expansión de Laplace

En álgebra lineal , la expansión de Laplace , llamada así por Pierre-Simon Laplace , también conocida como expansión de cofactores , es una expresión del determinante de una matriz B de n × n como una suma ponderada de menores , que son los determinantes de algunas submatrices de B de ( n − 1) × ( n − 1) . Específicamente, para cada i , la expansión de Laplace a lo largo de la i -ésima fila es la igualdad $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle b_{i,j}}$es la entrada de la i -ésima fila y j -ésima columna de B , y${\displaystyle m_{i,j}}$es el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la i -ésima fila y la j -ésima columna de B. De manera similar, la expansión de Laplace a lo largo de la j -ésima columna es la igualdad $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(B)&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{i,j}m_{i,j}.\end{aligned}}}$$ (Cada identidad implica a la otra, ya que los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales).

El coeficiente${\displaystyle (-1)^{i+j}m_{i,j}}$de${\displaystyle b_{i,j}}$En la suma anterior se llama cofactor de${\displaystyle b_{i,j}}$en B.​

El desarrollo de Laplace suele ser útil en demostraciones, por ejemplo, para permitir la recursión en el tamaño de las matrices. También tiene interés didáctico por su simplicidad y como una de las diversas maneras de visualizar y calcular el determinante. Para matrices grandes, su cálculo se vuelve rápidamente ineficiente en comparación con la eliminación gaussiana .

Consideremos la matriz

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se puede calcular utilizando el desarrollo de Laplace a lo largo de cualquiera de sus filas o columnas. Por ejemplo, un desarrollo a lo largo de la primera fila produce:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}\\[5pt]&=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{aligned}}}$

El desarrollo en serie de Laplace a lo largo de la segunda columna produce el mismo resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}|B|&=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{aligned}}}$

Es fácil verificar que el resultado es correcto: la matriz es singular porque la suma de su primera y tercera columna es el doble de la segunda columna, y por lo tanto su determinante es cero.

Suponer${\displaystyle B}$es una matriz n × n y${\displaystyle i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.}$Para mayor claridad, también etiquetamos las entradas de${\displaystyle B}$que componen su${\displaystyle i,j}$matriz menor${\displaystyle M_{ij}}$como

${\displaystyle (a_{st})}$para${\displaystyle 1\leq s,t\leq n-1.}$

Considere los términos en la expansión de${\displaystyle |B|}$que tienen${\displaystyle b_{ij}}$como factor. Cada uno tiene la forma

${\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}}$

para alguna permutación τ ∈ S _n con${\displaystyle \tau (i)=j}$y una permutación única y evidentemente relacionada${\displaystyle \sigma \in S_{n-1}}$que selecciona las mismas entradas menores que τ . De manera similar, cada elección de σ determina un τ correspondiente , es decir, la correspondencia.${\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }$es una biyección entre${\displaystyle S_{n-1}}$y${\displaystyle \{\tau \in S_{n}\colon \tau (i)=j\}.}$ Utilizando la notación de dos líneas de Cauchy , la relación explícita entre${\displaystyle \tau }$y${\displaystyle \sigma }$se puede escribir como

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}$

dónde${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$es una notación abreviada temporal para un ciclo${\displaystyle (n,n-1,\cdots ,j+1,j)}$Esta operación decrementa todos los índices mayores que j de modo que cada índice se ajuste al conjunto {1,2,...,n-1}.

La permutación τ se puede derivar de σ de la siguiente manera. Definir${\displaystyle \sigma '\in S_{n}}$por${\displaystyle \sigma '(k)=\sigma (k)}$para${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$y${\displaystyle \sigma '(n)=n}$. Entonces${\displaystyle \sigma '}$se expresa como

${\displaystyle \sigma '={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}$

Ahora, la operación que se aplica${\displaystyle (\leftarrow )_{i}}$primero y luego aplicar${\displaystyle \sigma '}$es (Nótese que aplicar A antes de B es equivalente a aplicar el inverso de A a la fila superior de B en notación de dos líneas)

${\displaystyle \sigma '(\leftarrow )_{i}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i+1&\cdots &n&i\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (i+1))&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n))&n\end{pmatrix}}}$

dónde${\displaystyle (\leftarrow )_{i}}$es una notación abreviada temporal para${\displaystyle (n,n-1,\cdots ,i+1,i)}$.

la operación que se aplica${\displaystyle \tau }$primero y luego se aplica${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$es

${\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}(\tau (1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (2))&\cdots &n&\cdots &(\leftarrow )_{j}(\tau (n-1))&(\leftarrow )_{j}(\tau (n))\end{pmatrix}}}$

Los dos anteriores son iguales, por lo tanto,

${\displaystyle (\leftarrow )_{j}\tau =\sigma '(\leftarrow )_{i}}$

${\displaystyle \tau =(\rightarrow )_{j}\sigma '(\leftarrow )_{i}}$

dónde${\displaystyle (\rightarrow )_{j}}$es lo inverso de${\displaystyle (\leftarrow )_{j}}$que es${\displaystyle (j,j+1,\cdots ,n)}$.

De este modo

${\displaystyle \tau \,=(j,j+1,\ldots ,n)\sigma '(n,n-1,\ldots ,i)}$

Dado que los dos ciclos se pueden escribir respectivamente como${\displaystyle n-i}$y${\displaystyle n-j}$transposiciones ,

${\displaystyle \operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma .}$

Y dado que el mapa${\displaystyle \sigma \leftrightarrow \tau }$es biyectivo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}\sum _{\sigma \in S_{n-1}}\operatorname {sgn} \sigma \,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}\\&=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$

de donde se deduce el resultado. De manera similar, el resultado se mantiene si el índice de la suma externa se reemplaza por${\displaystyle j}$. ^{[ 1 ]}

La expansión de cofactores de Laplace se puede generalizar de la siguiente manera.

La expansión de Laplace es computacionalmente ineficiente para matrices de alta dimensión, con una complejidad temporal en notación O grande de O ( n !) . Alternativamente, usar una descomposición en matrices triangulares como en la descomposición LU puede producir determinantes con una complejidad temporal de O ( n³ ) . ^{[ 2 ]} El siguiente código Python implementa la expansión de Laplace ^:

def determinante ( M ): # Caso base de la función recursiva: matriz de 1x1 if len ( M ) == 1 : return M [ 0 ][ 0 ]total = 0 para columna , elemento en enumerate ( M [ 0 ]): # Excluir la primera fila y la columna actual. K = [ x [: columna ] + x [ columna + 1 :] para x en M [ 1 : ]] s = 1 si columna % 2 == 0 sino -1 total += s * elemento * determinante ( K ) devolver total

• Fórmula de Leibniz para determinantes
• Regla de Sarrus para${\displaystyle 3\times 3}$determinantes

• David Poole: Álgebra lineal. Una introducción moderna . Cengage Learning 2005, ISBN 0-534-99845-3, págs.  265–267 ( copia en línea restringida , pág. 265, en Google Books )
• Harvey E. Rose: Álgebra lineal. Un enfoque puramente matemático . Springer 2002, ISBN 3-7643-6905-1, págs.  57–60 ( copia restringida en línea , pág. 57, en Google Books )