Equilibrio de Nash a prueba de coaliciones

El concepto de equilibrio de Nash a prueba de coaliciones se aplica a ciertos entornos "no cooperativos" en los que los jugadores pueden discutir libremente sus estrategias, pero no pueden asumir compromisos vinculantes. ^{[ 1 ]} Enfatiza la inmunidad a las desviaciones que se autoaplican. Si bien la propiedad de mejor respuesta en el equilibrio de Nash es necesaria para la autoaplicabilidad, generalmente no es suficiente cuando los jugadores pueden desviarse conjuntamente de una manera mutuamente beneficiosa.

El equilibrio de Nash fuerte es criticado por ser demasiado "fuerte" ya que el entorno permite una comunicación privada ilimitada. ^{[ 1 ]} En el equilibrio de Nash a prueba de coaliciones, la comunicación privada es limitada. ^{[ 1 ]}

De manera informal: Al principio, todos los jugadores están en una sala deliberando sobre sus estrategias. Luego, uno por uno, salen de la sala definiendo su estrategia y solo los que quedan pueden cambiarla, tanto individualmente como en grupo.

Definición formal: ^{[ 1 ]}

1. En un juego de un solo jugador y una sola etapa. ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle s^{\ast }\in S}$es un equilibrio de Nash perfectamente a prueba de coaliciones si y solo si${\displaystyle s^{\ast }}$ maximiza ${\displaystyle g^{1}(s)}$.
2. Dejar${\displaystyle (n,t)\neq (1,1)}$. Supongamos que se ha definido un equilibrio de Nash perfectamente a prueba de coaliciones para todos los juegos con ${\displaystyle m}$ jugadores y ${\displaystyle s}$ etapas, donde ${\displaystyle (m,s)\leq (n,t)}$, y ${\displaystyle (m,s)\neq (n,t)}$.
   1. Para cualquier juego ${\displaystyle \Gamma }$ con ${\displaystyle n}$ jugadores y ${\displaystyle t}$ etapas, ${\displaystyle s^{*}\in S}$ es perfectamente autoaplicable si, para todos${\displaystyle J}$en${\displaystyle \mathbf {J} }$(conjunto de todas las coaliciones), ${\displaystyle s_{J}^{*}}$es un equilibrio de Nash perfectamente a prueba de coaliciones en el juego${\displaystyle \Gamma /s_{-J}^{*}}$y si la restricción de${\displaystyle s^{*}}$para cualquier subjuego apropiado forma un equilibrio de Nash perfectamente a prueba de coaliciones en ese subjuego .
   2. Para cualquier juego${\displaystyle \Gamma }$con${\displaystyle n}$jugadores y${\displaystyle t}$etapas, ${\displaystyle s^{*}\in S}$ es un equilibrio de Nash perfectamente a prueba de coaliciones si es perfectamente auto-reforzante y si no existe otro vector de estrategias perfectamente auto-reforzante.${\displaystyle s}$en${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle g^{1}(s)>g^{1}(s^{*})}$ a pesar de ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

El equilibrio de Nash a prueba de coaliciones refina el equilibrio de Nash al adoptar una noción más fuerte de autoaplicabilidad que permite desviaciones multilaterales.

Paralelamente a la idea del equilibrio correlacionado como una extensión del equilibrio de Nash cuando se permite un dispositivo de señalización pública, Diego Moreno y John Wooders definen el equilibrio a prueba de coaliciones. ^{[ 2 ]}