base ortonormal

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una base ortonormal para un espacio de producto interno${\displaystyle V}$con dimensión finita es una base para${\displaystyle V}$cuyos vectores son ortonormales , es decir, son todos vectores unitarios y ortogonales entre sí. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Por ejemplo, la base estándar para un espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es una base ortonormal, donde el producto interno relevante es el producto escalar de vectores. La imagen de la base estándar bajo una rotación o reflexión (o cualquier transformación ortogonal ) también es ortonormal, y toda base ortonormal para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$surge de esta manera. Una base ortonormal puede derivarse de una base ortogonal mediante normalización . La elección de un origen y una base ortonormal forma un sistema de coordenadas conocido como sistema ortonormal .

Para un espacio de producto interno general${\displaystyle V,}$Se puede utilizar una base ortonormal para definir coordenadas ortogonales normalizadas en${\displaystyle V.}$Bajo estas coordenadas, el producto interno se convierte en un producto escalar de vectores. Por lo tanto, la presencia de una base ortonormal reduce el estudio de un espacio de producto interno de dimensión finita al estudio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$bajo el producto escalar. Todo espacio de producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal, que puede obtenerse a partir de una base arbitraria utilizando el proceso de Gram-Schmidt .

En el análisis funcional , el concepto de base ortonormal puede generalizarse a espacios de producto interno arbitrarios (de dimensión infinita) . ^{[ 4 ]} Dado un espacio pre-Hilbert${\displaystyle H,}$una base ortonormal para${\displaystyle H}$es un conjunto ortonormal de vectores con la propiedad de que cada vector en${\displaystyle H}$se puede escribir como una combinación lineal infinita de los vectores en la base. En este caso, la base ortonormal a veces se denomina base de Hilbert para${\displaystyle H.}$Nótese que una base ortonormal en este sentido no es generalmente una base de Hamel , ya que se requieren combinaciones lineales infinitas. ^{[ 5 ]} Específicamente, el espacio lineal generado por la base debe ser denso en${\displaystyle H,}$aunque no necesariamente todo el espacio.

Si pasamos a los espacios de Hilbert , un conjunto de vectores no ortonormales que tenga el mismo espacio lineal generado que una base ortonormal puede no ser una base en absoluto. Por ejemplo, cualquier función de cuadrado integrable en el intervalo${\displaystyle [-1,1]}$puede expresarse ( casi en todas partes ) como una suma infinita de polinomios de Legendre (una base ortonormal), pero no necesariamente como una suma infinita de monomios.${\displaystyle x^{n}.}$

Una generalización diferente se refiere a espacios de pseudoproducto interno, espacios vectoriales de dimensión finita.${\displaystyle M}$equipado con una forma bilineal simétrica no degenerada conocida como tensor métrico . En dicha base, la métrica toma la forma${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$con${\displaystyle p}$positivos y${\displaystyle q}$los negativos.

• Para${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, el conjunto de vectores${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$se denomina base estándar y forma una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con respecto al producto escalar estándar. Nótese que tanto la base estándar como el producto escalar estándar dependen de la visualización${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$como producto cartesiano${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  Prueba: Un cálculo sencillo muestra que los productos internos de estos vectores son iguales a cero,${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$y que cada una de sus magnitudes es igual a uno,${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$Esto significa que${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$es un conjunto ortonormal. Todos los vectores${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$puede expresarse como una suma de los vectores base escalados$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$entonces${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$abarca${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y por lo tanto debe ser una base. También se puede demostrar que la base estándar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen también forma una base ortonormal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• Para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$La base estándar y el producto interno se definen de manera similar. Cualquier otra base ortonormal está relacionada con la base estándar mediante una transformación ortogonal en el grupo O(n).
• Para el espacio pseudoeuclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$, una base ortogonal${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$con métrica${\displaystyle \eta }$en cambio satisface${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$si${\displaystyle \mu \neq \nu }$,${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$si${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$, y${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$si${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$. Dos bases ortonormales cualesquiera están relacionadas por una transformación pseudoortogonal. En el caso${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$Estas son transformaciones de Lorentz.
• El conjunto${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$con${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$dónde${\displaystyle \exp }$denota la función exponencial , forma una base ortonormal del espacio de funciones con integrales de Lebesgue finitas,${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$con respecto a la norma 2. Esto es fundamental para el estudio de las series de Fourier .
• El conjunto${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$con${\displaystyle e_{b}(c)=1}$si${\displaystyle b=c}$y${\displaystyle e_{b}(c)=0}$de otro modo forma una base ortonormal de${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• "Funciones propias de un problema propio de Sturm-Liouville" .
• Los vectores columna de una matriz ortogonal forman un conjunto ortonormal.

Si${\displaystyle B}$es una base ortogonal de${\displaystyle H,}$entonces cada elemento${\displaystyle x\in H}$puede escribirse como $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

Cuando${\displaystyle B}$es ortonormal, esto se simplifica a $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$ y el cuadrado de la norma de${\displaystyle x}$puede ser dado por $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

Incluso si${\displaystyle B}$es incontable , solo una cantidad contable de términos en esta suma serán distintos de cero, y la expresión está, por lo tanto, bien definida. Esta suma también se denomina expansión de Fourier de${\displaystyle x,}$y la fórmula se conoce habitualmente como la identidad de Parseval .

