Sistema lineal de divisores

En geometría algebraica , un sistema lineal de divisores es una generalización algebraica de la noción geométrica de una familia de curvas ; la dimensión del sistema lineal corresponde al número de parámetros de la familia.

Estos surgieron primero en forma de un sistema lineal de curvas algebraicas en el plano proyectivo . Adquirió una forma más general, a través de una generalización gradual, de modo que se podía hablar de equivalencia lineal de divisores D en un esquema general o incluso en un espacio anillado. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ . ^{[ 1 ]}

Los sistemas lineales de dimensión 1, 2 o 3 se denominan, respectivamente, lápiz , red o telaraña .

Un mapa determinado por un sistema lineal se denomina a veces mapa de Kodaira .

Definiciones

Dada una variedad general $X$ , dos divisores $D,E\in {\text{Div}}(X)$ son linealmente equivalentes si

E=D+(f)\

para alguna función racional no nula $f$ en $X$ , o en otras palabras, un elemento distinto de cero $f$ del campo de función $k(X)$ . Aquí $(f)$ denota el divisor de ceros y polos de la función $f$ .

Tenga en cuenta que si $X$ Dado que tiene puntos singulares , la noción de «divisor» es inherentemente ambigua ( divisores de Cartier , divisores de Weil : véase divisor (geometría algebraica) ). En ese caso, la definición suele expresarse con mayor cuidado (utilizando haces invertibles o haces de líneas holomorfos ); véase más abajo.

Un sistema lineal completo en $X$ se define como el conjunto de todos los divisores efectivos linealmente equivalentes a un divisor dado. $D\in {\text{Div}}(X)$ Se denota $|D|$ . Dejar ${\mathcal {L}}$ ser el paquete de líneas asociado a $D$ . En el caso de que $X$ es una variedad proyectiva no singular, el conjunto $|D|$ está en biyección natural con $(\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },$ ^{[ 2 ]} asociando el elemento $E=D+(f)$ de $|D|$ al conjunto de múltiplos no nulos de $f$ (Esto está bien definido ya que dos funciones racionales distintas de cero tienen el mismo divisor si y solo si son múltiplos distintos de cero entre sí). Un sistema lineal completo $|D|$ es, por lo tanto, un espacio proyectivo.

Un sistema lineal ${\mathfrak {d}}$ es entonces un subespacio proyectivo de un sistema lineal completo, por lo que corresponde a un subespacio vectorial W de $\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ La dimensión del sistema lineal ${\mathfrak {d}}$ es su dimensión como espacio proyectivo. Por lo tanto $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ .

Los sistemas lineales también pueden introducirse mediante el lenguaje de fibrados lineales o haces invertibles . En esos términos, los divisores $D$ Los divisores de Cartier ( para ser precisos) corresponden a haces de líneas, y la equivalencia lineal de dos divisores significa que los haces de líneas correspondientes son isomorfos.

Ejemplos

Equivalencia lineal

Consideremos el conjunto de líneas ${\mathcal {O}}(2)$ en $\mathbb {P} ^{3}$ cuyas secciones $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ definir superficies cuádricas . Para el divisor asociado $D_{s}=Z(s)$ es linealmente equivalente a cualquier otro divisor definido por el lugar geométrico de anulación de algún $t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ utilizando la función racional $\left(t/s\right)$ ^{[ 2 ]} (Proposición 7.2). Por ejemplo, el divisor $D$ asociado al lugar de desaparición de $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ es linealmente equivalente al divisor $E$ asociado al lugar de desaparición de $xy$ . Luego, está la equivalencia de divisores

$D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)$

Sistemas lineales sobre curvas

Uno de los sistemas lineales completos importantes sobre una curva algebraica $C$ del género $g$ viene dado por el sistema lineal completo asociado al divisor canónico $K$ , denotado $|K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ . Esta definición se deduce de la proposición II.7.7 de Hartshorne ^{[ 2 ]} puesto que todo divisor efectivo en el sistema lineal proviene de los ceros de alguna sección de $\omega _{C}$ .

