Urysohn y espacios completamente Hausdorff

En topología , una disciplina dentro de las matemáticas, un espacio de Urysohn , o espacio T _2½ , es un espacio topológico en el que cualesquiera dos puntos distintos pueden separarse mediante vecindades cerradas . Un espacio completamente de Hausdorff , o espacio funcionalmente de Hausdorff , es un espacio topológico en el que cualesquiera dos puntos distintos pueden separarse mediante una función continua . Estas condiciones son axiomas de separación algo más fuertes que el axioma de Hausdorff T ₂ , más conocido .

Supongamos que X es un espacio topológico . Sean x e y puntos en X.

• Decimos que x e y pueden separarse mediante entornos cerrados si existe un entorno cerrado U de x y un entorno cerrado V de y tales que U y V son disjuntos ( U ∩ V = ∅). (Nótese que un "entorno cerrado de x " es un conjunto cerrado que contiene un conjunto abierto que contiene a x ).
• Decimos que x e y pueden separarse mediante una función si existe una función continua f  : X → [0,1] (el intervalo unitario ) con f ( x ) = 0 y f ( y ) = 1.

Un espacio de Urysohn , también llamado espacio T _2½ , es un espacio en el que cualesquiera dos puntos distintos pueden separarse mediante entornos cerrados.

Un espacio completamente Hausdorff , o espacio funcionalmente Hausdorff , es un espacio en el que cualesquiera dos puntos distintos pueden separarse mediante una función continua.

El estudio de los axiomas de separación es conocido por sus conflictos con las convenciones de nomenclatura utilizadas. Las definiciones empleadas en este artículo son las de Willard (1970), que constituyen las definiciones más modernas. Steen y Seebach (1970), así como otros autores, invierten la definición de espacios completamente Hausdorff y espacios Urysohn. Los lectores de libros de texto de topología deben asegurarse de verificar las definiciones utilizadas por el autor. Para más información sobre este tema, consulte la Historia de los axiomas de separación .

Cualquier par de puntos que puedan separarse mediante una función pueden separarse mediante entornos cerrados. Si pueden separarse mediante entornos cerrados, entonces claramente pueden separarse mediante entornos. De ello se deduce que todo espacio completamente de Hausdorff es de Urysohn y todo espacio de Urysohn es de Hausdorff .

También se puede demostrar que todo espacio de Hausdorff regular es de Urysohn y que todo espacio de Tychonoff (=espacio de Hausdorff completamente regular) es completamente de Hausdorff. En resumen, tenemos las siguientes implicaciones:

Se pueden encontrar contraejemplos que demuestran que ninguna de estas implicaciones se revierte. ^{[ 1 ]}

La topología de extensión cocontable es la topología en la recta real generada por la unión de la topología euclidiana usual y la topología cocontable . Los conjuntos son abiertos en esta topología si y solo si son de la forma U \ A, donde U es abierto en la topología euclidiana y A es numerable . Este espacio es completamente Hausdorff y Urysohn, pero no regular (y por lo tanto no Tychonoff).

Existen espacios que son de Hausdorff pero no de Urysohn, y espacios que son de Urysohn pero no completamente de Hausdorff ni de Hausdorff regular. Los ejemplos no son triviales; para más detalles, véanse Steen y Seebach.

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 
• Stephen Willard, Topología general , Addison-Wesley, 1970. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 2004. ISBN 0-486-43479-6(Edición de Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​ 
• "Completamente Hausdorff" . PlanetMath .