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Articulo de referencia

Argumento (análisis complejo)

Figura 1. Este diagrama de Argand representa el número complejo que se encuentra en un plano . Para cada punto del plano, arg es la función que devuelve el ángulo. φ {\displayst...

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Figura 1. Este diagrama de Argand representa el número complejo que se encuentra en un plano . Para cada punto del plano, arg es la función que devuelve el ángulo.φ{\displaystyle \varphi }.

En matemáticas (particularmente en análisis complejo ), el argumento de un número complejo z , denotado arg( z ) , es el ángulo entre el eje real positivo y la línea que une el origen y z , representado como un punto en el plano complejo , mostrado comoφ{\displaystyle \varphi }en la Figura  1. Por convención, el eje real positivo se dibuja apuntando hacia la derecha, el eje imaginario positivo se dibuja apuntando hacia arriba, y se considera que los números complejos con parte real positiva tienen un argumento en sentido antihorario con signo positivo.

Cuando se considera cualquier ángulo de valor real, el argumento es una función multivaluada que opera sobre los números complejos distintos de cero. El valor principal de esta función es unívoco, generalmente elegido como el único valor del argumento que se encuentra dentro del intervalo (− π , π ] . [ 1 ] [ 2 ] En este artículo, la función multivaluada se denotará arg( z ) y su valor principal se denotará Arg( z ) , pero en algunas fuentes se intercambian las mayúsculas de estos símbolos.

Definición

Figura 2. Dos opciones para el argumentoφ{\displaystyle \varphi }

Un argumento del número complejo no nulo z = x + iy , denotado arg( z ) , se define de dos maneras equivalentes:

  1. Geométricamente, en el plano complejo, como el ángulo polar 2Dφ{\displaystyle \varphi }desde el eje real positivo hasta el vector que representa z . El valor numérico viene dado por el ángulo en radianes , y es positivo si se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
  2. Algebraicamente, como cualquier cantidad realφ{\displaystyle \varphi }de tal manera que
z=r(porque⁡φ+ipecado⁡φ)=rmiiφ{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}

para algún número real positivo r (véase la fórmula de Euler ). La cantidad r es el módulo (o valor absoluto) de z , denotado por | z | : r=incógnita2+y2.{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

El argumento cero generalmente se deja sin definir. Los nombres magnitud , para el módulo, y fase , [ 3 ] [ 1 ] para el argumento, a veces se usan indistintamente. En algunos textos matemáticos antiguos, el término "amplitud" se usaba indistintamente con argumento para denotar el ángulo de un número complejo. [ a ] Si bien este término está en gran medida obsoleto en los textos modernos, todavía aparece en algunos recursos educativos regionales, donde a veces se usa en libros de texto de nivel introductorio. [ 4 ]

Según ambas definiciones, se puede observar que el argumento de cualquier número complejo distinto de cero tiene muchos valores posibles: en primer lugar, como ángulo geométrico, es evidente que las rotaciones completas de un círculo no alteran el punto, por lo que los ángulos que difieren en un múltiplo entero de 2π radianes (una vuelta completa ) son iguales, como se refleja en la figura 2 de la derecha. De manera similar, debido a la periodicidad del seno y el coseno , la segunda definición también posee esta propiedad.

Valor principal

Figura 3. El valor principal Arg del punto azul en 1 + i es π/4 . La línea roja aquí es el corte de rama y corresponde a las dos líneas rojas de la figura  4 vistas verticalmente una encima de la otra.

Debido a que una rotación completa alrededor del origen deja un número complejo sin cambios, hay muchas opciones que se podrían tomar paraφ{\displaystyle \varphi }al rodear el origen cualquier número de veces. Esto se muestra en la figura  2, una representación de la función multivaluada (con valores de conjunto).F(incógnita,y)=arg⁡(incógnita+iy){\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}donde una línea vertical (no mostrada en la figura) corta la superficie a alturas que representan todas las posibles opciones de ángulo para ese punto.

Cuando se requiere una función bien definida , la elección habitual, conocida como valor principal , es el valor en el intervalo abierto-cerrado (−π , π ] radianes , es decir, de −π a π radianes , excluyendo −π radianes (equivalente a −180 a +180 grados , excluyendo −180°). Esto representa un ángulo de hasta medio círculo completo con respecto al eje real positivo en cualquier dirección.

Algunos autores definen el rango del valor principal como el intervalo cerrado-abierto [ 0, 2 π ) .

Notación

En ocasiones, la letra inicial del valor principal se escribe con mayúscula, como en Arg z , especialmente cuando también se considera una versión general del argumento. Cabe señalar que la notación varía, por lo que arg y Arg pueden usarse indistintamente en distintos textos.