curvas hiperelípticas

Una aplicación de los sistemas lineales se utiliza en la clasificación de curvas algebraicas. Una curva hiperelíptica es una curva $C$ con un título $2$ morfismo $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ . ^{[ 2 ]} Para el caso $g=2$ Todas las curvas son hiperelípticas: el teorema de Riemann-Roch entonces da el grado de $K_{C}$ es $2g-2=2$ y $h^{0}(K_{C})=2$ , por lo tanto hay un grado $2$ mapa a $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ .

g _d^r

A $g_{d}^{r}$ es un sistema lineal ${\mathfrak {d}}$ en una curva $C$ que es de grado $d$ y dimensión $r$ . Por ejemplo, las curvas hiperelípticas tienen una $g_{2}^{1}$ que es inducido por el $2:1$ -mapa $C\to \mathbb {P} ^{1}$ De hecho, las curvas hiperelípticas tienen una característica única. $g_{2}^{1}$ ^{[ 2 ]} de la proposición 5.3. Otro conjunto cercano de ejemplos son curvas con una $g_{1}^{3}$ que se denominan curvas trigonales . De hecho, cualquier curva tiene una $g_{1}^{d}$ para $d\geq (1/2)g+1$ . ^{[ 3 ]}

Sistemas lineales de hipersuperficies en un espacio proyectivo

Consideremos el conjunto de líneas ${\mathcal {O}}(d)$ encima $\mathbb {P} ^{n}$ Si tomamos secciones globales $V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ , entonces podemos tomar su proyectividad $\mathbb {P} (V)$ . Esto es isomorfo a $\mathbb {P} ^{N}$ dónde

N={\binom {n+d}{n}}-1

Luego, utilizando cualquier incrustación $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ podemos construir un sistema lineal de dimensión $k$ .

Sistema lineal de cónicas

Sistema lineal característico de una familia de curvas

El sistema lineal característico de una familia de curvas en una superficie algebraica Y para una curva C en la familia es un sistema lineal formado por las curvas de la familia que están infinitamente cerca ^de C. [ ⁴^]

En términos modernos, es un subsistema del sistema lineal asociado al fibrado normal . $C\hookrightarrow Y$ Cabe señalar que un sistema característico no tiene por qué ser completo; de hecho, la cuestión de la completitud ha sido objeto de un extenso estudio por parte de la escuela italiana sin llegar a una conclusión satisfactoria; actualmente, la teoría de Kodaira-Spencer puede utilizarse para responder a dicha cuestión.

Otros ejemplos

El teorema de Cayley-Bacharach es una propiedad de un haz de cúbicas, que establece que el lugar geométrico base satisface una propiedad de "8 implica 9": cualquier cúbica que contenga 8 de los puntos contiene necesariamente el noveno.

Sistemas lineales en geometría birracional

En general, los sistemas lineales se convirtieron en una herramienta básica de la geometría birracional practicada por la escuela italiana de geometría algebraica . Las exigencias técnicas se volvieron bastante rigurosas; desarrollos posteriores aclararon varias cuestiones. El cálculo de las dimensiones relevantes —el problema de Riemann-Roch , como se le puede llamar— se puede formular mejor en términos de álgebra homológica . El efecto de trabajar con variedades con puntos singulares es mostrar una diferencia entre los divisores de Weil (en el grupo abeliano libre generado por subvariedades de codimensión uno) y los divisores de Cartier provenientes de secciones de haces invertibles .

La escuela italiana tendía a reducir la geometría de una superficie algebraica a la de sistemas lineales definidos por superficies en el espacio tridimensional; Zariski escribió su célebre libro Superficies algebraicas para intentar unificar los métodos, que incluían sistemas lineales con puntos base fijos . Surgió una controversia, uno de los puntos finales del conflicto entre los puntos de vista «antiguos» y «nuevos» en geometría algebraica, sobre el sistema lineal característico de Henri Poincaré , que consistía en una familia algebraica de curvas sobre una superficie algebraica.

