Grupo compacto

Todo grupo de Lie compacto G tiene una componente identidad G₀ , definida como la componente conexa del grupo en la que se encuentra el elemento identidad. El _grupo cociente G / G₀ es el grupo de componentes π₀ ₍ G ) , que debe ser finito ya que G es compacto. Por lo tanto _, tenemos una extensión finita.

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

Mientras tanto, para grupos de Lie compactos conexos, tenemos el siguiente resultado: ^{[ 2 ]}

Teorema : Todo grupo de Lie compacto conexo es el cociente, por un subgrupo central finito, del producto de un grupo de Lie compacto simplemente conexo y un toro.

Así pues, la clasificación de los grupos de Lie compactos conexos puede reducirse, en principio, al conocimiento de los grupos de Lie compactos simplemente conexos junto con información sobre sus centros. (Para obtener información sobre el centro, véase la sección siguiente sobre el grupo fundamental y el centro).

Finalmente, todo grupo de Lie compacto, conexo y simplemente conexo K es un producto de un número finito de grupos de Lie simples compactos, conexos y simplemente conexos K _i, cada uno de los cuales es isomorfo a exactamente uno de los siguientes:

• El grupo simpléctico compacto${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• El grupo unitario especial${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• El grupo de espionaje${\displaystyle \operatorname {Girar} (n),\,n\geq 7}$

o uno de los cinco grupos excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , y E ₈ . Las restricciones sobre n tienen como objetivo evitar isomorfismos especiales entre las distintas familias para valores pequeños de n . Para cada uno de estos grupos, el centro se conoce explícitamente. La clasificación se realiza a través del sistema de raíces asociado (para un toro máximo fijo), que a su vez se clasifican mediante sus diagramas de Dynkin .

La clasificación de los grupos de Lie compactos y simplemente conexos es la misma que la de las álgebras de Lie semisimples complejas . En efecto, si K es un grupo de Lie compacto y simplemente conexo, entonces la complejización del álgebra de Lie de K es semisimple. Recíprocamente, toda álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real compacta isomorfa al álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto y simplemente conexo.

Una idea clave en el estudio de un grupo de Lie compacto conexo K es el concepto de un toro maximal , es decir, un subgrupo T de K que es isomorfo a un producto de varias copias de${\displaystyle S^{1}}$y que no está contenido en ningún subgrupo más grande de este tipo. Un ejemplo básico es el caso${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$, en cuyo caso podemos tomar${\displaystyle T}$ser el grupo de elementos diagonales en${\displaystyle K}$. Un resultado básico es el teorema del toro que establece que cada elemento de${\displaystyle K}$pertenece a un toro maximal y todos los toros maximales son conjugados.

El toro maximal en un grupo compacto desempeña un papel análogo al de la subálgebra de Cartan en un álgebra de Lie semisimple compleja. En particular, una vez que un toro maximal${\displaystyle T\subset K}$Una vez elegido, se puede definir un sistema de raíces y un grupo de Weyl similar al que se tiene para las álgebras de Lie semisimples . ^{[ 3 ]} Estas estructuras desempeñan entonces un papel esencial tanto en la clasificación de grupos compactos conexos (descritos anteriormente) como en la teoría de representación de un grupo fijo de este tipo (descritos a continuación).

Los sistemas de raíces asociados a los grupos compactos simples que aparecen en la clasificación de grupos compactos simplemente conexos son los siguientes: ^{[ 4 ]}

• Los grupos unitarios especiales${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$corresponder al sistema radicular${\displaystyle A_{n-1}}$
• Los grupos de giros extraños${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$corresponder al sistema radicular${\displaystyle B_{n}}$
• Los grupos simplécticos compactos${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$corresponder al sistema radicular${\displaystyle C_{n}}$
• Los grupos de giro par${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$corresponder al sistema radicular${\displaystyle D_{n}}$
• Los excepcionales grupos compactos de Lie corresponden a los cinco sistemas radiculares excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , o E ₈

Es importante saber si un grupo de Lie compacto conexo es simplemente conexo y, de no ser así, determinar su grupo fundamental . Para los grupos de Lie compactos, existen dos enfoques básicos para calcular el grupo fundamental. El primer enfoque se aplica a los grupos compactos clásicos.${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$,${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$,${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$, y${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$y procede por inducción en${\displaystyle n}$El segundo enfoque utiliza el sistema de raíces y se aplica a todos los grupos de Lie compactos conectados.

