La desigualdad de Cohn-Vossen

En geometría diferencial , la desigualdad de Cohn-Vossen , que recibe su nombre de Stefan Cohn-Vossen , relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie no compacta con la característica de Euler . Es similar al teorema de Gauss-Bonnet para una superficie compacta .

Un camino divergente dentro de una variedad riemanniana es una curva suave en la variedad que no está contenida dentro de ningún subconjunto compacto de la variedad. Una variedad completa es aquella en la que cada camino divergente tiene longitud infinita con respecto a la métrica riemanniana en la variedad. La desigualdad de Cohn-Vossen establece que en toda 2-variedad riemanniana completa S con curvatura total finita y característica de Euler finita, tenemos ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \iint _ {S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),}$

donde K es la curvatura gaussiana, dA es el elemento de área y χ es la característica de Euler.

• Si S es una superficie compacta (sin frontera), entonces la desigualdad es una igualdad según el teorema usual de Gauss - Bonnet para variedades compactas.
• Si S tiene un límite, entonces el teorema de Gauss - Bonnet da

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

dónde${\displaystyle k_{g}}$es la curvatura geodésica del contorno, y su integral la curvatura total , que necesariamente es positiva para una curva de contorno, y la desigualdad es estricta. (Un resultado similar se cumple cuando el contorno de S es suave a trozos).

• Si S es el plano R ² , entonces la curvatura de S es cero y χ ( S )  =  1, por lo que la desigualdad es estricta: 0  <  2 π .

• Cohn-Vossen, Stefan (1935). "Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen" . Composición Matemática . 2 : 69– 13. JFM 61.0789.01 . SEÑOR 1556908 . Zbl 0011.22501 .   
• Huber, Alfred (1957). "Sobre funciones subarmónicas y geometría diferencial en lo grande" . Comentarios Mathematici Helvetici . 32 (1): 13– 72. doi : 10.1007/BF02564570 . hdl : 2027/mdp.39015095254580 . SEÑOR 0094452 . Zbl 0080.15001 .  
• Li, Peter (2000). «Curvatura y teoría de funciones en variedades riemannianas». En Yau, S.-T. (ed.). Estudios en Geometría Diferencial . Vol.  7. Somerville, MA: International Press. pp. 375–432 . doi : 10.4310/SDG.2002.v7.n1.a13 . ISBN  1-57146-069-1. SEÑOR 1919432 . Zbl 1066.53084 .  
• Shiohama, Katsuhiro; Shioya, Takashi; Tanaka, Minoru (2003). La geometría de la curvatura total en superficies abiertas completas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  159. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511543159 . ISBN 0-521-45054-3. SEÑOR 2028047 . Zbl 1086.53056 .  

• Teorema de Gauss-Bonnet, en la Enciclopedia de Matemáticas , incluyendo una breve explicación de la desigualdad de Cohn-Vossen.