Operador estrella de Hodge

En dos dimensiones con la métrica euclidiana normalizada y la orientación dada por el ordenamiento ( x , y ) , la estrella de Hodge en k -formas viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

Un ejemplo común del operador estrella de Hodge es el caso n = 3 , cuando puede tomarse como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para R ³ euclidiano con la base${\displaystyle dx,dy,dz}$de las 1-formas que se usan frecuentemente en el cálculo vectorial , se encuentra que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

La estrella de Hodge relaciona el exterior y el producto vectorial en tres dimensiones: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$Aplicada a tres dimensiones, la estrella de Hodge proporciona un isomorfismo entre vectores axiales y bivectores , de modo que cada vector axial a está asociado con un bivector A y viceversa, es decir: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$.

La estrella de Hodge también puede interpretarse como una forma de correspondencia geométrica entre un eje de rotación y una rotación infinitesimal (véase también: grupo de rotación 3D#álgebra de Lie ) alrededor del eje, con una velocidad igual a la longitud del eje de rotación. Un producto escalar en un espacio vectorial${\displaystyle V}$da un isomorfismo${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$ identificar${\displaystyle V}$con su espacio dual y el espacio vectorial${\displaystyle L(V,V)}$es naturalmente isomorfo al producto tensorial${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$. Por lo tanto, para${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$, el mapeo estelar${\textstyle \textstyle {\star }:V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$toma cada vector${\displaystyle \mathbf {v} }$a un bivector${\displaystyle {\star }\mathbf {v} \in V\otimes V}$, que corresponde a un operador lineal${\displaystyle L_{\mathbf {v} }:V\to V}$. Específicamente,${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$es un operador antisimétrico , que corresponde a una rotación infinitesimal: es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del eje${\displaystyle \mathbb {v} }$están dadas por la exponencial matricial${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$Con respecto a la base${\displaystyle dx,dy,dz}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, el tensor${\displaystyle dx\otimes dy}$corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en la${\displaystyle dx}$fila y${\displaystyle dy}$columna, etc., y la cuña${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$es la matriz antisimétrica${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$, etc. Es decir, podemos interpretar el operador estrella como:$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad {\star }{\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$ Según esta correspondencia, el producto vectorial de vectores corresponde al corchete de Lie conmutador de operadores lineales:${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$.

En caso${\displaystyle n=4}$, la estrella de Hodge actúa como un endomorfismo de la segunda potencia exterior (es decir, mapea 2-formas a 2-formas, ya que 4 − 2 = 2 ). Si la signatura del tensor métrico es toda positiva, es decir en una variedad riemanniana , entonces la estrella de Hodge es una involución . Si la signatura es mixta, es decir, pseudoriemanniana , entonces aplicar el operador dos veces devolverá el argumento salvo un signo – ver §  Dualidad más adelante. Esta propiedad particular de endomorfismo de las 2-formas en cuatro dimensiones hace que las 2-formas autoduales y anti-autoduales sean objetos geométricos naturales para estudiar. Es decir, se puede describir el espacio de 2-formas en cuatro dimensiones con una base que "diagonaliza" el operador estrella de Hodge con autovalores${\displaystyle \pm 1}$(o${\displaystyle \pm i}$(dependiendo de la firma).

Para mayor concreción, analizamos el operador estrella de Hodge en el espaciotiempo de Minkowski donde${\displaystyle n=4}$con signatura métrica (− + + +) y coordenadas${\displaystyle (t,x,y,z)}$. La forma del volumen está orientada como${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$. Para formas únicas , $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\{\star }dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$ mientras que para las 2-formas , $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\{\star }(dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\{\star }(dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\{\star }(dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\{\star }(dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\{\star }(dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

Estos se resumen en la notación del índice como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