También es importante conocer el centro de un grupo de Lie compacto conexo. El centro de un grupo clásico${\displaystyle G}$se puede calcular fácilmente "a mano" y, en la mayoría de los casos, consiste simplemente en cualesquiera raíces de la identidad que estén en${\displaystyle G}$. (El grupo SO(2) es una excepción: el centro es todo el grupo, aunque la mayoría de los elementos no son raíces de la identidad). Así, por ejemplo, el centro de${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$consiste en raíces enésimas de la unidad multiplicadas por la identidad, un grupo cíclico de orden${\displaystyle n}$.

En general, el centro puede expresarse en términos de la red raíz y el núcleo del mapa exponencial para el toro máximo. ^{[ 5 ]} El método general muestra, por ejemplo, que el grupo compacto simplemente conexo corresponde al sistema raíz excepcional${\displaystyle G_{2}}$tiene centro trivial. Por lo tanto, el compacto${\displaystyle G_{2}}$El grupo es uno de los pocos grupos compactos simples que son simultáneamente simplemente conexos y libres de centro. (Los otros son${\displaystyle F_{4}}$y${\displaystyle E_{8}}$.)

Dado que T es conmutativo, el lema de Schur nos dice que cada representación irreducible${\displaystyle \rho }$de T es unidimensional:

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

Dado que T también es compacto,${\displaystyle \rho }$debe realmente mapearse en${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$.

Para describir estas representaciones de forma concreta, dejamos${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$sea ​​el álgebra de Lie de T y escribimos puntos${\displaystyle h\in T}$como

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

En tales coordenadas,${\displaystyle \rho }$tendrá la forma

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

para algún funcional lineal${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$.

Ahora, dado que el mapa exponencial${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$no es inyectivo, no todo funcional lineal de ese tipo${\displaystyle \lambda }$da lugar a un mapa bien definido de T en${\displaystyle S^{1}}$Más bien, dejemos que...${\displaystyle \Gamma }$denotemos el núcleo del mapa exponencial:

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Id} }$es el elemento identidad de T. (Aquí escalamos el mapa exponencial por un factor de${\displaystyle 2\pi }$para evitar tales factores en otros lugares.) Entonces, para${\displaystyle \lambda }$para dar un mapa bien definido${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle \lambda }$debe satisfacer

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

dónde${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el conjunto de los números enteros. ^{[ 9 ]} Una función lineal${\displaystyle \lambda }$El elemento que satisface esta condición se denomina elemento analíticamente integral . Esta condición de integralidad está relacionada con, pero no es idéntica a, la noción de elemento integral en el contexto de las álgebras de Lie semisimples. ^{[ 10 ]}

Supongamos, por ejemplo, que T es simplemente el grupo${\displaystyle S^{1}}$de números complejos${\displaystyle e^{i\theta }}$de valor absoluto 1. El álgebra de Lie es el conjunto de números puramente imaginarios,${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$y el núcleo del mapa exponencial (escalado) es el conjunto de números de la forma${\displaystyle in}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero. Una función lineal${\displaystyle \lambda }$toma valores enteros en todos esos números si y solo si es de la forma${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$para algún número entero${\displaystyle k}$. Las representaciones irreducibles de T en este caso son unidimensionales y de la forma

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Ahora dejamos${\displaystyle \Sigma }$denota una representación irreducible de dimensión finita de K (sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$). Luego consideramos la restricción de${\displaystyle \Sigma }$a T. Esta restricción no es irreducible a menos que${\displaystyle \Sigma }$es unidimensional. Sin embargo, la restricción se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles de T. (Nótese que una representación irreducible dada de T puede aparecer más de una vez). Ahora bien, cada representación irreducible de T se describe mediante un funcional lineal.${\displaystyle \lambda }$como en la subsección anterior. Si un dado${\displaystyle \lambda }$ocurre al menos una vez en la descomposición de la restricción de${\displaystyle \Sigma }$a T , llamamos${\displaystyle \lambda }$un peso de${\displaystyle \Sigma }$La estrategia de la teoría de la representación de K consiste en clasificar las representaciones irreducibles en función de sus pesos.

