Teorema de conmutación para trazas

En matemáticas , un teorema de conmutación para trazas identifica explícitamente el conmutador de un álgebra de von Neumann específica que actúa sobre un espacio de Hilbert en presencia de una traza .

El primer resultado de este tipo fue demostrado por Francis Joseph Murray y John von Neumann en la década de 1930 y se aplica al álgebra de von Neumann generada por un grupo discreto o por el sistema dinámico asociado con una transformación medible que preserva una medida de probabilidad .

Otra aplicación importante se encuentra en la teoría de representaciones unitarias de grupos localmente compactos unimodulares , donde la teoría se ha aplicado a la representación regular y otras representaciones estrechamente relacionadas. En particular, este marco condujo a una versión abstracta del teorema de Plancherel para grupos localmente compactos unimodulares, debido a Irving Segal y Forrest Stinespring , y a un teorema de Plancherel abstracto para funciones esféricas asociadas a un par de Gelfand, debido a Roger Godement . Su trabajo fue desarrollado de forma definitiva en la década de 1950 por Jacques Dixmier como parte de la teoría de álgebras de Hilbert .

No fue hasta finales de la década de 1960, impulsado en parte por los resultados de la teoría cuántica de campos algebraica y la mecánica estadística cuántica de la escuela de Rudolf Haag , que se desarrolló la teoría no traza de Tomita-Takesaki, más general , anunciando una nueva era en la teoría de las álgebras de von Neumann.

Teorema de conmutación para trazas finitas

Sea H un espacio de Hilbert y M un álgebra de von Neumann sobre H con un vector unitario Ω tal que

M Ω es denso en H
M'Ω es denso en H , donde M ' denota el conmutador de M.
( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) para todo a , b en M .

El vector Ω se denomina vector traza cíclico-separador . Se le llama vector traza porque la última condición implica que el coeficiente de la matriz correspondiente a Ω define un estado traza en M. Se le llama cíclico porque Ω genera H como un M -módulo topológico. Se le llama separador porque si a Ω = 0 para a en M , entonces aM' Ω = (0), y por lo tanto a = 0.

De ello se deduce que el mapa

Ja\Omega =a^{*}\Omega

para a en M define una isometría lineal conjugada de H con el cuadrado de la identidad, J ² = I . El operador J se denomina habitualmente operador de conjugación modular .

Se verifica inmediatamente que JMJ y M conmutan en el subespacio M Ω, de modo que ^{[ 1 ]}

JMJ\subseteq M^{\prime }.

El teorema de conmutación de Murray y von Neumann establece que

Una de las formas más sencillas de ver esto ^{[ 2 ]} es introducir K , la clausura del subespacio real M _sa Ω, donde M _sa denota los elementos autoadjuntos en M . De ello se deduce que

H=K\oplus iK,

una suma directa ortogonal para la parte real del producto interno. Esta es simplemente la descomposición ortogonal real para los autoespacios ±1 de J. Por otro lado, para a en M _sa y b en M' _sa , el producto interno ( ab Ω, Ω) es real, porque ab es autoadjunto. Por lo tanto, K no se altera si M se reemplaza por M '.

En particular, Ω es un vector traza para M' y J no se altera si M se reemplaza por M '. Por lo tanto, la inclusión opuesta

JM^{\prime }J\subseteq M

a continuación se invierten los roles de M y M' .