El dual de Hodge de tres y cuatro formas se puede deducir fácilmente del hecho de que, en la signatura lorentziana,${\displaystyle {\star }^{2}=1}$para formas de rango impar y${\displaystyle {\star }^{2}=-1}$para formas de rango par. Una regla fácil de recordar para estas operaciones de Hodge es que dada una forma${\displaystyle \alpha }$, su Hodge dual${\displaystyle {\star }\alpha }$puede obtenerse escribiendo los componentes no involucrados en${\displaystyle \alpha }$en un orden tal que${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$. Un signo menos adicional entrará solo si${\displaystyle \alpha }$contiene${\displaystyle dt}$. (Para (+ − − −) , se coloca un signo menos solo si${\displaystyle \alpha }$implica un número impar de las formas asociadas al espacio${\displaystyle dx}$,${\displaystyle dy}$y${\displaystyle dz}$.)

Tenga en cuenta que las combinaciones $${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$ llevar${\displaystyle \pm i}$como el valor propio para el operador estrella de Hodge, es decir, $${\displaystyle {\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$ y por lo tanto merecen el nombre de dos formas autoduales y anti-autoduales. Comprender la geometría, o cinemática, del espaciotiempo de Minkowski en sectores autoduales y anti-autoduales resulta esclarecedor tanto desde una perspectiva matemática como física , estableciendo conexiones con el uso del lenguaje de dos espinores en la física moderna, como el formalismo de espinor-helicidad o la teoría de twistores .

La estrella de Hodge es conformemente invariante en n -formas en un espacio vectorial de 2n dimensiones .${\displaystyle V}$, es decir si${\displaystyle g}$es una métrica en${\displaystyle V}$y${\displaystyle \lambda >0}$, luego las estrellas de Hodge inducidas $${\displaystyle {\star }_{g},{\star }_{\lambda g}:\Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$ son lo mismo.

La combinación de la${\displaystyle {\star }}$El operador y la derivada exterior d generan los operadores clásicos grad , curl y div en campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional. Esto funciona de la siguiente manera: d transforma una 0-forma (una función) en una 1-forma, una 1-forma en una 2-forma y una 2-forma en una 3-forma (y transforma una 3-forma en cero). Para una 0-forma${\displaystyle f=f(x,y,z)}$, el primer caso escrito en componentes da como resultado: $${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

El producto escalar identifica las 1-formas con campos vectoriales como${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$, etc., para que${\displaystyle df}$se convierte${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$.

En el segundo caso, un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$corresponde a la forma 1${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$, que tiene derivada exterior: $${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

Aplicando la estrella de Hodge se obtiene la forma 1: $${\displaystyle {\star }d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$ que se convierte en el campo vectorial${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$.

En el tercer caso,${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$nuevamente corresponde a${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$Aplicando la estrella de Hodge, la derivada exterior y la estrella de Hodge nuevamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\{\star }d{\star }\varphi &={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

Una ventaja de esta expresión es que la identidad d ² = 0 , que es verdadera en todos los casos, tiene como casos especiales otras dos identidades: (1) curl grad f = 0 , y (2) div curl F = 0 . En particular, las ecuaciones de Maxwell adquieren una forma particularmente simple y elegante cuando se expresan en términos de la derivada exterior y la estrella de Hodge. La expresión${\displaystyle {\star }d{\star }}$(multiplicado por una potencia apropiada de −1) se llama codiferencial ; se define con toda generalidad, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente.

También se puede obtener el laplaciano Δ f = div grad f en términos de las operaciones anteriores: $${\displaystyle \Delta f={\star }d{\star }df={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano también puede considerarse un caso especial del operador de Laplace-de Rham más general.${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$donde en tres dimensiones,${\displaystyle \delta =(-1)^{k}{\star }d{\star }}$es el codiferencial para${\displaystyle k}$-formularios. Cualquier función${\displaystyle f}$es una forma 0, y${\displaystyle \delta f=0}$y así se reduce al laplaciano ordinario. Para la 1-forma${\displaystyle \varphi }$arriba, el codiferencial es${\displaystyle \delta =-{\star }d{\star }}$y después de algunos cálculos sencillos se obtiene el laplaciano que actúa sobre${\displaystyle \varphi }$.

