espacio Hamming

En estadística y teoría de la codificación , un espacio de Hamming suele ser el conjunto de todos los${\displaystyle 2^{N}}$Cadenas binarias de longitud N , donde se considera que dos cadenas binarias distintas son adyacentes cuando difieren solo en una posición. La distancia total entre dos cadenas binarias cualesquiera es entonces el número total de posiciones en las que los bits correspondientes son diferentes, denominada distancia de Hamming . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los espacios de Hamming reciben su nombre del matemático estadounidense Richard Hamming , quien introdujo el concepto en 1950. ^{[ 3 ]} Se utilizan en la teoría de la codificación de señales y la transmisión.

De forma más general, un espacio de Hamming se puede definir sobre cualquier alfabeto (conjunto) Q como el conjunto de palabras de longitud fija N con letras de Q. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Si Q es un cuerpo finito , entonces un espacio de Hamming sobre Q es un espacio vectorial N- dimensional sobre Q. En el caso binario típico, el cuerpo es, por lo tanto, GF (2) (también denotado por Z ₂ ). ^{[ 4 ]}

En teoría de la codificación, si Q tiene q elementos, entonces cualquier subconjunto C (generalmente asumido de cardinalidad al menos dos) del espacio de Hamming N- dimensional sobre Q se llama un código q-ario de longitud N ; los elementos de C se llaman palabras clave . ^{[ 4 ] [ 5 ]} En el caso en que C es un subespacio lineal de su espacio de Hamming, se llama un código lineal . ^{[ 4 ]} Un ejemplo típico de código lineal es el código de Hamming . Los códigos definidos a través de un espacio de Hamming necesariamente tienen la misma longitud para cada palabra clave, por lo que se llaman códigos de bloque cuando es necesario distinguirlos de los códigos de longitud variable que se definen por factorización única en un monoide.

La distancia de Hamming dota a un espacio de Hamming de una métrica , que es esencial para definir nociones básicas de la teoría de la codificación, como los códigos de detección y corrección de errores . ^{[ 4 ]}

También se han considerado espacios de Hamming sobre alfabetos no corpusculares, especialmente sobre anillos finitos (en particular sobre Z ₄ ) dando lugar a módulos en lugar de espacios vectoriales y códigos lineales de anillo (identificados con submódulos ) en lugar de códigos lineales. La métrica típica utilizada en este caso es la distancia de Lee . Existe una isometría de Gray entre${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}^{2m}}$(es decir, GF(2 ^2m )) con la distancia de Hamming y${\displaystyle \mathbb {Z} _ {4}^{m}}$(también denotado como GR(4,m)) con la distancia de Lee. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}