Apoyo (matemáticas)

En matemáticas , el soporte de una función de valor real es el subconjunto del dominio de la función que consta de aquellos elementos que no se asignan a cero. Si el dominio de es un espacio topológico , entonces el soporte de se define como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos que no se asignan a cero. Este concepto se utiliza ampliamente en el análisis matemático . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Supongamos que es una función de valor real cuyo dominio es un conjunto arbitrario .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$El soporte conjuntista de loescritoes el conjunto de puntos endondees distinto de cero: ${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

El soporte de es el subconjunto más pequeño de con la propiedad de que es cero en el complemento del subconjunto. Si para todos los puntos excepto un número finito, entonces se dice que tiene${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f}$soporte finito .

Si el conjunto tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología ), entonces el soporte de se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de de un tipo apropiado tal que se anula en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de manera natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales que y a otros objetos, como medidas o distribuciones . ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

La situación más común se da cuando es un espacio topológico (como la recta real o el espacio euclidiano de dimensión ) y es una función continua de valores reales (o complejos ). En este caso, la${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$apoyo de${\displaystyle f}$,, o el${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$closed supportof${\displaystyle f}$, is defined topologically as the closure (taken in ${\displaystyle X}$) of the subset of ${\displaystyle X}$ where ${\displaystyle f}$ is non-zero^[1][2][3] that is, $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$Since the intersection of closed sets is closed, ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ is the intersection of all closed sets that contain the set-theoretic support of ${\displaystyle f.}$ Note that if the function ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq X\to \mathbb {R} }$ is defined on an open subset ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, then the closure is still taken with respect to ${\displaystyle X}$ and not with respect to the ambient ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

For example, if ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is the function defined by $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{si }}|x|<1\\0&{\text{si }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ then ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$, the support of ${\displaystyle f}$, or the closed support of ${\displaystyle f}$, is the closed interval ${\displaystyle [-1,1],}$ since ${\displaystyle f}$ is non-zero on the open interval ${\displaystyle (-1,1)}$ and the closure of this set is ${\displaystyle [-1,1].}$

The notion of closed support is usually applied to continuous functions, but the definition makes sense for arbitrary real or complex-valued functions on a topological space, and some authors do not require that ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ (or ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$) be continuous.^[4]

Functions with compact support on a topological space ${\displaystyle X}$ are those whose closed support is a compact subset of ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle X}$ is the real line, or ${\displaystyle n}$-dimensional Euclidean space, then a function has compact support if and only if it has bounded support, since a subset of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is compact if and only if it is closed and bounded.

For example, the function ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ defined above is a continuous function with compact support ${\displaystyle [-1,1].}$ If ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ is a smooth function then because ${\displaystyle f}$ is identically ${\displaystyle 0}$ on the open subset ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ all of ${\displaystyle f}$'s partial derivatives of all orders are also identically ${\displaystyle 0}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

The condition of compact support is stronger than the condition of vanishing at infinity. For example, the function ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ defined by $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ vanishes at infinity, since ${\displaystyle f(x)\to 0}$ as ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ but its support ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is not compact.

Real-valued compactly supported smooth functions on a Euclidean space are called bump functions. Mollifiers are an important special case of bump functions as they can be used in distribution theory to create sequences of smooth functions approximating nonsmooth (generalized) functions, via convolution.

En buenos casos , las funciones con soporte compacto son densas en el espacio de funciones que se anulan en el infinito, pero esta propiedad requiere cierto trabajo técnico para justificarla en un ejemplo dado. Como intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier cualquier función en la recta real que se anula en el infinito puede aproximarse eligiendo un subconjunto compacto apropiado de tal que para todo donde es la función indicadora de Toda función continua en un espacio topológico compacto tiene soporte compacto ya que todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es de hecho compacto. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle I_{C}}$${\displaystyle C.}$

Si es un espacio de medida topológico con una medida de Borel (como o un subconjunto medible de Lebesgue equipado con una medida de Lebesgue), entonces normalmente se identifican funciones que son iguales casi en todas partes. En ese caso, la${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mu }$El soporte esencial de una función medibleescritase define como el subconjunto cerrado más pequeñodetal que-casi en todas partes fuera deEquivalentemente,es el complemento delconjunto abiertoen el que-casi en todas partes ^{[ 5 ]}${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

