Teorema de comparación

En matemáticas , los teoremas de comparación son teoremas cuyo enunciado implica comparaciones entre varios objetos matemáticos del mismo tipo, y suelen aparecer en campos como el cálculo , las ecuaciones diferenciales y la geometría riemanniana .

En la teoría de ecuaciones diferenciales , los teoremas de comparación afirman propiedades particulares de las soluciones de una ecuación diferencial (o de un sistema de ecuaciones), siempre que una ecuación/desigualdad auxiliar (o un sistema de ecuaciones) posea una propiedad determinada. Las desigualdades diferenciales (o integrales), derivadas de ecuaciones diferenciales (o integrales) mediante la sustitución del signo de igualdad por un signo de desigualdad, forman una amplia clase de dichas relaciones auxiliares. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un ejemplo de este teorema fue utilizado por Aronson y Weinberger para caracterizar las soluciones de la ecuación de Fisher , una ecuación de reacción-difusión. ^{[ 3 ]} Otros ejemplos de teoremas de comparación incluyen:

• Teorema de Chaplygin
• La desigualdad de Grönwall , y sus diversas generalizaciones, proporciona un principio de comparación para las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
• Teorema de comparación de Lyapunov
• Teorema de comparación de Sturm
• Teorema de comparación de Hille-Wintner

En geometría riemanniana , es un nombre tradicional para una serie de teoremas que comparan diversas métricas y proporcionan diversas estimaciones en geometría riemanniana. ^{[ 4 ]}

• El teorema de comparación de Rauch relaciona la curvatura seccional de una variedad riemanniana con la velocidad a la que se separan sus geodésicas.
• Teorema de Toponogov
• Teorema de Myers
• Teorema de comparación hessiana
• Teorema de comparación laplaciana
• Teorema de comparación de Morse-Schoenberg
• Teorema de comparación de Berger , teorema de comparación de Rauch-Berger ^{[ 5 ]}
• Teorema de comparación de Berger-Kazdan ^{[ 6 ]}
• Teorema de comparación de Warner para longitudes de campos N-Jacobi ( donde N es una subvariedad de una variedad riemanniana completa) ^{[ 7 ]}
• Desigualdad de Bishop-Gromov , condicionada a una cota inferior para las curvaturas de Ricci ^{[ 8 ]}
• Teorema de comparación de Lichnerowicz
• Teorema de comparación de valores propios
  • Teorema de comparación de valores propios de Cheng
• Triángulo de comparación

Existen diversas comparaciones entre la geometría algebraica y la geometría analítica, a menudo conocidas como teoremas GAGA debido a la abreviatura del artículo fundamental de Serre, Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique ^{[ 9 ]} .

• Geometría algebraica y analítica sobre los números complejos (GAGA)
• Teorema de comparación de Artin : identifica la cohomología étale de los esquemas de tipo finito y la cohomología de sus contrapartes analíticas.

• Teorema de comparación límite , sobre la convergencia de series.
• Teorema de comparación para integrales , sobre la convergencia de integrales.
• El teorema de comparación de Zeeman , una herramienta técnica de la teoría de secuencias espectrales.

• "Teorema de comparación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• "Desigualdad diferencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• nLab - Comparación de Artin