Red común

En geometría , una red común es aquella que se puede plegar sobre varios poliedros . Para que una red común sea válida, no debe tener caras que no se superpongan, y los poliedros resultantes deben estar conectados por caras. Ejemplos de estas redes se remontan a finales del siglo XX; sin embargo, no se han encontrado muchos. Dos clases, no obstante, han sido objeto de un estudio exhaustivo: los poliedros regulares y los cuboides. La búsqueda de redes comunes se realiza generalmente mediante una búsqueda exhaustiva o mediante la superposición de redes que recubren el plano.

Demaine et al. (2013) demostraron que todo poliedro convexo puede desplegarse y replegarse en un poliedro convexo diferente. ^{[ 1 ]}

Existen dos tipos de redes comunes: despliegues estrictos de aristas y despliegues libres. Los despliegues estrictos de aristas se refieren a redes comunes donde los diferentes poliedros que se pueden plegar utilizan los mismos pliegues: para plegar un poliedro a partir de la red de otro, no es necesario crear nuevos pliegues. Los despliegues libres se refieren al caso opuesto, donde podemos crear tantos pliegues como sean necesarios para permitir el plegado de diferentes poliedros.

La multiplicidad de redes comunes se refiere al número de redes comunes para el mismo conjunto de poliedros.

poliedros regulares

El problema abierto 25.31 del libro "Algoritmo de plegado geométrico" de Rourke y Demaine dice lo siguiente:

¿Se puede cortar cualquier sólido platónico y desplegarlo en un polígono que, a su vez, pueda plegarse en otro sólido platónico? Por ejemplo, ¿se puede diseccionar un cubo para obtener un tetraedro? ^{[ 2 ]}

Este problema ha sido resuelto parcialmente por Shirakawa et al. con una red fractal que, según se conjetura, se pliega en un tetraedro y un cubo.

Poliedros no regulares

Cuboides

Las redes comunes de cuboides han sido objeto de una profunda investigación, principalmente por parte de Uehara y colaboradores. Hasta el momento, se han encontrado redes comunes de hasta tres cuboides. Sin embargo, se ha demostrado que existen infinitos ejemplos de redes que pueden plegarse en más de un poliedro. ^{[ 9 ]}

*Plegamientos no ortogonales

Policubos

Los primeros casos de redes comunes de policubos hallados fueron el trabajo de George Miller, con una contribución posterior de Donald Knuth , que culminó en el rompecabezas Cubigami. ^{[ 14 ]} Está compuesto por una red que puede plegarse en los 7 tetracubos arbóreos. Se encontraron todas las redes comunes posibles hasta los pentacubos. Todas las redes siguen un plegado ortogonal estricto a pesar de seguir considerándose despliegues libres.

Deltaedros

Politopo simplicial 3D

Referencias

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