Tipo (teoría del modelo)

En la teoría de modelos y áreas relacionadas de las matemáticas , un tipo es un objeto que describe cómo podría comportarse un elemento (real o posible) o una colección finita de elementos en una estructura matemática . Más precisamente, es un conjunto de fórmulas de primer orden en un lenguaje L con variables libres x ₁ , x ₂ ,..., x _n que son verdaderas para un conjunto de n -tuplas de una estructura L.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Dependiendo del contexto, los tipos pueden ser completos o parciales y pueden usar un conjunto fijo de constantes, A , de la estructura.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. La cuestión de qué tipos representan elementos reales de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$conduce a las ideas de modelos saturados y tipos omitidos .

Consideremos una estructura${\displaystyle {\mathcal {M}}}$para un lenguaje L. Sea M el universo de la estructura. Para cada A  ⊆ M , sea L ( A ) el lenguaje obtenido de L añadiendo una constante c _a para cada a ∈ A. En otras palabras,   

${\displaystyle L(A)=L\cup \{c_{a}:a\in A\}.}$

Un tipo 1 (de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$) sobre A es un conjunto p ( x ) de fórmulas en L ( A ) con como máximo una variable libre x , tal que para cada subconjunto finito p ₀ ( x )  ⊆ p ( x ) hay algún b ∈ M , que depende de p ₀ ( x ), con   ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b)}$. En otras palabras,$${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \exists x\left(\bigwedge p_{0}(x)\right)}$$De manera más general, un tipo n (de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$) sobre A se define como un conjunto p ( x ₁ ,..., x _n )  = p ( x ) de fórmulas en L ( A ), cada una con sus variables libres ocurriendo solo entre las n variables libres dadas x ₁ ,..., x _n , de tal manera que para cada subconjunto finito p ₀ ( x ) ⊆ p ( x ) hay algunos elementos b ₁ ,..., b _n ∈ M con     ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p_{0}(b_{1},\ldots ,b_{n})}$.

Un tipo completo de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$sobre A es uno que es máximo con respecto a la inclusión . Equivalentemente, para cada${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in L(A,{\boldsymbol {x}})}$cualquiera${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$ o ${\displaystyle \lnot \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})}$. Cualquier tipo incompleto se denomina tipo parcial . Por ejemplo, el único tipo 0 completo es el conjunto de todas las oraciones de${\displaystyle L(A)}$que son modelados por${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

La palabra tipo en general se refiere a cualquier n -tipo, parcial o completo, sobre cualquier conjunto de parámetros elegido (posiblemente el conjunto vacío).

Se dice que un p ( x ) de tipo n esrealizado en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$si existe un elemento b  ∈ M ⁿ tal que ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models p({\boldsymbol {b}})}$Por el teorema de compacidad , cualquier tipo es realizable, aunque la realización podría tener lugar en alguna extensión elemental de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, en lugar de en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en sí mismo. Si un tipo completo se realiza mediante b en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, entonces el tipo se suele denotar${\displaystyle tp_{n}^{\mathcal {M}}({\boldsymbol {b}}/A)}$y se denomina tipo completo de b sobre A.

Se dice que un tipo p ( x ) está aislado por${\displaystyle \varphi }$, para${\displaystyle \varphi \in p(x)}$, si para todos${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}}),}$tenemos${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {M}})\models \varphi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow \psi ({\boldsymbol {x}})}$. Dado que los subconjuntos finitos de un tipo siempre se realizan en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, siempre hay un elemento b  ∈ M ⁿ tal que φ ( b ) es verdadero en ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$; es decir${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi ({\boldsymbol {b}})}$Por lo tanto, b realiza todo el tipo aislado. Así, los tipos aislados se realizarán en cada subestructura elemental o extensión. Debido a esto, los tipos aislados nunca pueden omitirse (véase más abajo).

Un modelo que logra la máxima variedad posible de tipos se denomina modelo saturado , y la construcción de ultrapotencia proporciona una forma de producir modelos saturados.

