Conjunto escaso

En el campo matemático de la topología general , un conjunto de primera categoría ( también llamado conjunto de categoría 1 ) es un subconjunto de un espacio topológico que es una unión numerable de subconjuntos cuyos cierres tienen interior vacío . Por lo tanto, los conjuntos de categoría 1 son, en cierto sentido, "pequeños", al ser uniones pequeñas de subconjuntos pequeños.

Los subconjuntos escasos de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos; es decir, cualquier subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño, y la unión de una cantidad numerable de conjuntos pequeños es pequeña.

Los conjuntos de tamaño reducido desempeñan un papel importante en la formulación de la noción de espacio de Baire y del teorema de la categoría de Baire , que se utiliza en la demostración de varios resultados fundamentales del análisis funcional .

A lo largo de,${\displaystyle X}$será un espacio topológico .

La definición de conjunto escaso utiliza la noción de un subconjunto denso en ninguna parte .${\displaystyle X,}$es decir, un subconjunto de${\displaystyle X}$cuyo cierre tiene interior vacío . Consulte el artículo correspondiente para obtener más detalles.

Un subconjunto de${\displaystyle X}$se llamaescaso en${\displaystyle X,}$aescaso subconjunto de${\displaystyle X,}$o de laprimera categoría en${\displaystyle X}$si es una unión numerable de subconjuntos no densos en ninguna parte de${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]} De lo contrario, el subconjunto se llamano escaso en${\displaystyle X,}$asubconjunto no escaso de${\displaystyle X,}$o de lasegunda categoría en${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} El calificador "en${\displaystyle X}$" puede omitirse si el espacio ambiente es fijo y se entiende a partir del contexto.

Un espacio topológico se llamaescaso (respectivamente,nonmeagre ) si es un subconjunto escaso (respectivamente, no escaso) de sí mismo.

Un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$se llamacomeagre en${\displaystyle X,}$oresidual en${\displaystyle X,}$si su complemento${\displaystyle X\setminus A}$es escaso en${\displaystyle X}$. (Este uso del prefijo "co" es consistente con su uso en otros términos como " cofinito ".) Un subconjunto es comeagre en${\displaystyle X}$si y solo si es igual a una intersección numerable de conjuntos, cada uno de cuyos interiores es denso en${\displaystyle X.}$

Observaciones sobre la terminología

No deben confundirse las nociones de nonmeagre y comeagre. Si el espacio${\displaystyle X}$es escaso, cada subconjunto es escaso y comeagre, y no hay conjuntos no escasos. Si el espacio${\displaystyle X}$ningún conjunto es a la vez meagre y comeagre, todo conjunto comeagre es nonmeagre, y puede haber conjuntos nonmeagre que no sean comeagre, es decir, con complemento nonmeagre. Véase la sección Ejemplos a continuación.

Como punto adicional de terminología, si un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$se le da la topología de subespacio inducida por${\displaystyle X}$, se puede hablar de que es un espacio reducido, es decir, un subconjunto reducido de sí mismo (cuando se considera como un espacio topológico por derecho propio). En este caso${\displaystyle A}$También se le puede llamar un subespacio escaso de${\displaystyle X}$, lo que significa un espacio escaso dada la topología del subespacio. Es importante destacar que esto no es lo mismo que ser escaso en todo el espacio.${\displaystyle X}$(Véanse las secciones Propiedades y Ejemplos a continuación para conocer la relación entre ambos). De manera similar, un subespacio no mezquino será un conjunto que es no mezquino en sí mismo, lo cual no es lo mismo que ser no mezquino en todo el espacio. Sin embargo, tenga en cuenta que en el contexto de los espacios vectoriales topológicos, algunos autores pueden usar la frase "subespacio mezquino/no mezquino" para referirse a un subespacio vectorial que es un conjunto mezquino/no mezquino en relación con todo el espacio. ^{[ 2 ]}

Los términos primera categoría y segunda categoría fueron los originales utilizados por René Baire en su tesis de 1899. ^{[ 3 ]} La terminología escueta fue introducida por Bourbaki en 1948. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El conjunto vacío es siempre un subconjunto cerrado, denso en ninguna parte (y por lo tanto escaso), de todo espacio topológico.

En el espacio no escaso${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$el conjunto${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$es escaso. El conjunto${\displaystyle [0,1]}$es no escaso y comeagre.