Ejemplos

Uno de los casos más sencillos del teorema de conmutación, donde se puede ver fácilmente de forma directa, es el de un grupo finito Γ que actúa sobre el espacio de producto interno de dimensión finita. $\ell ^{2}(\Gamma )$ mediante las representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ. Estas representaciones unitarias vienen dadas por las fórmulas $(\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)$ para f en $\ell ^{2}(\Gamma )$ y el teorema de conmutación implica que $\lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda (\Gamma )^{\prime }.$ El operador J viene dado por la fórmula $Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.$ Los mismos resultados siguen siendo válidos si se permite que Γ sea cualquier grupo discreto numerable . ^[³^] El álgebra de von Neumann λ(Γ)' ' se denomina habitualmente álgebra de von Neumann de grupo de Γ.
Otro ejemplo importante lo proporciona un espacio de probabilidad ( X , μ). El álgebra de von Neumann abeliana A = L ^∞ ( X , μ) actúa mediante operadores de multiplicación sobre H = L ² ( X , μ) y la función constante 1 es un vector traza de separación cíclica. De ello se deduce que $A'=A,$ de modo que A es una subálgebra abeliana maximal de B ( H ), el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en H .
La tercera clase de ejemplos combina las dos anteriores. Proveniente de la teoría ergódica , fue una de las motivaciones originales de von Neumann para estudiar las álgebras de von Neumann. Sea ( X , μ) un espacio de probabilidad y sea Γ un grupo discreto numerable de transformaciones que preservan la medida de ( ^X, μ). Por lo tanto, el grupo actúa unitariamente sobre el espacio de Hilbert H = L² ( X , μ) según la fórmula $U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),$ para f en H y normaliza el álgebra de von Neumann abeliana A = L ^∞ ( X , μ). Sea $H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),$ un producto tensorial de espacios de Hilbert. ^{[ 4 ]} La construcción de espacio de medida de grupo o álgebra de von Neumann de producto cruzado $M=A\rtimes \Gamma$ se define como el álgebra de von Neumann en H ₁ generada por el álgebra $A\otimes I$ y los operadores normalizadores $U_{g}\otimes \lambda (g)$ . ^{[ 5 ]}
El vector $\Omega =1\otimes \delta _ {1}$ es un vector traza de separación cíclica. Además, el operador de conjugación modular J y el conmutador M ' pueden identificarse explícitamente.

Uno de los casos más importantes de la construcción del espacio de medidas de grupo es cuando Γ es el grupo de enteros Z , es decir, el caso de una única transformación medible invertible T. Aquí T debe preservar la medida de probabilidad μ. Se requieren trazas semifinitas para manejar el caso en que T (o más generalmente Γ) solo preserva una medida equivalente infinita ; y se requiere toda la fuerza de la teoría de Tomita-Takesaki cuando no hay una medida invariante en la clase de equivalencia, incluso aunque la clase de equivalencia de la medida sea preservada por T (o Γ). ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Teorema de conmutación para trazas semifinitas

Sea M un álgebra de von Neumann y M ₊ el conjunto de operadores positivos en M . Por definición, ^{[ 3 ]} una traza semifinita (o a veces simplemente traza ) en M es un funcional τ de M ₊ en [0, ∞] tal que

$\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ para a , b en M ₊ y λ, μ ≥ 0 (semilinealidad );
$\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ para a en M ₊ y u un operador unitario en M ( invariancia unitaria );
τ es completamente aditivo en familias ortogonales de proyecciones en M ( normalidad );
Cada proyección en M es como suma directa ortogonal de proyecciones con traza finita ( semifinitud ).

Si además τ es distinto de cero en cada proyección distinta de cero, entonces τ se denomina traza fiel .

Si τ es una traza fiel en M , sea H = L ² ( M , τ) la completación del espacio de Hilbert del espacio de producto interno.

M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\infty \right\}

con respecto al producto interno

(a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).

El álgebra de von Neumann M actúa mediante multiplicación por la izquierda sobre H y puede identificarse con su imagen.

Ja=a^{*}

para a en M ₀ . El operador J se denomina nuevamente operador de conjugación modular y se extiende a una isometría lineal conjugada de H que satisface J ² = I. El teorema de conmutación de Murray y von Neumann

Esto vuelve a ser válido en este caso. Este resultado puede probarse directamente mediante diversos métodos, ^{[ 3 ]}^{[ 8 ]} pero se deduce inmediatamente del resultado para trazas finitas, mediante el uso repetido del siguiente hecho elemental:

Si M ₁ ⊇ M ₂son dos álgebras de von Neumann tales que p _n M ₁ = p _n M ₂para una familia de proyecciones p _n en el conmutador de M ₁que aumenta a I en la topología de operador fuerte , entonces M ₁ = M ₂ .