A continuación, describimos brevemente las estructuras necesarias para formular el teorema; se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre pesos en la teoría de la representación . Necesitamos la noción de un sistema de raíces para K (en relación con un toro maximal T dado ). La construcción de este sistema de raíces${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$es muy similar a la construcción para álgebras de Lie semisimples complejas . Específicamente, los pesos son los pesos no nulos para la acción adjunta de T sobre el álgebra de Lie complejizada de K. El sistema de raíces R tiene todas las propiedades habituales de un sistema de raíces , excepto que los elementos de R pueden no abarcar${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$. ^{[ 11 ]} Luego elegimos una base${\displaystyle \Delta }$para R y decimos que un elemento integral${\displaystyle \lambda }$es dominante si${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$a pesar de${\displaystyle \alpha \in \Delta }$. Finalmente, decimos que un peso es mayor que otro si su diferencia puede expresarse como una combinación lineal de elementos de${\displaystyle \Delta }$con coeficientes no negativos.

Las representaciones irreducibles de dimensión finita de K se clasifican entonces mediante un teorema de máximo peso ^{[ 12 ]} , que está estrechamente relacionado con el teorema análogo que clasifica las representaciones de un álgebra de Lie semisimple . El resultado dice que:

1. toda representación irreducible tiene el mayor peso,
2. El peso más alto es siempre un elemento dominante, analíticamente integral,
3. Dos representaciones irreducibles con el mismo peso máximo son isomorfas, y
4. Cada elemento dominante, analíticamente integral, surge como el peso más alto de una representación irreducible.

El teorema del peso máximo para representaciones de K es entonces casi el mismo que para álgebras de Lie semisimples, con una excepción notable: el concepto de elemento integral es diferente. Los pesos${\displaystyle \lambda }$de una representación${\displaystyle \Sigma }$son analíticamente integrales en el sentido descrito en la subsección anterior. Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, pero no al revés. ^{[ 13 ]} (Este fenómeno refleja que, en general, no toda representación del álgebra de Lie es integral.${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$proviene de una representación del grupo K. Por otro lado, si K es simplemente conexo, el conjunto de pesos máximos posibles en el sentido de grupo es el mismo que el conjunto de pesos máximos posibles en el sentido del álgebra de Lie. ^{[ 14 ]}

Si${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$es la representación de K , definimos el carácter de${\displaystyle \Pi }$ser la función${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$dado por

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Esta función se ve fácilmente como una función de clase, es decir,${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en K. Por lo tanto,${\displaystyle \mathrm {X} }$está determinado por su restricción a T.

El estudio de los caracteres es una parte importante de la teoría de la representación de grupos compactos. Un resultado crucial, corolario del teorema de Peter-Weyl , es que los caracteres forman una base ortonormal para el conjunto de funciones de clase de cuadrado integrable en K. Un segundo resultado clave es la fórmula del carácter de Weyl , que proporciona una fórmula explícita para el carácter —o, mejor dicho, la restricción del carácter a T— en términos del peso máximo de la representación.

En la teoría de representación estrechamente relacionada de las álgebras de Lie semisimples, la fórmula del carácter de Weyl es un resultado adicional establecido después de que las representaciones han sido clasificadas. Sin embargo, en el análisis de Weyl del caso del grupo compacto, la fórmula del carácter de Weyl es en realidad una parte crucial de la clasificación misma. Específicamente, en el análisis de Weyl de las representaciones de K , la parte más difícil del teorema —mostrar que cada elemento dominante, analíticamente integral, es en realidad el peso más alto de alguna representación— se demuestra de una manera totalmente diferente a la construcción usual de álgebras de Lie usando módulos de Verma . En el enfoque de Weyl, la construcción se basa en el teorema de Peter-Weyl y una demostración analítica de la fórmula del carácter de Weyl . ^{[ 15 ]} En última instancia, las representaciones irreducibles de K se realizan dentro del espacio de funciones continuas en K.

Ahora consideramos el caso del grupo compacto SU(2). Las representaciones se suelen considerar desde el punto de vista del álgebra de Lie , pero aquí las analizamos desde el punto de vista del grupo. Tomamos el toro maximal como el conjunto de matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Según el ejemplo analizado anteriormente en la sección sobre representaciones de T , los elementos analíticamente integrales se etiquetan con números enteros, de modo que los elementos analíticamente integrales dominantes son enteros no negativos.${\displaystyle m}$La teoría general nos dice entonces que para cada${\displaystyle m}$, existe una representación irreducible única de SU(2) con el peso más alto${\displaystyle m}$.

