Unidad imaginaria

Al ser un polinomio cuadrático sin raíces múltiples , la ecuación definitoria x² = −1 ^tiene dos soluciones distintas, igualmente válidas, que resultan ser inversas aditivas y multiplicativas entre sí. Aunque las dos soluciones son números distintos, sus propiedades son indistinguibles; no existe ninguna propiedad que una tenga que la otra no. Una de estas dos soluciones se denomina + i (o simplemente i ) y la otra −i , aunque resulta inherentemente ambiguo cuál es cuál.

Las únicas diferencias entre + i y − i surgen de esta nomenclatura. Por ejemplo, por convención se dice que + i tiene un argumento de${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$y − i se dice que tiene un argumento de${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$relacionado con la convención de etiquetar las orientaciones en el plano cartesiano con respecto al eje x positivo , donde los ángulos positivos giran en sentido antihorario en la dirección del eje y positivo . Además, a pesar de los signos escritos con ellos, ni + i ni −i son inherentemente positivos o negativos en el sentido en que lo son los números reales. ^{[ 5 ]}

Una expresión más formal de esta indistinguibilidad de + i y −i es que, aunque el cuerpo complejo es único (como extensión de los números reales) salvo isomorfismo , no es único salvo un único isomorfismo. Es decir, existen dos automorfismos de cuerpo de los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$que mantienen fijos todos los números reales, a saber, la identidad y la conjugación compleja . Para más información sobre este fenómeno general, véase Grupo de Galois .

Utilizando los conceptos de matrices y multiplicación de matrices ^, los números complejos pueden representarse en álgebra lineal. La unidad real 1 y la unidad imaginaria i pueden representarse mediante cualquier par de matrices I y J que satisfagan I² = I , IJ = JI = J y J² = −I . Entonces , un número complejo a + bi puede representarse mediante la matriz aI + bJ , y todas las reglas ordinarias de la aritmética compleja pueden derivarse de las reglas de la aritmética matricial ^.

La opción más común es representar 1 e i mediante la matriz identidad I de 2 × 2 y la matriz J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Entonces, un número complejo arbitrario a + bi puede representarse mediante:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

En términos más generales, cualquier matriz de 2 × 2 de valores reales con traza cero y determinante cuadrado igual a uno es −I , por lo que podría elegirse para J. También podrían utilizarse matrices más grandes; por ejemplo, 1 podría representarse mediante la matriz identidad de 4 × 4 e i podría representarse mediante cualquiera de las matrices de Dirac para dimensiones espaciales.

Los polinomios (sumas ponderadas de las potencias de una variable) son una herramienta básica en álgebra. Los polinomios cuyos coeficientes son números reales forman un anillo , denotado${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$una estructura algebraica con suma y multiplicación y que comparte muchas propiedades con el anillo de los enteros .

El polinomio${\displaystyle x^{2}+1}$no tiene raíces de números reales , pero el conjunto de todos los polinomios de coeficientes reales divisibles por${\displaystyle x^{2}+1}$forma un ideal , y por lo tanto hay un anillo cociente${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$Este anillo cociente es isomorfo a los números complejos y la variable${\displaystyle x}$expresa la unidad imaginaria.

The complex numbers can be represented graphically by drawing the real number line as the horizontal axis and the imaginary numbers as the vertical axis of a Cartesian plane called the complex plane. In this representation, the numbers 1 and i are at the same distance from 0, with a right angle between them. Addition by a complex number corresponds to translation in the plane, while multiplication by a unit-magnitude complex number corresponds to rotation about the origin. Every similarity transformation of the plane can be represented by a complex-linear function ${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

In the geometric algebra of the Euclidean plane, the geometric product or quotient of two arbitrary vectors is a sum of a scalar (real number) part and a bivector part. (A scalar is a quantity with no orientation, a vector is a quantity oriented like a line, and a bivector is a quantity oriented like a plane.) The square of any vector is a positive scalar, representing its length squared, while the square of any bivector is a negative scalar.

The quotient of a vector with itself is the scalar 1 = u/u, and when multiplied by any vector leaves it unchanged (the identity transformation). The quotient of any two perpendicular vectors of the same magnitude, J = u/v, which when multiplied rotates the divisor a quarter turn into the dividend, Jv = u, is a unit bivector which squares to −1, and can thus be taken as a representative of the imaginary unit. Any sum of a scalar and bivector can be multiplied by a vector to scale and rotate it, and the algebra of such sums is isomorphic to the algebra of complex numbers. In this interpretation points, vectors, and sums of scalars and bivectors are all distinct types of geometric objects.^[6]

More generally, in the geometric algebra of any higher-dimensional Euclidean space, a unit bivector of any arbitrary planar orientation squares to −1, so can be taken to represent the imaginary unit i.