Consideremos el lenguaje L con un símbolo de relación binaria , que denotamos como${\displaystyle \in }$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ser la estructura${\displaystyle \langle \omega ,\in _{\omega }\rangle }$para este idioma, que es el ordinal${\displaystyle \omega }$con su ordenación estándar . Deje${\displaystyle {\mathcal {T}}}$denotamos la teoría de primer orden de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Consideremos el conjunto de fórmulas L (ω)${\displaystyle p(x):=\{n\in _{\omega }x\mid n\in \omega \}}$Primero, afirmamos que este es un tipo.${\displaystyle p_{0}(x)\subseteq p(x)}$ser un subconjunto finito de${\displaystyle p(x)}$Necesitamos encontrar un${\displaystyle b\in \omega }$que satisface todas las fórmulas en${\displaystyle p_{0}}$Bueno, podemos simplemente tomar el sucesor del ordinal más grande mencionado en el conjunto de fórmulas.${\displaystyle p_{0}(x)}$Entonces, esto contendrá claramente todos los ordinales mencionados en${\displaystyle p_{0}(x)}$. Por lo tanto tenemos que${\displaystyle p(x)}$es un tipo. A continuación, observe que${\displaystyle p(x)}$no se realiza en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$Porque, si así fuera, habría alguna${\displaystyle n\in \omega }$que contiene todos los elementos de${\displaystyle \omega }$Si quisiéramos realizar el tipo, podríamos vernos tentados a considerar la estructura.${\displaystyle \langle \omega +1,\in _{\omega +1}\rangle }$, que de hecho es una extensión de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$que realiza el tipo. Desafortunadamente, esta extensión no es elemental, por ejemplo, no satisface${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. En particular, la oración${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\lor y=x)}$se satisface con esta estructura y no con${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

Así pues, deseamos realizar el tipo en una extensión elemental. Podemos hacerlo definiendo una nueva L -estructura, que denotaremos${\displaystyle {\mathcal {M}}'}$. El dominio de la estructura será${\displaystyle \omega \cup \mathbb {Z} '}$dónde${\displaystyle \mathbb {Z} '}$es el conjunto de enteros adornado de tal manera que${\displaystyle \mathbb {Z} '\cap \omega =\emptyset }$. Dejar${\displaystyle <}$denotan el orden habitual de${\displaystyle \mathbb {Z} '}$. Interpretamos el símbolo${\displaystyle \in }$en nuestra nueva estructura por${\displaystyle \in _{{\mathcal {M}}'}=\in _{\omega }\cup <\cup \,(\omega \times \mathbb {Z} ')}$. La idea es que estamos agregando un "${\displaystyle \mathbb {Z} }$-cadena", o copia de los enteros, sobre todo los ordinales finitos. Claramente cualquier elemento de${\displaystyle \mathbb {Z} '}$se da cuenta del tipo${\displaystyle p(x)}$Además, se puede verificar que esta extensión es elemental.

Otro ejemplo: el tipo completo del número 2 sobre el conjunto vacío, considerado como un miembro de los números naturales, sería el conjunto de todas las proposiciones de primer orden (en el lenguaje de la aritmética de Peano ), que describen una variable x , que son verdaderas cuando x  =  2. Este conjunto incluiría fórmulas como${\displaystyle \,\!x\neq 1+1+1}$,${\displaystyle x\leq 1+1+1+1+1}$, y${\displaystyle \exists y(y<x)}$. Este es un ejemplo de un tipo aislado, ya que, trabajando sobre la teoría de los naturales, la fórmula${\displaystyle x=1+1}$implica todas las demás fórmulas que son verdaderas sobre el número 2.

Como ejemplo adicional, las declaraciones

${\displaystyle \forall y(y^{2}<2\implies y<x)}$

y

${\displaystyle \forall y((y>0\land y^{2}>2)\implies y>x)}$

Las expresiones que describen la raíz cuadrada de 2 son consistentes con los axiomas de los campos ordenados y pueden extenderse a un tipo completo. Este tipo no se realiza en el campo ordenado de los números racionales, pero sí en el campo ordenado de los números reales. De manera similar, el conjunto infinito de fórmulas (sobre el conjunto vacío) {x>1, x>1+1, x>1+1+1, ...} no se realiza en el campo ordenado de los números reales, pero sí en el campo ordenado de los hiperreales . De manera similar, podemos especificar un tipo.${\displaystyle \{0<x<1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}$que se realiza mediante un hiperreal infinitesimal que viola la propiedad arquimediana .