álgebras de Hilbert

La teoría de las álgebras de Hilbert fue introducida por Godement (bajo el nombre de "álgebras unitarias"), Segal y Dixmier para formalizar el método clásico de definición de la traza para operadores de clase traza a partir de operadores de Hilbert-Schmidt . ^{[ 9 ]} Las aplicaciones en la teoría de la representación de grupos conducen naturalmente a ejemplos de álgebras de Hilbert. Toda álgebra de von Neumann dotada de una traza semifinita tiene un álgebra de Hilbert canónica "completa" ^{[ 10 ]} o "completa" asociada a ella; y, a la inversa, un álgebra de Hilbert completa de esta forma exacta puede asociarse canónicamente a toda álgebra de Hilbert. La teoría de las álgebras de Hilbert puede utilizarse para deducir los teoremas de conmutación de Murray y von Neumann; igualmente bien, los principales resultados sobre álgebras de Hilbert también pueden deducirse directamente de los teoremas de conmutación para trazas. La teoría de las álgebras de Hilbert fue generalizada por Takesaki ^{[ 7 ]} como una herramienta para demostrar teoremas de conmutación para pesos semifinitos en la teoría de Tomita-Takesaki ; se pueden omitir cuando se trata de estados. ^{[ 2 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Definición

Un álgebra de Hilbert ^{[ 3 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} es un álgebra ${\mathfrak {A}}$ con involución x → x * y un producto interno (,) tal que

( a , b ) = ( b *, a *) para a , b en ${\mathfrak {A}}$ ;
multiplicación izquierda por un fijo a en ${\mathfrak {A}}$ es un operador acotado;
* es el adjunto, en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x * z );
El espacio lineal generado por todos los productos xy es denso en ${\mathfrak {A}}$ .

Ejemplos

Los operadores de Hilbert-Schmidt en un espacio de Hilbert de dimensión infinita forman un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = Tr ( b * a ).
Si ( X , μ) es un espacio de medida infinito, el álgebra L ^∞ ( X ) $\cap$ L ² ( X ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno usual de L ² ( X ).
Si M es un álgebra de von Neumann con traza semifinita fiel τ, entonces la *-subálgebra M ₀ definida anteriormente es un álgebra de Hilbert con producto interno ( a , b ) = τ( b * a ).
Si G es un grupo localmente compacto unimodular , el álgebra de convolución L ¹ ( G ) $\cap$ L ² ( G ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno usual de L ² ( G ).
Si ( G , K ) es un par de Gelfand , el álgebra de convolución L ¹ ( K \ G / K ) $\cap$ L ² ( K \ G / K ) es un álgebra de Hilbert con el producto interno usual de L ² ( G ); aquí L ^p ( K \ G / K ) denota el subespacio cerrado de funciones K -biinvariantes en L ^p ( G ).
Cualquier *-subálgebra densa de un álgebra de Hilbert es también un álgebra de Hilbert.

Propiedades

Sea H la completación del espacio de Hilbert de ${\mathfrak {A}}$ con respecto al producto interno y sea J la extensión de la involución a una involución lineal conjugada de H. Definimos una representación λ y una anti-representación ρ de ${\mathfrak {A}}$ sobre sí mismo por multiplicación izquierda y derecha:

\lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.

Estas acciones se extienden continuamente a acciones sobre H. En este caso, el teorema de conmutación para álgebras de Hilbert establece que

Además, si

M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },

el álgebra de von Neumann generada por los operadores λ( a ), entonces

Estos resultados fueron demostrados independientemente por Godement (1954) y Segal (1953) .

La demostración se basa en la noción de "elementos acotados" en la completación del espacio de Hilbert H.

Se dice que un elemento de x en H está acotado (en relación con ${\mathfrak {A}}$ ) si el mapa a → xa de ${\mathfrak {A}}$ en H se extiende a un operador acotado en H , denotado por λ( x ). En este caso es sencillo demostrar que: ^{[ 15 ]}

Jx es también un elemento acotado, denotado x *, y λ( x *) = λ( x )*;
a → ax viene dado por el operador acotado ρ( x ) = J λ( x *) J en H ;
M ' se genera mediante los ρ( x ) con x acotado;
λ( x ) y ρ( y ) conmutan para x , y acotados.

