Matriz comunitaria

En biología matemática , la matriz comunitaria es la linealización de una ecuación de Lotka-Volterra generalizada en un punto de equilibrio . ^[1] Los valores propios de la matriz comunitaria determinan la estabilidad del punto de equilibrio.

Por ejemplo, el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra es

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&x(\alpha -\beta y)\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&-y(\gamma -\delta x),\end{array}}}$

donde x ( t ) denota el número de presas, y ( t ) el número de depredadores, y α , β , γ y δ son constantes. Por el teorema de Hartman-Grobman el sistema no lineal es topológicamente equivalente a una linealización del sistema alrededor de un punto de equilibrio ( x *, y *), que tiene la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},}$

donde u = x − x * y v = y − y *. En biología matemática, la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio ( x *, y *) se llama matriz de comunidad. ^[2] Por el teorema de variedad estable , si uno o ambos valores propios de tienen parte real positiva, entonces el equilibrio es inestable, pero si todos los valores propios tienen parte real negativa, entonces es estable. ${\displaystyle \mathbf {A}}$${\displaystyle \mathbf {A}}$

• Paradoja del enriquecimiento

• Murray, James D. (2002), Biología matemática I. Introducción , Matemáticas aplicadas interdisciplinarias, vol. 17 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95223-9.