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Articulo de referencia

Teorema de Cohn

En matemáticas , el teorema de Cohn [ 1 ] establece que un polinomio autoinversor de grado n pag ( z ) {\displaystyle p(z)} tiene tantas raíces en el disco de la unidad abierta ...

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En matemáticas , el teorema de Cohn [ 1 ] establece que un polinomio autoinversor de grado npag(z){\displaystyle p(z)}tiene tantas raíces en el disco de la unidad abiertaD={z∈do:|z|<1}{\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} como el polinomio recíproco de su derivada . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] El teorema de Cohn es útil para estudiar la distribución de las raíces de polinomios autoinversos y autorrecíprocos en el plano complejo . [ 4 ] [ 5 ]

Un polinomio de grado n ,

pag(z)=pag0+pag1z+⋯+pagnorteznorte{\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+\cdots +p_{n}z^{n}}

Se denomina autoinversor si existe un número complejo fijo (ω{\displaystyle \omega }) de módulo 1 de modo que,

pag(z)=ωpag∗(z),(|ω|=1),{\displaystyle p(z)=\omega p^{*}(z),\qquad \left(|\omega |=1\right),}

dónde

pag∗(z)=znortepag¯(1/z¯)=pag¯norte+pag¯norte−1z+⋯+pag¯0znorte{\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}{\bar {p}}\left(1/{\bar {z}}\right)={\bar {p}}_{n}+{\bar {p}}_{n-1}z+\cdots +{\bar {p}}_{0}z^{n}}

es el polinomio recíproco asociado con pag(z){\displaystyle p(z)} y la barra significa conjugación compleja . Los polinomios autoinversos tienen muchas propiedades interesantes. [ 6 ] Por ejemplo, sus raíces son todas simétricas con respecto al círculo unitario y un polinomio cuyas raíces están todas en el círculo unitario es necesariamente autoinverso. Los coeficientes de los polinomios autoinversos satisfacen las relaciones.

pagk=ωpag¯norte−k,0⩽k⩽norte.{\displaystyle p_{k}=\omega {\bar {p}}_{nk},\qquad 0\leqslant k\leqslant n.}

En el caso donde ω=1,{\displaystyle \omega =1,} Un polinomio autoinverso se convierte en un polinomio recíproco complejo (también conocido como polinomio autoconjugado ). Si sus coeficientes son reales, entonces se convierte en un polinomio real autorecíproco .

La derivada formal depag(z){\displaystyle p(z)}es un polinomio de grado ( n  − 1) dado por 

q(z)=pag′(z)=pag1+2pag2z+⋯+nortepagnorteznorte−1.{\displaystyle q(z)=p'(z)=p_{1}+2p_{2}z+\cdots +np_{n}z^{n-1}.}

Por lo tanto, el teorema de Cohn establece que ambospag(z){\displaystyle p(z)}y el polinomio

q∗(z)=znorte−1q¯norte−1(1/z¯)=znorte−1pag¯′(1/z¯)=nortepag¯norte+(norte−1)pag¯norte−1z+⋯+pag¯1znorte−1{\displaystyle q^{*}(z)=z^{n-1}{\bar {q}}_{n-1}\left(1/{\bar {z}}\right)=z^{n-1}{\bar {p}}'\left(1/{\bar {z}}\right)=n{\bar {p}}_{n}+(n-1){\bar {p}}_{n-1}z+\cdots +{\bar {p}}_{1}z^{n-1}}

tienen el mismo número de raíces en|z|<1.{\displaystyle |z|<1.}

Véase también

Referencias

  1. ^ Cohn , A (1922). "Über die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise". Matemáticas. Z.​ 14 : 110–148 . doi : 10.1007/BF01216772 .
  2. ↑ Bonsall, FF; Marden, Morris (1952). "Ceros de polinomios autoinversos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 3 (3): 471– 475. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047828-8 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2031905 .  
  3. ↑ Ancochea, Germán (1953). "Ceros de polinomios autoinversos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 4 (6): 900– 902. doi : 10.1090/s0002-9939-1953-0058748-8 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2031826 .  
  4. ↑ Schinzel, A. (1 de marzo de 2005). "Polinomios autoinversos con todos los ceros en el círculo unitario". The Ramanujan Journal . 9 ( 1–2 ): 19–23 . doi : 10.1007/s11139-005-0821-9 . ISSN 1382-4090 . 
  5. ↑ Vieira, RS (2017). "Sobre el número de raíces de polinomios autoinversos en el círculo unitario complejo". The Ramanujan Journal . 42 (2): 363– 369. arXiv : 1504.00615 . doi : 10.1007/s11139-016-9804-2 . ISSN 1382-4090 . 
  6. ↑ Marden, Morris (1970). Geometría de polinomios (ed. revisada ). Encuestas y monografías matemáticas (Libro 3). Estados Unidos de América: Sociedad Matemática Americana. ISBN  978-0821815038.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )