Estructura gruesa

En los campos matemáticos de la geometría y la topología , una estructura gruesa en un conjunto X es una colección de subconjuntos del producto cartesiano X × X con ciertas propiedades que permiten definir la estructura a gran escala de los espacios métricos y los espacios topológicos .

La geometría y la topología tradicionales se ocupan de la estructura a pequeña escala del espacio: propiedades como la continuidad de una función dependen de si las imágenes inversas de conjuntos abiertos pequeños , o vecindades , son a su vez abiertas. Las propiedades a gran escala de un espacio , como la acotación o los grados de libertad , no dependen de tales características. La geometría y la topología gruesas proporcionan herramientas para medir las propiedades a gran escala de un espacio, y así como una métrica o una topología contienen información sobre la estructura a pequeña escala de un espacio, una estructura gruesa contiene información sobre sus propiedades a gran escala.

En realidad, una estructura gruesa no es el análogo a gran escala de una estructura topológica, sino de una estructura uniforme .

Aestructura gruesa en unconjunto${\displaystyle X}$es una colección${\displaystyle \mathbf {E} }$de subconjuntos de${\displaystyle X\times X}$(por lo tanto, cayendo bajo la categorización más general de relaciones binarias en${\displaystyle X}$) llamadoconjunto controlado s, y por lo tanto que${\displaystyle \mathbf {E} }$posee la relación de identidad , es cerrado bajo la toma de subconjuntos, inversos y uniones finitas, y es cerrado bajo la composición de relaciones . Explícitamente:

1. Identidad/diagonal :

   La diagonal${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$es miembro de${\displaystyle \mathbf {E} }$— la relación de identidad.

2. Cerrado al tomar subconjuntos :

   Si${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$y${\displaystyle F\subseteq E,}$entonces${\displaystyle F\in \mathbf {E}.}$

3. Cerrado bajo la toma de inversas :

   Si${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$luego la inversa (o transpuesta )${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$es miembro de${\displaystyle \mathbf {E} }$— la relación inversa.

4. Cerrado bajo la tutela de los sindicatos :

   Si${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$luego su unión${\displaystyle E\cup F}$es miembro de${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. Cerrado bajo composición :

   Si${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$luego su producto${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ existe }}z\in X{\text{ tal que }}(x,z)\in E{\text{ y }}(z,y)\in F\}}$es miembro de${\displaystyle \mathbf {E} }$— la composición de relaciones .

Un conjunto${\displaystyle X}$dotado de una estructura tosca${\displaystyle \mathbf {E} }$es unespacio grueso .

Dejar${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$un conjunto controlado. Para un subconjunto${\displaystyle K}$de${\displaystyle X,}$el conjunto${\displaystyle E[K]}$se define como${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ para algún }}k\in K\}.}$Definimos elsección de${\displaystyle E}$por${\displaystyle x}$ser el conjunto${\displaystyle E[\{x\}],}$también denotado${\displaystyle E_{x}.}$El símbolo${\displaystyle E^{y}}$denota el conjunto${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$Estas son formas de proyecciones .

Un subconjunto${\displaystyle B}$de${\displaystyle X}$Se dice que es unconjunto acotado si${\displaystyle B\times B}$es un conjunto controlado.

Dado un conjunto${\displaystyle S}$y una estructura gruesa${\displaystyle X,}$decimos que los mapas${\displaystyle f:S\to X}$y${\displaystyle g:S\to X}$soncerrar si${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$es un conjunto controlado.

Para estructuras gruesas${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$decimos que${\displaystyle f:X\to Y}$es unmapa grueso si para cada conjunto acotado${\displaystyle B}$de${\displaystyle Y}$el conjunto${\displaystyle f^{-1}(B)}$está delimitado en${\displaystyle X}$y para cada conjunto controlado${\displaystyle E}$de${\displaystyle X}$el conjunto${\displaystyle (f\times f)(E)}$está controlado en${\displaystyle Y.}$^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$se dice queequivalente a grandes rasgos si existen mapas a grandes rasgos${\displaystyle f:X\to Y}$y${\displaystyle g:Y\to X}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g}$está cerca de${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$y${\displaystyle g\circ f}$está cerca de${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

• Elestructura gruesa acotada en unespacio métrico${\displaystyle (X,d)}$es la colección${\displaystyle \mathbf {E} }$de todos los subconjuntos${\displaystyle E}$de${\displaystyle X\times X}$de tal manera que${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$es finito . Con esta estructura, la red entera${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$es aproximadamente equivalente a${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones .
• Un espacio${\displaystyle X}$dónde${\displaystyle X\times X}$está controlado se llamaespacio acotado . Dicho espacio es aproximadamente equivalente a un punto. Un espacio métrico con la estructura gruesa acotada es acotado (como espacio grueso) si y solo si es acotado (como espacio métrico).
• La estructura gruesa trivial solo consta de la diagonal y sus subconjuntos. En esta estructura, una aplicación es una equivalencia gruesa si y solo si es una biyección (de conjuntos).
• El${\displaystyle C_{0}}$estructura gruesa en un espacio métrico${\displaystyle (X,d)}$es la colección de todos los subconjuntos${\displaystyle E}$de${\displaystyle X\times X}$de tal manera que para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$Hay un conjunto compacto${\displaystyle K}$de${\displaystyle E}$de tal manera que${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$a pesar de${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$Alternativamente, la colección de todos los subconjuntos${\displaystyle E}$de${\displaystyle X\times X}$de tal manera que${\displaystyle {\overline {\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}}}$es compacto.
• Elestructura gruesa discreta en un conjunto${\displaystyle X}$consta de la diagonal${\displaystyle \Delta }$junto con subconjuntos${\displaystyle E}$de${\displaystyle X\times X}$que contienen solo un número finito de puntos${\displaystyle (x,y)}$fuera de la diagonal.
• Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico entonces elestructura gruesa indiscreta en${\displaystyle X}$consta de todos los subconjuntos propios de${\displaystyle X\times X,}$es decir, todos los subconjuntos${\displaystyle E}$de tal manera que${\displaystyle E[K]}$y${\displaystyle E^{-1}[K]}$son relativamente compactos siempre${\displaystyle K}$es relativamente compacto.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:B\times B\in \mathbf {E} \}}$sea ​​la colección de todos los conjuntos acotados de un espacio grueso.${\displaystyle X}$Digamos que una estructura gruesa${\displaystyle \mathbf {E} }$en${\displaystyle X}$está conectado de forma gruesa ^{[ 1 ]} si${\displaystyle \{(x,y)\}\in \mathbf {E} }$a pesar de${\displaystyle (x,y)\in X\times X}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \mathbf {E} }$está conectado de forma tosca. Por ejemplo, si${\displaystyle X}$tiene al menos dos puntos y${\displaystyle \mathbf {E} }$es la estructura gruesa trivial, entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}}$no es una bornología. Las estructuras gruesas delimitadas, discretas e indiscretas están conectadas de forma gruesa.

• Bornología – Generalización matemática de la acotación 
• Cuasi-isometría : función entre dos espacios métricos que solo respeta su geometría a gran escala. 
• Espacio uniforme – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes 

• John Roe, Lecciones de geometría gruesa , Serie de conferencias universitarias, vol. 31, Sociedad Matemática Americana: Providence, Rhode Island, 2003. Correcciones a Lecciones de geometría gruesa.
• Roe, John (junio-julio de 2006). "¿Qué es... un espacio grueso?" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 53 (6): 669. Recuperado el 16 de enero de 2008 .