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Articulo de referencia

Patrón espacial común

Se utilizan dos conjuntos de datos superpuestos para ilustrar cómo CSP puede separar los datos. Dos conjuntos de datos después de la rotación mediante CSP para maximizar la rela...

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Se utilizan dos conjuntos de datos superpuestos para ilustrar cómo CSP puede separar los datos.
Dos conjuntos de datos después de la rotación mediante CSP para maximizar la relación de las varianzas a lo largo de los dos ejes.

El patrón espacial común ( CSP ) es un procedimiento matemático utilizado en el procesamiento de señales para separar una señal multivariada en subcomponentes aditivos que tienen diferencias máximas en la varianza entre dos ventanas . [ 1 ]

Detalles

Dejarincógnita1{\displaystyle \mathbf {X} _{1}}de tamaño(norte,t1){\displaystyle (n,t_{1})}yincógnita2{\displaystyle \mathbf {X} _{2}}de tamaño(norte,t2){\displaystyle (n,t_{2})}sean dos ventanas de una señal multivariada , dondenorte{\displaystyle n}es el número de señales yt1{\displaystyle t_{1}}yt2{\displaystyle t_{2}}son el número respectivo de muestras.

El algoritmo CSP determina el componentewT{\displaystyle \mathbf {w} ^{\text{T}}}de tal manera que se maximice la razón de varianza (o momento de segundo orden ) entre las dos ventanas:

w=arg⁡máximow‖wincógnita1‖2‖wincógnita2‖2{\displaystyle \mathbf {w} ={\arg \max }_{\mathbf {w} }{\frac {\left\|\mathbf {wX} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {wX} _{2}\right\|^{2}}}}

La solución se obtiene calculando las dos matrices de covarianza :

R1=incógnita1incógnita1Tt1{\displaystyle \mathbf {R} _{1}={\frac {\mathbf {X} _{1}\mathbf {X} _{1}^{\text{T}}}{t_{1}}}}
R2=incógnita2incógnita2Tt2{\displaystyle \mathbf {R} _{2}={\frac {\mathbf {X} _{2}\mathbf {X} _{2}^{\text{T}}}{t_{2}}}}

Luego, se realiza la diagonalización simultánea de esas dos matrices (también llamada descomposición generalizada de valores propios ). Encontramos la matriz de vectores propios .PAG=[pag1⋯pagnorte]{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}}y la matriz diagonalD{\displaystyle \mathbf {D} }de valores propios{λ1,⋯,λnorte}{\displaystyle \{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\}}ordenados en orden descendente de tal manera que:

PAGTR1PAG=D{\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{1}\mathbf {P} =\mathbf {D} }

y

PAGTR2PAG=Inorte{\displaystyle \mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {R} _{2}\mathbf {P} =\mathbf {I} _{n}}

conInorte{\displaystyle \mathbf {I} _ {n}}la matriz identidad .

Esto es equivalente a la descomposición en valores propios deR2−1R1{\displaystyle \mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}}:

R2−1R1=PAGDPAG−1{\displaystyle \mathbf {R} _{2}^{-1}\mathbf {R} _{1}=\mathbf {PDP} ^{-1}}
wT{\displaystyle \mathbf {w} ^{\text{T}}}corresponderá a la primera columna dePAG{\displaystyle \mathbf {P} }:
w=pag1T{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {p} _{1}^{\text{T}}}

Discusión

Relación entre la razón de varianza y el valor propio

Los autovectores que componenPAG{\displaystyle \mathbf {P} }son componentes con una razón de varianza entre las dos ventanas igual a su valor propio correspondiente:

λi=‖pagiTincógnita1‖2‖pagiTincógnita2‖2{\displaystyle \mathbf {\lambda } _{i}={\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{2}\right\|^{2}}}}

Otros componentes

El subespacio vectorialmii{\displaystyle E_{i}}generado por eli{\displaystyle i}primeros autovectores[pag1⋯pagi]{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{i}\end{bmatrix}}}será el subespacio que maximice la razón de varianza de todos los componentes que le pertenecen:

mii=arg⁡máximomi(minpag∈mi‖pagTincógnita1‖2‖pagTincógnita2‖2){\displaystyle E_{i}={\arg \max }_{E}{\begin{pmatrix}\min _{p\in E}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}

