Fin (teoría de categorías)

En teoría de categorías , un extremo de un functor${\displaystyle S\colon \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$es una transformación dinatural universal de un objeto${\displaystyle e}$de${\displaystyle \mathbf {X} }$a${\displaystyle S}$. ^{[ 1 ]}

Más explícitamente, se trata de un par.${\displaystyle (e,\omega )}$, dónde${\displaystyle e}$es un objeto de${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \omega \colon e{\ddot {\to }}S}$es una transformación extranatural tal que para cada transformación extranatural${\displaystyle \beta \colon x{\ddot {\to }}S}$existe un morfismo único${\displaystyle h\colon x\to e}$ de${\displaystyle \mathbf {X} }$con${\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}$ para cada objeto${\displaystyle a}$de${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Por abuso del lenguaje el objeto${\displaystyle e}$a menudo se le llama el final del functor.${\displaystyle S}$(olvidando${\displaystyle \omega }$) y está escrito

${\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ o simplemente }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}$

Los extremos también pueden describirse mediante límites. Si${\displaystyle \mathbf {X} }$está completo y${\displaystyle \mathbf {C} }$es pequeño, el extremo puede describirse como el ecualizador en el diagrama

${\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}$

donde el primer morfismo que se iguala es inducido por${\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}$y el segundo es inducido por${\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}$.

La definición del co-extremo de un functor${\displaystyle S\colon \mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$es el dual de la definición de un fin.

Por lo tanto, un co-end de${\displaystyle S}$consta de un par${\displaystyle (d,\zeta )}$, dónde${\displaystyle d}$es un objeto de ${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \zeta \colon S{\ddot {\to }}d}$ es una transformación extranatural, de tal manera que para cada transformación extranatural${\displaystyle \gamma \colon S{\ddot {\to }}x}$existe un morfismo único ${\displaystyle g\colon d\to x}$de${\displaystyle \mathbf {X} }$con${\displaystyle \gamma _{a}=g\circ \zeta _{a}}$para cada objeto${\displaystyle a}$de${\displaystyle \mathbf {C} }$.

El coend${\displaystyle d}$del functor${\displaystyle S}$está escrito

${\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ o }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}$

Los co-extremos tienen una caracterización mediante límites dual a la caracterización de los extremos. Si${\displaystyle \mathbf {X} }$es completo y${\displaystyle \mathbf {C} }$Si es pequeño, entonces el coend puede describirse como el coecualizador en el diagrama.

${\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}$

• final en el laboratorio n