Realizamos los cálculos en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal).${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$en un espacio tangente${\displaystyle V=T_{p}M}$y su doble base${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$en${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$, teniendo la matriz métrica${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$y su matriz inversa${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$. El dual de Hodge de una k -forma descomponible es: $${\displaystyle {\star }\left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

Aquí${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$es el símbolo de Levi-Civita con${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$y tomamos implícitamente la suma sobre todos los valores de los índices repetidos${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$. El factorial${\displaystyle (n-k)!}$tiene en cuenta el doble conteo y no está presente si los índices de suma están restringidos de modo que${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$. El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, como en el caso de los espacios tangentes a las variedades lorentzianas .

Una forma diferencial arbitraria se puede escribir de la siguiente manera: $${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

El factorial${\displaystyle k!}$Se incluye nuevamente para tener en cuenta el doble conteo cuando permitimos índices no crecientes. Nos gustaría definir el dual del componente.${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$de modo que el dual de Hodge de la forma viene dado por $${\displaystyle {\star }\alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}({\star }\alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

Utilizando la expresión anterior para el dual de Hodge de${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$, encontramos: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle ({\star }\alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

Aunque esta expresión se puede aplicar a cualquier tensor${\displaystyle \alpha }$El resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo de Levi-Civita, completamente antisimétrico, cancela todo excepto la parte totalmente antisimétrica del tensor. Por lo tanto, es equivalente a la antisimetrización seguida de la aplicación de la estrella de Hodge.

La forma de volumen unitario${\textstyle \omega ={\star }1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$está dado por: $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

La aplicación más importante de la estrella de Hodge en variedades es definir el codiferencial${\displaystyle \delta }$en${\displaystyle k}$-formas. Deje $${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }}$$ dónde${\displaystyle d}$es la derivada o diferencial exterior , y${\displaystyle s=1}$para variedades riemannianas. Entonces $${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$ mientras $${\displaystyle \delta$$ :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}

El codiferencial no es una antiderivación en el álgebra exterior, a diferencia de la derivada exterior.

El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto escalar de cuadrado integrable: $${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$ dónde${\displaystyle \zeta }$es un${\displaystyle k}$-forma y${\displaystyle \eta }$a${\displaystyle (k\!-\!1)}$-forma. Esta propiedad es útil ya que puede usarse para definir el codiferencial incluso cuando la variedad no es orientable (y el operador estrella de Hodge no está definido). La identidad puede demostrarse a partir del teorema de Stokes para formas suaves: $${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$ proporcionó${\displaystyle M}$tiene límite vacío, o${\displaystyle \eta }$o${\displaystyle {\star }\zeta }$tiene valores de frontera cero. (La definición adecuada de lo anterior requiere especificar un espacio vectorial topológico que sea cerrado y completo en el espacio de formas suaves. El espacio de Sobolev se utiliza convencionalmente; permite la secuencia convergente de formas${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$(como${\displaystyle i\to \infty }$) para ser intercambiado con las operaciones diferenciales e integrales combinadas, de modo que${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$y de igual modo para secuencias que convergen a${\displaystyle \eta }$.)

Dado que el diferencial satisface${\displaystyle d^{2}=0}$, el codiferencial tiene la propiedad correspondiente $${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

El operador de Laplace-deRham viene dado por $${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$ y se encuentra en el corazón de la teoría de Hodge . Es simétrica: $${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$ y no negativos: $${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

La estrella de Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge , la cohomología de De Rham es naturalmente isomorfa al espacio de k -formas armónicas, y por lo tanto la estrella de Hodge induce un isomorfismo de grupos de cohomología. $${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$ lo que a su vez da identificaciones canónicas a través de la dualidad de Poincaré de H ^k ( M ) con su espacio dual .

En coordenadas, con la notación anterior, el codiferencial de la forma${\displaystyle \alpha }$puede escribirse como $${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$ ¿Dónde aquí?${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$denota los símbolos de Christoffel de ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$.