Representación coadjunta

En matemáticas , la representación coadjunta${\displaystyle K}$de un grupo de mentiras${\displaystyle G}$es la dual de la representación adjunta . Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$denota el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$, la acción correspondiente de${\displaystyle G}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, el espacio dual a${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, se denomina acción coadjunta . Una interpretación geométrica es como la acción por traslación izquierda en el espacio de 1-formas invariantes por la derecha en${\displaystyle G}$.

La importancia de la representación coadjunta fue enfatizada por el trabajo de Alexandre Kirillov , quien demostró que para grupos de Lie nilpotentes${\displaystyle G}$Un papel fundamental en su teoría de representación lo desempeñan las órbitas coadjuntas . En el método de órbitas de Kirillov, las representaciones de${\displaystyle G}$se construyen geométricamente a partir de las órbitas coadjuntas. En cierto sentido, desempeñan un papel sustituto para las clases de conjugación de${\displaystyle G}$, lo cual, de nuevo, puede ser complicado, mientras que las órbitas son relativamente manejables.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo de mentiras y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea su álgebra de Lie.${\displaystyle \mathrm {Anuncio} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$denota la representación adjunta de${\displaystyle G}$. Luego la representación coadjunta${\displaystyle \mathrm {Anuncio} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})}$se define por

${\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g}^{-1}Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle }$para${\displaystyle g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},}$

dónde${\displaystyle \langle \mu ,Y\rangle }$denota el valor del funcional lineal${\displaystyle \mu }$en el vector${\displaystyle Y}$.

Dejar${\displaystyle \mathrm {anuncio} ^{*}}$denota la representación del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$inducido por la representación coadjunta del grupo de Lie${\displaystyle G}$. Entonces, la versión infinitesimal de la ecuación definitoria para${\displaystyle \mathrm {Anuncio} ^{*}}$lee:

${\displaystyle \langle \mathrm {ad} _ {X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _ {X}Y\rangle =-\langle \mu ,[X,Y]\rangle }$para${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

dónde${\displaystyle \mathrm {ad} }$es la representación adjunta del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Una órbita coadjunta${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$para${\displaystyle \mu }$en el espacio dual${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede definirse extrínsecamente, como la órbita real${\displaystyle \mathrm {Anuncio} _ {G}^{*}\mu}$adentro${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, o intrínsecamente como el espacio homogéneo${\displaystyle G/G_{\mu }}$dónde${\displaystyle G_{\mu }}$es el estabilizador de${\displaystyle \mu }$con respecto a la acción coadjunta; vale la pena hacer esta distinción ya que la incrustación de la órbita puede ser complicada.

Las órbitas coadjuntas son subvariedades de${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$y presentan una estructura simpléctica natural. En cada órbita${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$, hay un sistema cerrado no degenerado${\displaystyle G}$-forma 2 invariante${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}$heredado de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de la siguiente manera:

${\displaystyle \omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,[X,Y]\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

La buena definición, la no degeneración y${\displaystyle G}$-invariancia de${\displaystyle \omega }$De los siguientes hechos se desprende lo siguiente:

(i) El espacio tangente${\displaystyle \mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\{-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\mathfrak {g}}\}}$puede identificarse con${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$es el álgebra de Lie de${\displaystyle G_{\nu }}$.

(ii) El núcleo del mapa${\displaystyle X\mapsto \langle \nu ,[X,\cdot ]\rangle }$es exactamente${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$.

(iii) La forma bilineal${\displaystyle \langle \nu ,[\cdot ,\cdot ]\rangle }$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es invariante bajo${\displaystyle G_{\nu }}$.

${\displaystyle \omega }$También está cerrado . La forma canónica 2${\displaystyle \omega }$A veces se la denomina forma simpléctica de Kirillov-Kostant-Souriau o forma KKS en la órbita coadjunta.

• Teorema de Borel-Bott-Weil , para${\displaystyle G}$un grupo compacto
• Fórmula del carácter de Kirillov
• teoría de la órbita de Kirillov

• Kirillov, AA , Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 64, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302

• "Órbita conjunta" . PlanetMath .