Locus base

El lugar base de un sistema lineal de divisores en una variedad se refiere a la subvariedad de puntos "comunes" a todos los divisores del sistema lineal. Geométricamente, esto corresponde a la intersección común de las variedades. Los sistemas lineales pueden tener o no un lugar base; por ejemplo, el haz de rectas afines. $x=a$ No tiene intersección común, pero dadas dos cónicas (no degeneradas) en el plano proyectivo complejo, se intersecan en cuatro puntos (contando con multiplicidad) y por lo tanto el haz que definen tiene estos puntos como lugar base.

Más precisamente, supongamos que $|D|$ es un sistema lineal completo de divisores en alguna variedad $X$ Consideremos la intersección

\operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\

dónde $\operatorname {Supp}$ denota el soporte de un divisor, y la intersección se toma sobre todos los divisores efectivos. $D_{\text{eff}}$ en el sistema lineal. Este es el lugar geométrico base de $|D|$ (como conjunto, al menos: puede haber consideraciones teóricas de esquemas más sutiles sobre qué es el haz de estructura de $\operatorname {Bl}$ debería ser).

Una aplicación de la noción de lugar base es a la nefidad de una clase de divisores de Cartier (es decir, un sistema lineal completo). Supongamos que $|D|$ es una clase de ese tipo en una variedad $X$ , y $C$ una curva irreducible en $X$ . Si $C$ no está contenido en el locus base de $|D|$ entonces existe algún divisor ${\tilde {D}}$ en la clase que no contiene $C$ y por lo tanto la interseca correctamente. Los hechos básicos de la teoría de la intersección nos dicen entonces que debemos tener $|D|\cdot C\geq 0$ La conclusión es que, para comprobar si una clase de divisores es nef, basta con calcular el número de intersecciones con las curvas contenidas en el lugar geométrico base de la clase. Así pues, en términos generales, cuanto más pequeño sea el lugar geométrico base, mayor será la probabilidad de que la clase sea nef.

En la formulación moderna de la geometría algebraica, un sistema lineal completo $|D|$ de divisores (de Cartier) en una variedad $X$ se considera un paquete de líneas ${\mathcal {O}}(D)$ en $X$ Desde este punto de vista, el locus base $\operatorname {Bl} (|D|)$ es el conjunto de ceros comunes de todas las secciones de ${\mathcal {O}}(D)$ Una consecuencia sencilla es que el haz se genera globalmente si y solo si el lugar base está vacío.

La noción de lugar base sigue teniendo sentido también para un sistema lineal incompleto: su lugar base sigue siendo la intersección de los soportes de todos los divisores efectivos del sistema.

Ejemplo

Consideremos el lápiz Lefschetz. $p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}$ dado por dos secciones genéricas $f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$ , entonces ${\mathfrak {X}}$ dado por el plan

${\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)$

Esto tiene un sistema lineal de divisores asociado ya que cada polinomio, $s_{0}f+t_{0}g$ por un fijo $[s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}$ es un divisor en $\mathbb {P} ^{n}$ . Entonces, el lugar base de este sistema de divisores es el esquema dado por el lugar de anulación de $f,g$ , entonces

${\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)$

Un mapa determinado por un sistema lineal

Cada sistema lineal sobre una variedad algebraica determina un morfismo del complemento del lugar base a un espacio proyectivo de dimensión del sistema, como se muestra a continuación. (En cierto sentido, lo contrario también es cierto; véase la sección siguiente).

Sea L un fibrado de líneas sobre una variedad algebraica X y $V\subset \Gamma (X,L)$ un subespacio vectorial de dimensión finita. Para mayor claridad, primero consideramos el caso en que V no tiene puntos base; en otras palabras, el mapa natural. $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ es sobreyectiva (aquí, k = el cuerpo base). O equivalentemente, $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}$ es sobreyectiva. Por lo tanto, escribir $V_{X}=V\times X$ Para el fibrado vectorial trivial y pasando la sobreyección al Proj relativo , existe una inmersión cerrada :

i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X

dónde $\simeq$ A la derecha se muestra la invariancia del fibrado proyectivo bajo una torsión por un fibrado lineal. Siguiendo i por una proyección, se obtiene el mapa: ^{[ 5 ]}

f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).