El teorema de conmutación se deduce inmediatamente de la última afirmación. En particular $M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.$

El espacio de todos los elementos acotados ${\mathfrak {B}}$ forma un álgebra de Hilbert que contiene ${\mathfrak {A}}$ como una *-subálgebra densa. Se dice que está completa o llena porque cualquier elemento en H acotado en relación con ${\mathfrak {B}}$ en realidad ya debe estar en ${\mathfrak {B}}$ . El funcional τ en M ₊ definido por $\tau (x)=(a,a)$ si x = λ ( a )* λ ( a ) e ∞ en caso contrario, produce una traza semifinita fiel en M con $M_{0}={\mathfrak {B}}.$

De este modo:

Véase también

Notas

^ Bratteli y Robinson 1987 , págs. 81–82
1 2 Rieffel y van Daele 1977
1 2 3 4 Dixmier 1957
↑ H ₁ puede identificarse con el espacio de funciones de cuadrado integrable en X x Γ con respecto a la medida del producto .
↑ No debe confundirse con el álgebra de von Neumann en H generada por A y los operadores U _g .
↑ Connes 1979
1 2Takesaki 2002
^ Takesaki 1979 , págs. 324–325
↑ Simon 1979
↑ Dixmier utiliza los adjetivos achevée o maximale .
↑ Pedersen 1979
↑ Bratteli y Robinson 1987
↑ Dixmier 1977 , Apéndice A54–A61.
↑ Dieudonné 1976
↑ Godement 1954 , págs. 52–53

Referencias

Bratteli, O.; Robinson, DW (1987), Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1, segunda edición , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
Connes, A. (1979), Sur la théorie non conmutative de l'intégration , Lecture Notes in Mathematics, vol. (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, págs. 19-143 , ISBN 978-3-540-09512-5
Dieudonné, J. (1976), Tratado de análisis, vol. II , Prensa Académica, ISBN 0-12-215502-5
Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
Dixmier, J. (1981), Álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86308-7(Traducción al inglés)
Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
Dixmier, J. (1977), Álgebras C* , North Holland, ISBN 0-7204-0762-1(Traducción al inglés)
Godement, R. (1951), "Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires", J. Math. Pures Appl. , 30 : 1-110
Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. de Matemáticas. , 59 (1), Annals of Mathematics: 47– 62, doi : 10.2307/1969832 , JSTOR 1969832
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1936), "Sobre anillos de operadores", Ann. of Math. , 2, 37 (1), Annals of Mathematics: 116–229 , doi : 10.2307/1968693 , JSTOR 1968693
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1937), "Sobre anillos de operadores II", Trans. Amer. Math. Soc. , 41 (2), American Mathematical Society: 208–248 , doi : 10.2307/1989620 , JSTOR 1989620
Murray, FJ ; von Neumann, J. (1943), "Sobre anillos de operadores IV", Ann. of Math. , 2, 44 (4), Annals of Mathematics: 716–808 , doi : 10.2307/1969107 , JSTOR 1969107
Pedersen, GK (1979), Álgebras C* y sus grupos de automorfismos , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 14, Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
Rieffel, MA; van Daele, A. (1977), "Un enfoque de operador acotado para la teoría de Tomita-Takesaki", Pacific J. Math. , 69 : 187–221 , doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
Segal, IE (1953), "Una extensión no conmutativa de la integración abstracta", Ann. of Math. , 57 (3), Annals of Mathematics: 401– 457, doi : 10.2307/1969729 , JSTOR 1969729 (Sección 5)
Simon, B. (1979), Trace ideals and their applications , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 35, Cambridge University Press, ISBN 0-521-22286-9
Takesaki, M. (1979), Teoría de las álgebras de operadores I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
Takesaki, M. (2002), Teoría de las álgebras de operadores II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42248-X

[1] Bratteli y Robinson 1987 , págs. 81–82

[rieffel-2] 1 2 Rieffel y van Daele 1977

[dixmier57-3] 1 2 3 4 Dixmier 1957

[4] H ₁ puede identificarse con el espacio de funciones de cuadrado integrable en X x Γ con respecto a la medida del producto .

[5] No debe confundirse con el álgebra de von Neumann en H generada por A y los operadores U _g .

[6] Connes 1979

[Takesaki_2002-7] 1 2Takesaki 2002

[8] Takesaki 1979 , págs. 324–325

[9] Simon 1979

[10] Dixmier utiliza los adjetivos achevée o maximale .

[11] Pedersen 1979

[12] Bratteli y Robinson 1987

[13] Dixmier 1977 , Apéndice A54–A61.

[14] Dieudonné 1976

[15] Godement 1954 , págs. 52–53

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