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Articulo de referencia

Teorema de Commandino

Medianas de un tetraedro que se intersecan en un punto S {\displaystyle S} (su centroide), de tal manera que | A S | | S S B do D | = | B S | | S S A do D | = | do S | | S S A B...

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Medianas de un tetraedro que se intersecan en un puntoS{\displaystyle S}(su centroide), de tal manera que|AS||SSBdoD|=|BS||SSAdoD|=|doS||SSABD|=|DS||SSABdo|=31{\displaystyle {\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}}

El teorema de Commandino , que recibe su nombre de Federico Commandino (1509-1575), establece que las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes en un punto S , que las divide en una proporción de 3:1. En un tetraedro, una mediana es un segmento de recta que conecta un vértice con el centroide de la cara opuesta , es decir, el centroide del triángulo opuesto. El punto S es también el centroide del tetraedro. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

Historia

El teorema se atribuye a Commandino, quien afirmó, en su obra De Centro Gravitatis Solidorum (El centro de gravedad de los sólidos, 1565), que las cuatro medianas del tetraedro son concurrentes. Sin embargo, según el erudito del siglo XIX Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) afirmó haber hallado el resultado con anterioridad. Libri, no obstante, creía que Leonardo da Vinci ya lo conocía , y que aparentemente lo utilizó en su obra. Julian Coolidge compartió esta valoración, pero señaló que no encontró ninguna descripción explícita ni tratamiento matemático del teorema en las obras de Da Vinci. [ 4 ] Otros estudiosos han especulado que el resultado podría haber sido conocido ya por los matemáticos griegos durante la Antigüedad. [ 5 ]

Generalizaciones

El teorema de Commandino tiene un análogo directo para símplexes de cualquier dimensión : [ 6 ]

DejarΔ{\displaystyle \Delta }ser und{\displaystyle d}-símplex de alguna dimensiónd>1{\displaystyle d>1}enRnorte(d,norte∈norte,norte≥d){\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}y dejarV0,V1,…,Vpag{\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots,V_{p}}sean sus vértices. Además, seaℓ0,ℓ1,…,ℓd{\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}, sean las medianas deΔ{\displaystyle \Delta }, las líneas que unen cada vérticeVi{\displaystyle V_{i}}con el centroide del opuesto(d−1){\displaystyle (d-1)}faceta dimensionalV0…Vi−1Vi+1…Vd{\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}. Entonces, estas líneas se cruzan en un puntoS{\displaystyle S}, en una proporción ded:1{\displaystyle d:1}.

Generalidad completa

El análogo anterior es fácil de demostrar mediante el siguiente resultado más general, que es análogo a la forma en que funcionan las palancas en física: [ 7 ]

Dejarmetro{\displaystyle m}yk{\displaystyle k}sean números naturales , de modo que en unR{\displaystyle \mathbb {R} }- espacio vectorialV{\displaystyle {\mathcal {V}}},metro+k{\displaystyle m+k}puntos diferentes por paresincógnita1,…,incógnitametro,Y1,…,Yk∈V{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}se dan.
DejarSincógnita{\displaystyle S_{X}}sea ​​el centroide de los puntosincógnitai(i=1,…,metro){\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}, dejarSY{\displaystyle S_{Y}}sea ​​el centroide de los puntosYj(j=1,…,k){\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots,k)}y dejarS{\displaystyle S}ser el centroide de todos estosmetro+k{\displaystyle m+k}agujas.
Entonces, uno tiene
S=Sincógnita+kmetro+k(SY−Sincógnita)=metrometro+kSincógnita+kmetro+kSY.{\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.}
En particular, el centroideS{\displaystyle S}yace en la líneaSincógnitaSY¯{\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}y lo divide en una proporción dek:metro{\displaystyle k:m}.

Teorema de Reusch

El teorema anterior tiene otras consecuencias interesantes además de la generalización del teorema de Commandino ya mencionada. Puede utilizarse para demostrar el siguiente teorema sobre el centroide de un tetraedro, descrito por primera vez en los Mathematische Unterhaltungen por el físico alemán Friedrich Eduard Reusch : [ 8 ] [ 9 ]

El centroide de un tetraedro se puede hallar calculando los puntos medios de dos pares de aristas opuestas y uniendo dichos puntos medios mediante sus respectivas líneas medias. El punto de intersección de ambas líneas medias será el centroide del tetraedro.

Dado que un tetraedro tiene seis aristas en tres pares opuestos, se obtiene el siguiente corolario: [ 8 ]

En un tetraedro, las tres líneas medias que corresponden a los puntos medios de los bordes opuestos son concurrentes , y su punto de intersección es el centroide del tetraedro.

Teorema de Varignon

Un caso específico del teorema de Reusch donde los cuatro vértices de un tetraedro son coplanares y se encuentran en un solo plano, degenerando así en un cuadrilátero , el teorema de Varignon, que lleva el nombre de Pierre Varignon , establece lo siguiente: [ 10 ] [ 11 ]

Sea un cuadrilátero enR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}Se da un valor. Entonces, las dos líneas medias que conectan los puntos medios de los bordes opuestos se intersecan en el centroide del cuadrilátero y este lo divide por la mitad.

Referencias

  1. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Una odisea espacial matemática: Geometría sólida en el siglo XXI . The Mathematical Association of America, 2015, ISBN 9780883853580págs. 97–98
  2. ↑ Nathan Altshiller-Court: El tetraedro y su paralelepípedo circunscrito . The Mathematics Teacher, vol. 26, n.º 1 (enero de 1933), págs. 46-52 ( JSTOR )
  3. ↑ Norman Schaumberger: Teorema de Commandino . The Two-Year College Mathematics Journal, vol. 13, n.º 5 (noviembre de 1982), pág. 331 ( JSTOR )
  4. ↑ Nathan Altshiller Court: Notas sobre el centroide . The Mathematics Teacher, vol. 53, n.º 1 (enero de 1960), págs. 34 ( JSTOR )
  5. ↑ Howard Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . MAA, 1983, ISBN 9780883853108pág. 225
  6. ↑ Egbert Harzheim (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (en alemán). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. pag. 33.ISBN​  3-534-07016-X.
  7. ^ Egbert Harzheim (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (en alemán), Darmstadt, p. 31, ISBN  3-534-07016-X{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  8. ^ Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Ed.): Mathematische Unterhaltungen. Peso Zweites. 1973, págs. 100, 128
  9. ↑ In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
  10. ↑ Coxeter, op. cit., pág. 242
  11. ↑ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, pág. 652