Monoide (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un monoide (o objeto monoide , o monoide interno , o álgebra )${\displaystyle (M,\mu,\eta)}$en una categoría monoide${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$es un objeto${\displaystyle M}$junto con dos morfismos

• ${\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}$llamada multiplicación ,
• ${\displaystyle \eta \colon I\to M}$llamada unidad ,

de tal manera que el diagrama del pentágono

y el diagrama unitor

desplazamiento diario . En la notación anterior,${\displaystyle 1}$es el morfismo identidad de${\displaystyle M}$,${\displaystyle I}$es el elemento unitario y${\displaystyle \alpha,\lambda}$y${\displaystyle \rho }$son respectivamente el asociador, el unitor izquierdo y el unitor derecho de la categoría monoidal.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Dualmente, un comonoide en una categoría monoide${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es un monoide en la categoría dual${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$.

Supongamos que la categoría monoidal${\displaystyle {\mathcal {C}}}$tiene un trenzado${\displaystyle \gamma }$Un monoide${\displaystyle M}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es conmutativa cuando${\displaystyle \mu \circ \gamma =\mu }$.

• Un objeto monoide en Set , la categoría de conjuntos (con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano ), es un monoide en el sentido usual. En este contexto:
  • el objeto unitario${\displaystyle I}$de la categoría monoide puede tomarse como cualquier singleton.
  • la multiplicación${\displaystyle \mu }$corresponde a la operación de monoide en el sentido usual.
  • la unidad${\displaystyle \eta }$corresponde a la función que asigna el único miembro de${\displaystyle I}$al elemento identidad en el monoide.
• Un objeto monoide en Top , la categoría de espacios topológicos (con la estructura monoide inducida por la topología producto ), es un monoide topológico .
• Un objeto monoide en la categoría de monoides (con el producto directo de monoides) es simplemente un monoide conmutativo . Esto se deduce fácilmente del argumento de Eckmann-Hilton .
• Un objeto monoide en la categoría de semirretículos de unión completos Sup (con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano) es un cuantal unitario .
• Un objeto monoide en ( Ab , ⊗ _Z , Z ) , la categoría de grupos abelianos , es un anillo .
• Para un anillo conmutativo R , un objeto monoide en
  • ( R - Mod , ⊗ _R , R ) , la categoría de módulos sobre R , es un R -álgebra .
  • La categoría de módulos graduados es un álgebra R graduada .
  • La categoría de complejos de cadenas de R -módulos es un álgebra diferencial graduada .
• Un objeto monoide en K - Vect , la categoría de espacios K -vectoriales (de nuevo , con el producto tensorial), es un álgebra K asociativa unitaria , y un objeto comonoide es una coálgebra K .
• Para cualquier categoría C , la categoría [ C , C ] de sus endofuntores tiene una estructura monoide inducida por la composición y el functor identidad I _C. Un objeto monoide en [ C , C ] es una mónada en C.
• Para cualquier categoría con un objeto terminal y productos finitos , cada objeto se convierte en un objeto comonoide a través del morfismo diagonal Δ _X  : X → X × X . De manera dual en una categoría con un objeto inicial y coproductos finitos, cada objeto se convierte en un objeto monoide a través de id _X ⊔ id _X  : X ⊔ X → X .

Dados dos monoides ( M , μ , η ) y ( M ′, μ ′, η ′) en una categoría monoide C , un morfismo f  : M → M ′ es un morfismo de monoides cuando

• f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f ),
• f ∘ η = η ′.

En otras palabras, los siguientes diagramas

,

desplazarse.

La categoría de monoides en C y sus morfismos de monoides se escribe Mon _C . ^{[ 1 ]}

• Act-S , la categoría de monoides que actúan sobre conjuntos

• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mijálov, Alejandro V. (2000). Monoides, actos y categorías . Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015248-7.