Átomo (teoría del orden)

En el campo matemático de la teoría del orden , un elemento a de un conjunto parcialmente ordenado con elemento mínimo 0 es un átomo si 0 < a y no hay ningún x tal que 0 < x < a .

De forma equivalente, se puede definir un átomo como un elemento que es mínimo entre los elementos distintos de cero, o alternativamente un elemento que cubre el elemento mínimo 0 .

Sea <: la relación de cobertura en un conjunto parcialmente ordenado.

Un conjunto parcialmente ordenado con un elemento mínimo 0 es atómico si cada elemento b  > 0 tiene un átomo a debajo de él, es decir, existe algún a tal que b ≥ a :> 0. Todo conjunto finito parcialmente ordenado con 0 es atómico, pero el conjunto de los números reales no negativos (ordenados de la forma habitual) no es atómico (y de hecho no tiene átomos).     

Un conjunto parcialmente ordenado es relativamente atómico (o fuertemente atómico ) si para todo a  < b existe un elemento c tal que a <: c ≤ b o, equivalentemente, si todo intervalo [ a , b ] es atómico. Todo conjunto parcialmente ordenado relativamente atómico con un elemento mínimo es atómico. Todo conjunto parcialmente ordenado finito es relativamente atómico.      

Un conjunto parcialmente ordenado con el elemento mínimo 0 se denomina atomístico (que no debe confundirse con atómico ) si cada elemento es el límite superior mínimo de un conjunto de átomos. El orden lineal con tres elementos no es atomístico (véase la figura  2).

Los átomos en conjuntos parcialmente ordenados son generalizaciones abstractas de los conjuntos unitarios en la teoría de conjuntos (véase la figura  1). La atomicidad (la propiedad de ser atómico) proporciona una generalización abstracta, en el contexto de la teoría del orden, de la capacidad de seleccionar un elemento de un conjunto no vacío.

Los términos coatom , coatomic y coatomistic se definen dualmente. Así, en un conjunto parcialmente ordenado con elemento máximo 1 , se dice que

• un coatom es un elemento cubierto por 1 ,
• El conjunto es coatómico si cada b  < 1 tiene un coatom c encima de él, y 
• El conjunto es coatomístico si cada elemento es el mayor límite inferior de un conjunto de coatomas.

• Davey, BA; Priestley, HA (2002), Introducción a las redes y el orden , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1

• "Átomo" . PlanetMath .
• "Poset" . PlanetMath .