En el espacio no escaso${\displaystyle X=[0,2]}$el conjunto${\displaystyle [0,1]}$no es mezquino. Pero no es comeagre, como su complemento.${\displaystyle (1,2]}$tampoco es escaso.

Un espacio T ₁ numerable sin punto aislado es escaso. Por lo tanto, también es escaso en cualquier espacio que lo contenga como subespacio. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Q} }$es a la vez un subespacio escaso de${\displaystyle \mathbb {R} }$(es decir, escaso en sí mismo con la topología del subespacio inducida por${\displaystyle \mathbb {R} }$) y un escaso subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El conjunto de Cantor no es denso en ningún lugar${\displaystyle \mathbb {R} }$y por lo tanto escaso en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Pero no es insignificante en sí mismo, ya que es un espacio métrico completo .

El conjunto${\displaystyle ([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}}$no es denso en ninguna parte${\displaystyle \mathbb {R} }$, pero es escaso en${\displaystyle \mathbb {R} }$. No es escaso en sí mismo (ya que como subespacio contiene un punto aislado).

La línea${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$es escaso en el avión${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Pero es un subespacio no escaso, es decir, no es escaso en sí mismo.

El conjunto${\displaystyle S=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})}$es un subconjunto escaso de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$aunque su escaso subconjunto${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$es un subespacio no pequeño (es decir,${\displaystyle \mathbb {R} }$no es un espacio topológico pobre). ^{[ 6 ]} Un espacio de Hausdorff numerable sin puntos aislados es pobre, mientras que cualquier espacio topológico que contiene un punto aislado no es pobre. ^{[ 6 ]} Debido a que los números racionales son numerables, son pobres como subconjunto de los reales y como espacio; es decir, no forman un espacio de Baire .

Cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado es no meagre ^{[ 6 ]} (porque ningún conjunto que contenga el punto aislado puede ser denso en ninguna parte). En particular, todo espacio discreto no vacío es no meagre.

Hay un subconjunto${\displaystyle H}$de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$que divide cada conjunto abierto no vacío en dos conjuntos no escasos. Es decir, para cada conjunto abierto no vacío${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$, los conjuntos${\displaystyle U\cap H}$y${\displaystyle U\setminus H}$ambos son generosos.

En el espacio${\displaystyle C([0,1])}$de funciones continuas de valor real en${\displaystyle [0,1]}$con la topología de convergencia uniforme , el conjunto${\displaystyle A}$de funciones continuas de valor real en${\displaystyle [0,1]}$que tienen una derivada en algún punto es escaso. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Dado que${\displaystyle C([0,1])}$es un espacio métrico completo, no es menguante. Por lo tanto, el complemento de${\displaystyle A}$, que consiste en las funciones continuas de valor real no diferenciables en ningún punto${\displaystyle [0,1],}$es comeagre y nonmeagre. En particular, ese conjunto no es vacío. Esta es una forma de demostrar la existencia de funciones continuas no diferenciables en ningún punto.

En un espacio de Banach de dimensión infinita, existe un funcional lineal discontinuo cuyo núcleo es no meagre. ^{[ 9 ]} Además, bajo el axioma de Martin , en cada espacio de Banach separable, existe un funcional lineal discontinuo cuyo núcleo es meagre (esta afirmación refuta la conjetura de Wilansky-Klee ^{[ 10 ]} ). ^{[ 9 ]}

Todo espacio de Baire no vacío es no mezquino. Según el teorema de la categoría de Baire , esto se aplica tanto a los espacios métricos (pseudo) completos no vacíos como a los espacios de Hausdorff localmente compactos . Sin embargo, existen espacios no mezquinos que no son espacios de Baire. ^{[ 6 ]}

Todo subconjunto denso en ninguna parte es un conjunto escaso. ^{[ 11 ]} En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$cuyo interior en${\displaystyle X}$está vacío es de la primera categoría en${\displaystyle X}$(es decir, es un subconjunto insignificante de${\displaystyle X}$).

Todos los subconjuntos y todas las uniones numerables de conjuntos pequeños son pequeños. Por lo tanto, los subconjuntos pequeños de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos, una noción adecuada de conjunto insignificante . De manera dual, todos los superconjuntos y todas las intersecciones numerables de conjuntos iguales son iguales. Todo superconjunto de un conjunto no pequeño es no pequeño.

