La W de Kendall

El coeficiente W de Kendall (también conocido como coeficiente de concordancia de Kendall ) es una estadística no paramétrica para la correlación de rangos . Es una normalización de la estadística de la prueba de Friedman y se puede utilizar para evaluar el acuerdo entre evaluadores y, en particular, la fiabilidad interevaluador . El valor de W de Kendall oscila entre 0 (ningún acuerdo) y 1 (acuerdo completo).

Supongamos, por ejemplo, que se ha pedido a varias personas que clasifiquen una lista de preocupaciones políticas, de la más importante a la menos importante. El estadístico W de Kendall se puede calcular a partir de estos datos. Si el estadístico W es 1, todos los encuestados han coincidido y cada uno ha asignado el mismo orden a la lista de preocupaciones. Si W es 0, no existe una tendencia general de acuerdo entre los encuestados y sus respuestas pueden considerarse prácticamente aleatorias. Los valores intermedios de W indican un mayor o menor grado de unanimidad entre las distintas respuestas.

Mientras que las pruebas que utilizan el coeficiente de correlación de Pearson estándar asumen valores distribuidos normalmente y comparan dos secuencias de resultados simultáneamente, la W de Kendall no hace suposiciones sobre la naturaleza de la distribución de probabilidad y puede manejar cualquier número de resultados distintos.

Supongamos que el objeto i recibe el rango r _i,j del juez número j , donde hay un total de n objetos y m jueces. Entonces, el rango total otorgado al objeto i es

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{m}r_{i,j},}$

y el valor medio de estos rangos totales es

${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}.}$

La suma de las desviaciones al cuadrado, S , se define como

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2},}$

y luego la W de Kendall se define como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle W={\frac {12S}{m^{2}(n^{3}-n)}}.}$

Si el estadístico de prueba W es 1, todos los jueces o encuestados han coincidido y han asignado el mismo orden a la lista de objetos o preocupaciones. Si W es 0, no existe una tendencia general de acuerdo entre los encuestados y sus respuestas pueden considerarse prácticamente aleatorias. Los valores intermedios de W indican un mayor o menor grado de unanimidad entre los distintos jueces o encuestados.

Kendall y Gibbons (1990) también muestran que W está relacionado linealmente con el valor medio de los coeficientes de correlación de rangos de Spearman entre todos${\displaystyle m \choose {2}}$posibles pares de clasificaciones entre jueces

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {mW-1}{m-1}}}$

En algunos casos, la importancia de los evaluadores (expertos) puede no ser la misma entre sí. En este caso, se debe utilizar el coeficiente W de Kendall ponderado . ^{[ 4 ]} Supongamos que el objeto${\displaystyle i}$se le otorga el rango${\displaystyle r_{ij}}$por número de juez${\displaystyle j}$donde hay en total${\displaystyle n}$objetos y${\displaystyle m}$jueces. Además, el peso del juez${\displaystyle j}$se muestra por${\displaystyle \vartheta _ {j}}$(en una situación del mundo real, la importancia de cada evaluador puede ser diferente). De hecho, el peso de los jueces es${\displaystyle \vartheta _ {j}(j=1,2,...,m)}$. Luego, el rango total asignado al objeto${\displaystyle i}$es

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{m}\vartheta _{j}r_{ij}}$

y el valor medio de estos rangos totales es,

${\displaystyle {\bar {R}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}}$

La suma de las desviaciones al cuadrado,${\displaystyle S}$, se define como,

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}(R_{i}-{\bar {R}})^{2}}$

y luego el coeficiente W ponderado de Kendall se define como,

${\displaystyle W_{w}={\frac {12S}{(n^{3}-n)}}}$

La fórmula anterior es adecuada cuando no hay empate en el rango.

En el caso de rangos completos, una prueba de significancia comúnmente utilizada para W contra una hipótesis nula de no acuerdo (es decir, clasificaciones aleatorias) es dada por Kendall y Gibbons (1990) ^{[ 5 ].}

${\displaystyle \chi ^{2}=m(n-1)W}$

Donde el estadístico de prueba toma una distribución chi-cuadrado con${\displaystyle df=n-1}$grados de libertad.

En el caso de clasificaciones incompletas (ver arriba), esto se convierte en

${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\lambda (n^{2}-1)}{k+1}}W}$

Donde de nuevo hay${\displaystyle df=n-1}$grados de libertad.

Legendre ^{[ 6 ]} comparó mediante simulación el poder de los enfoques de prueba de chi-cuadrado y permutación para determinar la significancia para la W de Kendall . Los resultados indicaron que el método de chi-cuadrado era demasiado conservador en comparación con una prueba de permutación cuando${\displaystyle m<20}$. Marozzi ^{[ 7 ]} extendió esto al considerar también la prueba F , como se propuso en la publicación original que introdujo el estadístico W por Kendall y Babington Smith (1939):

${\displaystyle F={\frac {W(m-1)}{1-W}}}$

Donde el estadístico de prueba sigue una distribución F con${\displaystyle v_{1}=n-1-(2/m)}$y${\displaystyle v_{2}=(m-1)v_{1}}$grados de libertad. Marozzi descubrió que la prueba F funciona aproximadamente tan bien como el método de prueba de permutación, y puede preferirse a cuando${\displaystyle m}$es pequeño, ya que es computacionalmente más sencillo.

La W de Kendall y la W de Kendall ponderada están implementadas en MATLAB , ^{[ 8 ]} SPSS , R , ^{[ 9 ]} y otros paquetes de software estadístico.

• Maurice Kendall
• El tau de Kendall
• Coeficiente de correlación de rangos de Spearman
• Prueba de Friedman

• Kendall, MG; Babington Smith, B. (septiembre de 1939). "El problema de las m clasificaciones" . The Annals of Mathematical Statistics . 10 (3): 275– 287. doi : 10.1214/aoms/1177732186 . JSTOR 2235668 . 
• Kendall, MG, & Gibbons, JD (1990). Métodos de correlación de rangos. Nueva York, NY  : Oxford University Press.
• Corder, GW, Foreman, DI (2009). Estadística no paramétrica para no estadísticos: un enfoque paso a paso. Wiley, ISBN 978-0-470-45461-9
• Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms , OUP. ISBN 0-19-920613-9
• Legendre, P (2005) Asociaciones de especies: Revisión del coeficiente de concordancia de Kendall. Journal of Agricultural, Biological and Environmental Statistics , 10(2), 226 – 245.Archivado el 23 de agosto de 2009 en Wayback Machine.
• Siegel, Sidney; Castellán, N. John Jr. (1988). Estadística no paramétrica para las ciencias del comportamiento (2ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag.  266.ISBN​ 978-0-07-057357-4.
• Gibbons, Jean Dickinson; Chakraborti, Subhabrata (2003). Inferencia estadística no paramétrica (4.ª  ed.). Nueva York: Marcel Dekker. págs. 476–482 . ISBN  978-0-8247-4052-8.