La razón por la que resulta útil restringir los parámetros a un subconjunto determinado del modelo es que ayuda a distinguir los tipos que pueden satisfacerse de aquellos que no. Por ejemplo, utilizando el conjunto completo de números reales como parámetros, se podría generar un conjunto infinito no numerable de fórmulas como${\displaystyle x\neq 1}$,${\displaystyle x\neq \pi }$, ... eso descartaría explícitamente cualquier posible valor real para x y, por lo tanto, nunca podría realizarse dentro de los números reales.

Resulta útil considerar el conjunto de n -tipos completos sobre A como un espacio topológico . Consideremos la siguiente relación de equivalencia en fórmulas en las variables libres x ₁ ,..., x _n con parámetros en A :

${\displaystyle \psi \equiv \phi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models \forall x_{1},\ldots ,x_{n}(\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

Se puede demostrar que${\displaystyle \psi \equiv \phi }$si y solo si están contenidos en exactamente los mismos tipos completos.

El conjunto de fórmulas en variables libres x ₁ ,..., x _n sobre A, salvo esta relación de equivalencia, es un álgebra booleana (y es canónicamente isomorfo al conjunto de subconjuntos definibles por A de M ⁿ ). Los n -tipos completos corresponden a ultrafiltros de esta álgebra booleana. El conjunto de n -tipos completos puede transformarse en un espacio topológico tomando como base de conjuntos abiertos los conjuntos de tipos que contienen una fórmula dada . Esto construye el espacio de Stone asociado al álgebra booleana, que es un espacio compacto , de Hausdorff y totalmente disconexo .

Ejemplo . La teoría completa de cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0 tiene eliminación de cuantificadores , lo que permite demostrar que los posibles 1-tipos completos (sobre el conjunto vacío) corresponden a:

• Raíces de un polinomio irreducible no constante dado sobre los racionales con coeficiente principal 1. Por ejemplo, el tipo de raíces cuadradas de 2. Cada uno de estos tipos es un punto aislado del espacio de Stone.
• Elementos trascendentales , que no son raíces de ningún polinomio distinto de cero. Este tipo es un punto en el espacio de Stone que es cerrado pero no aislado.

En otras palabras, los 1-tipos corresponden exactamente a los ideales primos del anillo de polinomios Q [ x ] sobre los racionales Q : si r es un elemento del modelo de tipo p , entonces el ideal correspondiente a p es el conjunto de polinomios con r como raíz (que es solo el polinomio cero si r es trascendente). De forma más general, los n -tipos completos corresponden a los ideales primos del anillo de polinomios Q [ x ₁ ,..., x _n ], es decir, a los puntos del espectro primo de este anillo. (La topología del espacio de Stone puede considerarse, de hecho, como la topología de Zariski de un anillo booleano inducido de forma natural a partir del álgebra booleana. Si bien la topología de Zariski no es en general Hausdorff, sí lo es en el caso de los anillos booleanos). Por ejemplo, si q ( x , y ) es un polinomio irreducible en dos variables, existe un 2-tipo cuyas realizaciones son (informalmente) pares ( x , y ) de elementos con q ( x , y )=0.

Dado un n -tipo completo p, cabe preguntarse si existe un modelo de la teoría que omita p ; en otras palabras, no existe ninguna n -tupla en el modelo que realice p . Si p es un punto aislado en el espacio de Stone, es decir, si { p } es un conjunto abierto, es fácil ver que todo modelo realiza p (al menos si la teoría es completa). El teorema de los tipos omitidos afirma que, a la inversa, si p no es un punto aislado, entonces existe un modelo numerable que omite p (siempre que el lenguaje sea numerable).

Ejemplo : En la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0, existe un tipo 1 representado por elementos que son trascendentales sobre el cuerpo primo Q. Este es un punto no aislado del espacio de Stone (de hecho, el único punto no aislado). El cuerpo de los números algebraicos es un modelo que omite este tipo, y la clausura algebraica de cualquier extensión trascendental de los racionales es un modelo que realiza este tipo.

Todos los demás tipos son "números algebraicos" (más precisamente, son los conjuntos de enunciados de primer orden que satisface algún número algebraico dado), y todos esos tipos se realizan en todos los cuerpos algebraicamente cerrados de característica 0.

• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press . ISBN 0-521-58713-1.
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• Marker, David (2002). Teoría de modelos: Una introducción . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.