El soporte esencial de una función depende de la medida y de , y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si es la función de Dirichlet que se define en números irracionales y en números racionales, y está equipada con la medida de Lebesgue, entonces el soporte de es todo el intervalo , pero el soporte esencial de es vacío, ya que es casi en todas partes igual a la función cero. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

En análisis, casi siempre se prefiere usar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, cuando los dos conjuntos son diferentes, por lo que a menudo se escribe simplemente como y se le denomina soporte. ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Si es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de soporte se generaliza inmediatamente a funciones. El soporte también puede definirse para cualquier estructura algebraica con identidad (como un grupo , un monoide o un álgebra de composición ), en la que el elemento identidad asume el rol de cero. Por ejemplo, la familia de funciones de los números naturales a los enteros es el conjunto no numerable de secuencias de enteros. La subfamilia es el conjunto numerable de todas las secuencias de enteros que tienen solo un número finito de entradas distintas de cero. ${\displaystyle M}$${\displaystyle f:X\to M.}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupo y grupos abelianos libres . ^{[ 7 ]}

En teoría de la probabilidad , el soporte de una distribución de probabilidad puede entenderse, de forma general, como la clausura del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria con dicha distribución. Sin embargo, existen algunas sutilezas que deben considerarse al tratar con distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.

De manera más formal, si es una variable aleatoria en entonces el soporte de es el conjunto cerrado más pequeño tal que${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

En la práctica, sin embargo, el soporte de una variable aleatoria discreta se define a menudo como el conjunto y el soporte de una variable aleatoria continua se define como el conjunto donde es una función de densidad de probabilidad de (el soporte teórico de conjuntos ). ^{[ 8 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$

Nótese que la palabra soporte puede referirse al logaritmo de la verosimilitud de una función de densidad de probabilidad. ^{[ 9 ]}

También es posible hablar del soporte de una distribución , como la función delta de Dirac en la recta real. En ese ejemplo, podemos considerar funciones de prueba que son funciones suaves con soporte que no incluye el punto Dado que (la distribución aplicada como funcional lineal a ) es para tales funciones, podemos decir que el soporte de es solo . Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la recta real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera. ${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \delta (F)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \{0\}}$

Supongamos que es una distribución y que es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba tales que el soporte de está contenido en Entonces se dice que se anula en Ahora, si se anula en una familia arbitraria de conjuntos abiertos, entonces para cualquier función de prueba soportada en un argumento simple basado en la compacidad del soporte de y una partición de la unidad muestra que también. Por lo tanto, podemos definir el soporte de como el complemento del conjunto abierto más grande en el que se anula. Por ejemplo, el soporte de la delta de Dirac es${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(\phi )=0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle \phi }$${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f(\phi )=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{0\}.}$

En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar elsoporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva de ser el conjunto de puntos en los que una distribuciónno es una función suave.

Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función escalón de Heaviside puede, salvo factores constantes, considerarse (una función) excepto en Si bien es claramente un punto especial, es más preciso decir que la transformada de la distribución tiene soporte singular : no puede expresarse con exactitud como una función en relación con funciones de prueba con soporte que incluya Puede expresarse como una aplicación de una integral impropia de valor principal de Cauchy . ${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle 0.}$

Para distribuciones de varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también pueden utilizarse para comprender fenómenos propios de la teoría de distribuciones, como los intentos de «multiplicar» distribuciones (elevar al cuadrado la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).

Una noción abstracta deLa familia de soportes en unespacio topológico adecuado parala teoría de hacesfue definida porHenri Cartan. Al extenderla dualidad de Poincaréavariedadesque no son compactas, la idea de "soporte compacto" aparece de forma natural en un lado de la dualidad; véase, por ejemplo, lacohomología de Alexander-Spanier. ${\displaystyle X,}$

Bredon, Teoría de haces (2.ª edición, 1997) da estas definiciones. Una familia de subconjuntos cerrados de es una familia de soportes , si es cerrada hacia abajo y cerrada bajo la unión finita . Su extensión es la unión sobre Una familia paracompactificante de soportes que satisface además que cualquier en es, con la topología de subespacio , un espacio paracompacto ; y tiene algún en el cual es un entorno . Si es un espacio localmente compacto , suponiendo Hausdorff , la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que la hace paracompactificante. ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi .}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$

• Función acotada  : función matemática cuyo conjunto de valores es acotado.
• Función de amortiguación  : función de soporte suave y compacto.
• Soporte de un módulo
• Teorema de convolución de Titchmarsh

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (Segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​ ​
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC  853623322 .​