Mucha información sobre la representación correspondiente a un dado${\displaystyle m}$está codificado en su carácter. Ahora, la fórmula del carácter de Weyl dice, en este caso , que el carácter está dado por

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

También podemos escribir el carácter como suma de exponenciales de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(Si aplicamos la fórmula para la suma de una serie geométrica finita a la expresión anterior y la simplificamos, obtenemos la expresión original).

A partir de esta última expresión y la fórmula estándar para el carácter en términos de los pesos de la representación , podemos leer que los pesos de la representación son

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

cada uno con multiplicidad uno. (Los pesos son los enteros que aparecen en los exponentes de las exponenciales y las multiplicidades son los coeficientes de las exponenciales). Dado que hay${\displaystyle m+1}$pesos, cada uno con multiplicidad 1, la dimensión de la representación es${\displaystyle m+1}$De este modo, recuperamos gran parte de la información sobre las representaciones que normalmente se obtiene del cálculo del álgebra de Lie.

Ahora esbozamos la demostración del teorema del peso máximo, siguiendo el argumento original de Hermann Weyl . Continuamos dejando${\displaystyle K}$ser un grupo de Lie compacto conectado y${\displaystyle T}$un toro maximal fijo en${\displaystyle K}$Nos centramos en la parte más difícil del teorema, demostrando que cada elemento dominante, analíticamente integral, es el peso más alto de alguna representación irreducible (de dimensión finita). ^{[ 16 ]}

Las herramientas para la demostración son las siguientes:

• El teorema del toro .
• La fórmula integral de Weyl .
• El teorema de Peter-Weyl para funciones de clase , que establece que los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de cuadrado integrable en${\displaystyle K}$.

Con estas herramientas en mano, procedemos con la demostración. El primer paso importante en el argumento es demostrar la fórmula del carácter de Weyl . La fórmula establece que si${\displaystyle \Pi }$es una representación irreducible con el peso más alto${\displaystyle \lambda }$, entonces el personaje${\displaystyle \mathrm {X} }$de${\displaystyle \Pi }$Satisface:

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

a pesar de${\displaystyle H}$en el álgebra de Lie de${\displaystyle T}$. Aquí${\displaystyle \rho }$es la mitad de la suma de las raíces positivas. (La notación utiliza la convención de "pesos reales"; esta convención requiere un factor explícito de${\displaystyle i}$en el exponente.) La demostración de Weyl de la fórmula de caracteres es de naturaleza analítica y se basa en el hecho de que la${\displaystyle L^{2}}$La norma del carácter es 1. Específicamente, si hubiera términos adicionales en el numerador, la fórmula integral de Weyl obligaría a que la norma del carácter fuera mayor que 1.

A continuación, dejamos${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$denotamos la función del lado derecho de la fórmula del carácter. Demostramos que incluso si${\displaystyle \lambda }$no se sabe que sea el peso más alto de una representación ,${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$es una función bien definida e invariante de Weyl en${\displaystyle T}$, que por lo tanto se extiende a una función de clase en${\displaystyle K}$. Luego, utilizando la fórmula integral de Weyl, se puede demostrar que como${\displaystyle \lambda }$abarca el conjunto de elementos dominantes, analíticamente integrales, las funciones${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$forman una familia ortonormal de funciones de clase. Hacemos hincapié en que actualmente no sabemos que cada una de ellas...${\displaystyle \lambda }$es el peso más alto de una representación; sin embargo, las expresiones del lado derecho de la fórmula del carácter dan un conjunto bien definido de funciones.${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$y estas funciones son ortonormales.

Ahora llega la conclusión. El conjunto de todos${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$-con${\displaystyle \lambda }$que abarca los elementos dominantes, analíticamente integrales, forma un conjunto ortonormal en el espacio de funciones de clase de cuadrado integrable. Pero por la fórmula de caracteres de Weyl, los caracteres de las representaciones irreducibles forman un subconjunto de la${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$Y por el teorema de Peter-Weyl, los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de cuadrado integrable. Si hubiera alguna${\displaystyle \lambda }$que no es el peso más alto de una representación, entonces el correspondiente${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$no sería el carácter de una representación. Por lo tanto, los caracteres serían un subconjunto propio del conjunto de${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$'s. Pero entonces tenemos una situación imposible: una base ortonormal (el conjunto de caracteres de las representaciones irreducibles) estaría contenida en un conjunto ortonormal estrictamente mayor (el conjunto de${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$'s). Por lo tanto, cada${\displaystyle \lambda }$En realidad, debe ser el peso más alto de una representación.