ElEl teorema de la categoría de Banach ^{[ 12 ]} establece que en cualquier espacio${\displaystyle X,}$La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos de primera categoría es de primera categoría.

Suponer${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$dónde${\displaystyle Y}$tiene la topología del subespacio inducida por${\displaystyle X.}$ El conjunto${\displaystyle A}$puede ser escaso en${\displaystyle X}$sin ser escaso en${\displaystyle Y.}$ Sin embargo, se mantienen los siguientes resultados: ^{[ 5 ]}

• Si${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle Y}$está abierto en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle Y}$es denso en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$es escaso en${\displaystyle X.}$

Y, de forma análoga, para conjuntos no escasos:

• Si${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle Y.}$
• Si${\displaystyle Y}$está abierto en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle Y}$es denso en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle A}$es no escaso en${\displaystyle X.}$

En particular, cada subconjunto de${\displaystyle X}$que es escaso en sí mismo es escaso en${\displaystyle X.}$ Cada subconjunto de${\displaystyle X}$que no es escaso en${\displaystyle X}$no es escaso en sí mismo. Y para un conjunto abierto o un conjunto denso en${\displaystyle X,}$siendo escaso en${\displaystyle X}$es equivalente a ser escaso en sí mismo, y de manera similar para la propiedad de no ser escaso.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$es no mezquino si y solo si toda intersección contable de conjuntos abiertos densos en${\displaystyle X}$no está vacío. ^{[ 13 ]}

Cada subconjunto denso de ninguna parte${\displaystyle X}$es escaso. En consecuencia, cualquier subconjunto cerrado con interior vacío es escaso. Por lo tanto, un subconjunto cerrado de${\displaystyle X}$que es de la segunda categoría en${\displaystyle X}$debe tener interior no vacío en${\displaystyle X}$^{[ 14 ]} (porque de lo contrario no sería denso en ninguna parte y, por lo tanto, de la primera categoría).

Si${\displaystyle B\subsetequ X}$es de la segunda categoría en${\displaystyle X}$y si${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$son subconjuntos de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle B\subseteq S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots }$entonces al menos uno${\displaystyle S_{n}}$es de la segunda categoría en${\displaystyle X.}$

Los conjuntos escasos tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego de Banach-Mazur . Sea${\displaystyle Y}$sea ​​un espacio topológico,${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ser una familia de subconjuntos de${\displaystyle Y}$que tienen interiores no vacíos de tal manera que cada conjunto abierto no vacío tiene un subconjunto que pertenece a${\displaystyle {\mathcal {W}},}$y${\displaystyle X}$ser cualquier subconjunto de${\displaystyle Y.}$ Luego está el juego Banach-Mazur.${\displaystyle MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).}$ En el juego Banach-Mazur, dos jugadores,${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q,}$alternativamente elegir sucesivamente elementos más pequeños de${\displaystyle {\mathcal {W}}}$para producir una secuencia${\displaystyle W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots.}$ Jugador${\displaystyle P}$gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en${\displaystyle X}$; de lo contrario, el jugador${\displaystyle Q}$victorias.

Muchos argumentos sobre conjuntos de medida reducida también se aplican a conjuntos nulos , es decir, conjuntos de medida de Lebesgue 0. El teorema de dualidad de Erdos-Sierpinski establece que si se cumple la hipótesis del continuo , existe una involución de los reales a los reales donde la imagen de un conjunto nulo de reales es un conjunto de medida reducida, y viceversa. ^{[ 16 ]} De hecho, la imagen de un conjunto de reales bajo la aplicación es nula si y solo si el conjunto original era de medida reducida, y viceversa. ^{[ 17 ]}

• Espacio de barril – Tipo de espacio vectorial topológico 
• Propiedad genérica : posesión de la propiedad para ejemplos típicos , para análogos a residuos 
• Conjunto insignificante : conjunto matemático considerado insignificante , para análogos a escaso 
• Propiedad de Baire : Diferencia de un conjunto abierto por un conjunto pequeño. 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . vol.  4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4OCLC 246032063​​ 
• Oxtoby, John C. (1980). «El teorema de la categoría de Banach» . Medida y categoría (segunda  edición). Nueva York: Springer. págs. 62-65 . ISBN  0-387-90508-1.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​