Cuando se suma o se resta repetidamente la unidad imaginaria, el resultado es un número entero multiplicado por la unidad imaginaria, un número entero imaginario ; cualesquiera de estos números se pueden sumar y el resultado también es un número entero imaginario:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Así, la unidad imaginaria es el generador de un grupo bajo la suma, específicamente un grupo cíclico infinito .

La unidad imaginaria también puede multiplicarse por cualquier número real arbitrario para formar un número imaginario . Estos números pueden representarse en una recta numérica , el eje imaginario , que, como parte del plano complejo, se dibuja normalmente con una orientación vertical, perpendicular al eje real, que se dibuja horizontalmente.

Las sumas de enteros de la unidad real 1 y la unidad imaginaria i forman una red cuadrada en el plano complejo llamada enteros gaussianos . La suma, la diferencia o el producto de enteros gaussianos también son enteros gaussianos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Cuando se multiplica por la unidad imaginaria i , cualquier número complejo arbitrario en el plano complejo se rota un cuarto de vuelta (${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$radianes o 90° ) en sentido antihorario . Cuando se multiplica por − i , cualquier número complejo arbitrario se rota un cuarto de vuelta en sentido horario. En forma polar:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

En forma rectangular,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

Las potencias de i se repiten en un ciclo que se puede expresar con el siguiente patrón, donde n es cualquier número entero:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Así, bajo la multiplicación, i es un generador de un grupo cíclico de orden 4, un subgrupo discreto del grupo circular continuo de los números complejos unitarios bajo la multiplicación.

Escrita como un caso especial de la fórmula de Euler para un entero n ,

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

Con una cuidadosa selección de cortes de rama y valores principales , esta última ecuación también puede aplicarse a valores complejos arbitrarios de n , incluyendo casos como n = i .

Al igual que todos los números complejos distintos de cero,${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$tiene dos raíces cuadradas distintas que son inversas aditivas . En forma polar, son $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

En forma rectangular, son ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Elevando al cuadrado cualquiera de las expresiones se obtiene $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Las tres raíces cúbicas de i son ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Para un entero positivo general n , las raíces n -ésimas de i son, para k = 0, 1, ..., n − 1,$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$ El valor asociado a k = 0 es la raíz principal n -ésima de i . El conjunto de raíces es igual al conjunto correspondiente de raíces de la unidad rotadas por la raíz principal n -ésima de i . Estos son los vértices de un polígono regular inscrito en el círculo unitario complejo .

La función exponencial compleja relaciona la suma compleja en el dominio con la multiplicación compleja en el codominio. Los valores reales en el dominio representan el escalamiento en el codominio (multiplicación por un escalar real), donde 1 representa la multiplicación por e , mientras que los valores imaginarios en el dominio representan la rotación en el codominio (multiplicación por un número complejo unitario), donde i representa una rotación de 1 radián. La exponencial compleja es, por lo tanto, una función periódica en la dirección imaginaria, con un período de 2πi y una imagen de 1 en los puntos 2kπi para todos los enteros k , un múltiplo real de la red de enteros imaginarios.

La exponencial compleja se puede descomponer en componentes pares e impares , las funciones hiperbólicas cosh y sinh o las funciones trigonométricas cos y sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

La fórmula de Euler descompone la exponencial de un número imaginario que representa una rotación:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Este hecho puede utilizarse para demostrar, entre otras cosas, el resultado aparentemente contraintuitivo de que${\displaystyle i^{i}}$es un número real. ^{[ 13 ]}

El cociente coth z = cosh z / sinh z , con el escalado apropiado, puede representarse como una descomposición en fracciones parciales infinita como la suma de funciones recíprocas trasladadas por enteros imaginarios: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Otras funciones basadas en la exponencial compleja están bien definidas con entradas imaginarias. Por ejemplo, un número elevado a la potencia ni es: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Debido a que la exponencial es periódica, su inversa, el logaritmo complejo , es una función multivaluada , donde cada número complejo en el dominio corresponde a múltiples valores en el codominio, separados entre sí por cualquier múltiplo entero de 2πi . Una forma de obtener una función unívoca es tratar el codominio como un cilindro , donde los valores complejos separados por cualquier múltiplo entero de 2πi se tratan como el mismo valor; otra es tomar el dominio como una superficie de Riemann que consiste en múltiples copias del plano complejo unidas a lo largo del eje real negativo como un corte de rama , donde cada rama en el dominio corresponde a una tira infinita en el codominio. ^{[ 15 ]} Por lo tanto, las funciones que dependen del logaritmo complejo dependen de una elección cuidadosa de la rama para definir y evaluar claramente.

Por ejemplo, si uno elige cualquier rama donde${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$entonces cuando x es un número real positivo, $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

El factorial de la unidad imaginaria i se suele dar en términos de la función gamma evaluada en 1 + i : ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos(\ln t)\,dt+i\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sin(\ln t)\,dt\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

La magnitud y el argumento de este número son: ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$