Si${\displaystyle B}$ es una base ortonormal de${\displaystyle H,}$entonces${\displaystyle H}$es isomorfo a${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$en el siguiente sentido: existe una aplicación lineal biyectiva${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$de tal manera que $${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

Un conjunto${\displaystyle S}$de vectores mutuamente ortonormales en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$se denomina sistema ortonormal. Una base ortonormal es un sistema ortonormal con la propiedad adicional de que el espacio lineal generado por${\displaystyle S}$es denso en${\displaystyle H}$. ^{[ 6 ]} Alternativamente, el conjunto${\displaystyle S}$puede considerarse completo o incompleto con respecto a${\displaystyle H}$. Es decir, podemos tomar el subespacio lineal cerrado más pequeño.${\displaystyle V\subseteq H}$que contiene${\displaystyle S.}$Entonces${\displaystyle S}$será una base ortonormal de${\displaystyle V;}$que por supuesto puede ser más pequeño que${\displaystyle H}$en sí mismo, siendo un conjunto ortonormal incompleto , o ser${\displaystyle H,}$cuando se trata de un conjunto ortonormal completo .

Utilizando el lema de Zorn y el proceso de Gram-Schmidt (o, más sencillamente, el buen ordenamiento y la recursión transfinita), se puede demostrar que todo espacio de Hilbert admite una base ortonormal; ^{[ 7 ]} además, cualesquiera dos bases ortonormales del mismo espacio tienen la misma cardinalidad (esto se puede demostrar de forma similar a la demostración del teorema de dimensión usual para espacios vectoriales , con casos distintos según si la base candidata mayor es numerable o no). Un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal numerable . (Esta última afirmación se puede demostrar sin utilizar el axioma de elección . Sin embargo, habría que utilizar el axioma de elección numerable ).

Para mayor concreción, analizamos las bases ortonormales para un número real.${\displaystyle n}$espacio vectorial de dimensión${\displaystyle V}$con una forma bilineal simétrica definida positiva${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

Una forma de ver una base ortonormal con respecto a${\displaystyle \phi }$es como un conjunto de vectores${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$, que nos permiten escribir${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$, y${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$o${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$. Con respecto a esta base, los componentes de${\displaystyle \phi }$son particularmente sencillos:${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$(dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker ).

Ahora podemos ver la base como un mapa.${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$que es un isomorfismo de espacios con producto interno: para hacerlo más explícito podemos escribir

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

Explícitamente podemos escribir${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$dónde${\displaystyle e^{i}}$es el elemento de base dual para${\displaystyle e_{i}}$.

La inversa es un mapa de componentes

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

Estas definiciones ponen de manifiesto que existe una biyección.

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

El espacio de isomorfismos admite acciones de grupos ortogonales en cualquiera de los dos extremos.${\displaystyle V}$lado o el${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$lado. Para mayor concreción, fijamos los isomorfismos para que apunten en la dirección${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$y consideremos el espacio de tales mapas,${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$.

Este espacio admite una acción izquierda por el grupo de isometrías de${\displaystyle V}$, eso es,${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$de tal manera que${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$, con la acción dada por la composición:${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

Este espacio también admite una acción correcta por parte del grupo de isometrías de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, eso es,${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, con la acción nuevamente dada por la composición:${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$.

El conjunto de bases ortonormales para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con el producto interno estándar es un espacio homogéneo principal o G-torsor para el grupo ortogonal${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$y se denomina colector de Stiefel${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$de ortonormal${\displaystyle n}$-fotogramas . ^{[ 8 ]}

En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin la elección de un punto base: dado el espacio de bases ortonormales, no hay una base ortonormal que se pueda elegir naturalmente, pero una vez que se elige una, existe una correspondencia biunívoca entre las bases y el grupo ortogonal. Concretamente, una aplicación lineal se determina por el punto al que envía una base dada: así como una aplicación invertible puede transformar cualquier base en cualquier otra, una aplicación ortogonal puede transformar cualquier base ortogonal en cualquier otra base ortogonal .

Los otros colectores de Stiefel${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$para${\displaystyle k<n}$de bases ortonormales incompletas (ortonormales${\displaystyle k}$-marcos) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier${\displaystyle k}$-el marco se puede llevar a cualquier otro${\displaystyle k}$-enmarcado por un mapa ortogonal, pero este mapa no está determinado de forma única.

• El conjunto de bases ortonormales para${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$es un G-torsor para${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$.
• El conjunto de bases ortonormales para${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es un G-torsor para${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$.
• El conjunto de bases ortonormales para${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$es un G-torsor para${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$.
• El conjunto de bases ortonormales diestras para${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un G-torsor para${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

• Base ortogonal – Base que consta de vectores mutuamente ortogonales 
• Base (álgebra lineal) – Conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas 
• Marco ortonormal : espacio euclidiano sin distancias ni ángulos. 
• Base Schauder – Herramienta computacional 
• Conjunto completo

• Roman, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.(página 218, cap. 9)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Steinwart, Ingo; Christmann, Andreas (2008). Máquinas de vectores de soporte . Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-0-387-77242-4 . ISBN 978-0-387-77241-7.

• Esta publicación de Stack Exchange analiza por qué el conjunto de funciones delta de Dirac no es una base de L ² ([0,1]).