de alta dimensión, y por lo tanto es considerablemente más fácil.

• Glosario de geometría diferencial y topología

• "Codimensión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5