El conjunto de todos los valores posibles del argumento se puede escribir en términos de Arg como: arg⁡(z)={Arg⁡(z)+2πnorte∣norte∈Z}.{\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}

Cálculo a partir de la parte real e imaginaria

Si se conoce un número complejo en términos de sus partes real e imaginaria, entonces la función que calcula el valor principal Arg se llama función arcotangente de dos argumentos, atan2 : Arg⁡(incógnita+iy)=atan2⁡(y,incógnita){\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)} La función atan2 está disponible en las bibliotecas matemáticas de muchos lenguajes de programación, a veces con un nombre diferente, y generalmente devuelve un valor en el rango (−π, π ] . [ 1 ] Consulte atan2 para obtener más detalles e implementaciones alternativas, como atan2⁡(y,incógnita)=2atan⁡yincógnita2+y2+incógnita,{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\operatorname {atan} {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\,,} que funciona excepto cuandoy=0{\displaystyle y=0}y​​incógnita≤0{\displaystyle x\leq 0}⁠ , en cuyo caso el valor es en cambio π si ⁠incógnita<0{\displaystyle x<0}o indefinido cuandoincógnita=0{\displaystyle x=0}.​

Implementaciones de la función en lenguajes de programación

Lenguaje Wolfram (Mathematica)

En el lenguaje Wolfram , hay Arg[z]: [ 5 ]

Arg[x + y I]={0si incógnita=0 y y=0,indefinidosi |incógnita|=∞ y |y|=∞,0si incógnita=∞ y |y|≠∞,πsi incógnita=−∞ y |y|≠∞,±π2si y=±∞ y |incógnita|≠∞,Arg⁡(incógnita+yi)de lo contrario.{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y=0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{si }}|x|=\infty {\text{ y }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{si }}x=\infty {\text{ y }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{si }}x=-\infty {\text{ y }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}y=\pm \infty {\text{ y }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}

o utilizando el lenguaje ArcTan:

Arg[x + y I]={0si incógnita=0 y y=0,ArcTan[x, y]de lo contrario.{\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}

ArcTan[x, y]esatan2⁡(y,incógnita){\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}extendido para trabajar con infinitos. ArcTan[0, 0]es Indeterminate(es decir, todavía está definido), mientras que ArcTan[Infinity, -Infinity]no devuelve nada (es decir, no está definido ).

Arce

El comportamiento de Mapleargument(z) es el mismo que Arg[z]en el lenguaje Wolfram, excepto que argument(z)también devuelveπ{\displaystyle \pi }si zes el valor especial de punto flotante −0.. [ 6 ] Además, Maple no tieneatan2{\displaystyle \operatorname {atan2} }.

MATLAB

MATLAB se angle(z)comporta [ 7 ] [ 8 ] igual que Arg[z]en el lenguaje Wolfram, excepto que es

{1π4si incógnita=∞ y y=∞,−1π4si incógnita=∞ y y=−∞,3π4si incógnita=−∞ y y=∞,−3π4si incógnita=−∞ y y=−∞.{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}

A diferencia de los lenguajes Maple y Wolfram, el de MATLAB atan2(y, x)es equivalente a angle(x + y*1i). Es decir, atan2(0, 0)es0{\displaystyle 0}.

Identidades

Una de las principales motivaciones para definir el valor principal Arg es poder escribir números complejos en forma de argumento de módulo. Por lo tanto, para cualquier número complejo z , z=|z|miiArg⁡z.{\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}

Esto solo es realmente válido si z es distinto de cero, pero puede considerarse válido para z = 0 siArg⁡0{\displaystyle \operatorname {Arg} 0}se considera una forma indeterminada , en lugar de indefinida.

A continuación se presentan algunas identidades adicionales. Si z 1 y z 2 son dos números complejos distintos de cero, entonces Arg⁡(z1z2)≡Arg⁡z1+Arg⁡z2(mod(−π,π]),Arg⁡z1z2≡Arg⁡z1−Arg⁡z2(mod(−π,π]),{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}+\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\\\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}-\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\end{aligned}}} dónde(mod⁡(−π,π]){\displaystyle (\operatorname {mod} \left(-\pi ,\pi \right])}significa sumar o restar cualquier múltiplo entero de 2π si es necesario para llevar el valor al intervalo de (−π , π ] radianes . En particular, Arg⁡(−z)≡Arg⁡z+π{1,Soy⁡z<0,sgn⁡z,Soy⁡z=0,−1,Soy⁡z>0.{\displaystyle \operatorname {Arg} (-z)\equiv \operatorname {Arg} z+\pi {\begin{cases}1,&\operatorname {Im} z<0,\\\operatorname {sgn} z,&\operatorname {Im} z=0,\\-1,&\operatorname {Im} z>0.\\\end{cases}}}

Si z ≠ 0 y n es cualquier entero, entonces [ 1 ]Arg⁡(znorte)≡norteArg⁡z(mod(−π,π]).{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} z{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}.}

