ecuación de Cole-Cole

La ecuación de Cole-Cole es un modelo de relajación que se utiliza con frecuencia para describir la relajación dieléctrica en polímeros .

Está dada por la ecuación

${\displaystyle \varepsilon ^{*}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\Delta \varepsilon }{1+(i\omega \tau )^{1-\alpha }}}}$

dónde${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$es la constante dieléctrica compleja ,${\displaystyle \varepsilon _{s}}$y${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$son las constantes dieléctricas "estáticas" y de "frecuencia infinita",${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular y${\displaystyle \tau }$es una constante de tiempo de relajación dieléctrica .

El parámetro exponencial${\displaystyle \alpha }$, que toma un valor entre 0 y 1, permite la descripción de diferentes formas espectrales. Cuando${\displaystyle \alpha =0}$, el modelo de Cole-Cole se reduce al modelo de Debye . Cuando${\displaystyle \alpha >0}$, la relajación se extiende . Es decir, se extiende sobre un rango más amplio en una escala logarítmica.${\displaystyle \omega }$escala que la relajación de Debye.

La separación de la constante dieléctrica compleja${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$En el artículo original de Kenneth Stewart Cole y Robert Hugh Cole ^{[ 1 ]} se informó lo siguiente:

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }){\frac {1+(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {(\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty })(\omega \tau )^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau )^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau )^{2(1-\alpha )}}}}$

Al introducir funciones hiperbólicas , las expresiones anteriores se reducen a:

${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{\infty }+{\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty })\left[1-{\frac {\sinh((1-\alpha )x)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}\right]}$

${\displaystyle \varepsilon ''={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}-\varepsilon _{\infty }){\frac {\cos(\alpha \pi /2)}{\cosh((1-\alpha )x)+\sin(\alpha \pi /2)}}}$

Aquí${\displaystyle x=\ln(\omega \tau )}$.

Estas ecuaciones se reducen a la expresión de Debye cuando${\displaystyle \alpha =0}$.

La respuesta de corriente en el dominio del tiempo de la ecuación de Cole-Cole corresponde a la ley de Curie-von Schweidler y la respuesta de carga corresponde a la función exponencial estirada o a la función de Kohlrausch-Williams-Watts (KWW), para argumentos de tiempo pequeños. ^{[ 2 ]}

La relajación de Cole-Cole constituye un caso especial de relajación de Havriliak-Negami cuando el parámetro de simetría${\displaystyle \beta =1}$, es decir, cuando los picos de relajación son simétricos. Otro caso especial de relajación de Havriliak-Negami donde${\displaystyle \beta <1}$y${\displaystyle \alpha =1}$Se conoce como relajación de Cole-Davidson . Para una revisión abreviada y actualizada de la relajación dieléctrica anómala en sistemas desordenados, véase Kalmykov.

• Relajación Debye
• Relajación Cole-Davidson
• Relajación de Havriliak-Negami
• Ley de Curie-von Schweidler

• Cole, Kenneth Stewart ; Cole, Robert Hugh (1942). "Dispersión y absorción en dieléctricos II. Características de la corriente continua". Journal of Chemical Physics . 10 (2): 98– 105. Bibcode : 1942JChPh..10...98C . doi : 10.1063/1.1723677 .
• Kalmykov, YP; Coffey, WT; Crothers, DSF; Titov, SV (2004). "Modelos microscópicos para la relajación dieléctrica en sistemas desordenados". Physical Review E . 70 (4) 041103. Bibcode : 2004PhRvE..70d1103K . doi : 10.1103/PhysRevE.70.041103 . PMID 15600393 .