Cuando el lugar base de V no está vacío, la discusión anterior continúa con ${\mathcal {O}}_{X}$ en la suma directa reemplazada por un haz ideal que define el lugar base y X reemplazada por la explosión ${\widetilde {X}}$ de ella a lo largo del lugar base (teórico del esquema) B. Precisamente, como se indicó anteriormente, hay una sobreyección. $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}$ dónde ${\mathcal {I}}$ es el haz ideal de B y eso da lugar a

i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.

Desde $X-B\simeq$ un subconjunto abierto de ${\widetilde {X}}$ , ahí se muestran los resultados en el mapa:

f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).

Finalmente, cuando se elige una base de V , la discusión anterior se vuelve más práctica (y ese es el estilo utilizado en Hartshorne, Geometría Algebraica).

Sistema lineal determinado por una aplicación a un espacio proyectivo.

Cada morfismo de una variedad algebraica a un espacio proyectivo determina un sistema lineal sin punto base en dicha variedad; por ello, un sistema lineal sin punto base y una aplicación a un espacio proyectivo se utilizan a menudo indistintamente.

Para una inmersión cerrada $f:Y\hookrightarrow X$ de variedades algebraicas hay un retroceso de un sistema lineal ${\mathfrak {d}}$ en $X$ a $Y$ , definido como $f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}$ ^{[ 2 ]} (página 158).

O(1) en una variedad proyectiva

Una variedad proyectiva $X$ incrustado en $\mathbb {P} ^{r}$ tiene un sistema lineal natural que determina un mapa al espacio proyectivo desde ${\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ Esto envía un punto $x\in X$ a su punto correspondiente $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}$ .

Véase también

Referencias

↑ Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean. EGA IV , 21.3.
1 2 3 4 5 6 Hartshorne, R. 'Geometría algebraica', proposición II.7.2, página 151, proposición II.7.7, página 157, página 158, ejercicio IV.1.7, página 298, proposición IV.5.3, página 342
↑ Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). "Otra prueba de la existencia de divisores especiales" . Acta Mathematica . 132 : 163–176 . doi : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962 .
↑ Arbarello, Enrico ; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip (2011). Geometría de curvas algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris. Heidelberg: Springer. pag. 3.doi : 10.1007 /978-1-4757-5323-3 . ISBN 978-1-4419-2825-2MR 2807457 .
↑ Fulton, William (1998). "§ 4.4. Sistemas lineales". Teoría de la intersección . Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8_5 .

P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pág. 137. ISBN 0-471-05059-8.
Hartshorne, R. , Geometría algebraica , Springer-Verlag , 1977; sexta edición corregida, 1993. ISBN 0-387-90244-9.
Lazarsfeld, R. , Positividad en geometría algebraica I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1.

[1] Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean. EGA IV , 21.3.

[:0-2] 1 2 3 4 5 6 Hartshorne, R. 'Geometría algebraica', proposición II.7.2, página 151, proposición II.7.7, página 157, página 158, ejercicio IV.1.7, página 298, proposición IV.5.3, página 342

[3] Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). "Otra prueba de la existencia de divisores especiales" . Acta Mathematica . 132 : 163–176 . doi : 10.1007/BF02392112 . ISSN 0001-5962 .

[4] Arbarello, Enrico ; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip (2011). Geometría de curvas algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris. Heidelberg: Springer. pag. 3.doi : 10.1007 /978-1-4757-5323-3 . ISBN 978-1-4419-2825-2MR 2807457 .

[5] Fulton, William (1998). "§ 4.4. Sistemas lineales". Teoría de la intersección . Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8_5 .

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