Ejemplo

Arg⁡(−1−ii)=(Arg⁡(−1−i)−Arg⁡i=−3π4−π2=−5π4)(mod(−π,π])=3π4.{\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {-1-i}{i}}\right)=\left(\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} i=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}\right){\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}={\frac {3\pi }{4}}.}

Utilizando el logaritmo complejo

Dez=|z|miiArg⁡z{\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} z}}, obtenemosiArg⁡z=ln⁡z|z|{\displaystyle i\operatorname {Arg} z=\ln {\frac {z}{|z|}}}, alternativamenteArg⁡(z)=Soy⁡ln⁡z|z|=Soy⁡ln⁡z{\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} \ln {\frac {z}{|z|}}=\operatorname {Im} \ln z}Dado que estamos considerando la parte imaginaria, cualquier normalización mediante un escalar real no afectará el resultado. Esto resulta útil cuando se dispone del logaritmo complejo .

Diferenciación

La función argumento no es diferenciable compleja, ya que el límite límitez→z0arg⁡z−arg⁡z0z−z0{\displaystyle \lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {\arg z-\arg z_{0}}{z-z_{0}}}} no existe para ningunoz0∈do{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }y en cualquier rama (de hecho, para cualquier rama elegida, el numerador toma el mismo valor). Sin embargo, se le pueden aplicar las derivadas de Wirtinger . Partimos de la identidad logarítmica.ln⁡z=Ln⁡|z|+iarg⁡z.{\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} |z|+i\arg z.} Utiliza eso|z|2=zz¯{\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}: ln⁡z=12Ln⁡z+12Ln⁡z¯+iarg⁡z.{\displaystyle \ln z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} {\bar {z}}+i\arg z.} Realizar diferentes cortes de rama permite aplicar las derivadas a todos los puntos del logaritmo principal en dos etapas. Primero, aplicar∂∂z{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}: 1z=121z+0+i∂∂zarg⁡z.{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{z}}+0+i{\frac {\partial }{\partial z}}\arg z.} Reorganizar da∂∂zarg⁡z=−i2z{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\arg z={\frac {-i}{2z}}}Ahora solicita∂∂z¯{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}: 0=0+121z¯+i∂∂z¯arg⁡z.{\displaystyle 0=0+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\bar {z}}}+i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z.} Esto demuestra que∂∂z¯arg⁡z=i2z¯{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z={\frac {i}{2{\bar {z}}}}}Como existen ambos derivados de Wirtinger, se pueden aplicar los derivados de Dolbeault. ∂arg⁡(z)=−i2zdz,{\displaystyle \partial \arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz,}∂¯arg⁡(z)=i2z¯dz¯.{\displaystyle {\bar {\partial }}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.} Esto significa entonces que existe la derivada exterior , dada por su suma, darg⁡(z)=−i2zdz+i2z¯dz¯.{\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.} Esta es una forma diferencial importante , ya que es precisamente el generador de la primera cohomología de De Rham del círculo,HdR1(S1){\displaystyle H_{dR}^{1}(S^{1})}. En otras palabras, darg⁡(z)=−i2zdz+i2z¯dz¯=incógnitady−ydincógnitaincógnita2+y2,{\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}={\frac {x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}},} lo que hace que esta forma sea cerrada pero no exacta en el sentido habitual (un subproducto de ser multivaluada): ∮S1darg⁡(z)=2π>0{\displaystyle \oint \limits _{S^{1}}d\arg(z)=2\pi >0} con la orientación estándar.

Notas

  1. ↑ Por ejemplo, en elde Lars Ahlfors , Análisis complejo: Una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja (1979), donde amplitud se refería al argumento de un número complejo.

Referencias

  1. 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. "Argumento complejo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
  2. ↑ "Módulo y argumento" . mas-coursebuild.ncl.ac.uk . Universidad de Newcastle . Consultado el 5 de enero de 2025 .
  3. ↑ Diccionario de Matemáticas (2002). fase .
  4. ↑ "Módulo y argumento de un número complejo" . Byju's . Consultado el 18 de enero de 2025 .
  5. ↑ "Arg" . Documentación del lenguaje Wolfram . Consultado el 30 de agosto de 2024 .
  6. ↑ "Argumento - Ayuda de Maple" .
  7. ↑ "Ángulo de fase – Ángulo de MATLAB" .
  8. ↑ "Tangente inversa de cuatro cuadrantes – MATLAB atan2" .

Bibliografía

  • Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: Introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja (3.ª  ed.). Nueva York, Londres: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
  • Ponnuswamy, S. (2005). Fundamentos del análisis complejo (2.ª  ed.). Nueva Delhi, Bombay: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
  • Beardon, Alan (1979). Análisis complejo: El principio del argumento en el análisis y la topología . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
  • Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1.ª ed. 1989 como Diccionario de Matemáticas ]. Matemáticas . Diccionario Collins (2.ª  ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.