De la misma manera, el subespacio vectorialFj{\displaystyle F_{j}}generado por elj{\displaystyle j}últimos autovectores[pagnorte−j+1⋯pagnorte]{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{n-j+1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}}será el subespacio que minimice la razón de varianza de todos los componentes que le pertenecen:

Fj=arg⁡minF(máximopag∈F‖pagTincógnita1‖2‖pagTincógnita2‖2){\displaystyle F_{j}={\arg \min }_{F}{\begin{pmatrix}\max _{p\in F}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}

Varianza o momento de segundo orden

El CSP se puede aplicar después de restar la media (también conocido como "centrado de la media") a las señales para optimizar la relación de varianza. De lo contrario, el CSP optimiza la relación del momento de segundo orden.

Elección de ventanas X 1 y X 2

  • El uso estándar consiste en elegir las ventanas de tiempo para que correspondan a dos períodos con diferente activación de las fuentes (por ejemplo, durante el descanso y durante una tarea específica).
  • También es posible elegir las dos ventanas para que correspondan a dos bandas de frecuencia diferentes con el fin de encontrar componentes con un patrón de frecuencia específico. [ 2 ] Estas bandas de frecuencia pueden ser temporales o frecuenciales. Dado que la matrizPAG{\displaystyle \mathbf {P} }Depende únicamente de las matrices de covarianza; se pueden obtener los mismos resultados si el procesamiento se aplica a la transformada de Fourier de las señales.
  • Y. Wang [ 3 ] ha propuesto una elección particular para la primera ventana. incógnita1{\displaystyle \mathbf {X} _{1}}para extraer componentes que tengan un período específico.incógnita1{\displaystyle \mathbf {X} _{1}}fue la media de los diferentes períodos para las señales examinadas.
  • Si solo hay una ventana,R2{\displaystyle \mathbf {R} _{2}}puede considerarse como la matriz identidad y entonces CSP corresponde al análisis de componentes principales .

Relación entre LDA y CSP

El análisis discriminante lineal (LDA) y el CSP se aplican en circunstancias diferentes. El LDA separa datos con medias distintas mediante una rotación que maximiza la distancia (normalizada) entre los centros de ambos conjuntos de datos. Por otro lado, el CSP ignora las medias. Por lo tanto, el CSP es útil, por ejemplo, para separar la señal del ruido en un experimento de potencial evocado (ERP), ya que ambas distribuciones tienen media cero y el LDA no puede distinguirlas. Así, el CSP encuentra una proyección que maximiza la varianza de los componentes del ERP promedio, de modo que la señal destaque sobre el ruido.

Aplicaciones

El método CSP se puede aplicar a señales multivariadas en general, y se encuentra comúnmente en aplicaciones a señales electroencefalográficas (EEG) . En particular, el método se usa a menudo en interfaces cerebro-computadora para recuperar las señales componentes que mejor transducen la actividad cerebral para una tarea específica (por ejemplo, movimiento de la mano). [ 4 ] También se puede usar para separar artefactos de las señales EEG. [ 2 ]

CSP puede adaptarse para el análisis de los potenciales relacionados con eventos . [ 5 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Zoltan J. Koles, Michael S. Lazaret y Steven Z. Zhou, "Patrones espaciales subyacentes a las diferencias poblacionales en el EEG de fondo" , Topografía cerebral, vol. 2 (4), págs. 275-284, 1990
  2. ^ S. Boudet, "Filtrage d'artefacts par analyse multicomposantes de l'électroencephalogramme depatients épileptiques". , Doctorado. Tesis: Unviversité de Lille 1, 07/2008
  3. ↑ Y. Wang, "Reducción de artefactos cardíacos en magnetoencefalograma". Actas de la 12.ª Conferencia Internacional sobre Biomagnetismo, 2000.
  4. ↑ G. Pfurtscheller, C. Guger y H. Ramoser "Interfaz cerebro-computadora basada en EEG que utiliza filtros espaciales específicos del sujeto" , Aplicaciones de ingeniería de redes neuronales artificiales bioinspiradas, Lecture Notes in Computer Science, 1999, Vol. 1607/1999, pp. 248-254
  5. ↑ M. Congedo, L. Korczowski, A. Delorme y F. Lopes da Silva, "Patrón común espacio-temporal: un método complementario para el análisis de ERP en el dominio del tiempo" , Journal of Neuroscience Methods, vol. 267, págs. 74-88, 2016